圆锥曲线培优讲义

原点三角形面积公221.已知椭圆已上”工户0b0)的离心率为且过点(1，.若点M(X0a2bz22yo)在椭圆C上，则点机曳,巴)称为点M的一个椭点a.b(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线l:y=kx+m与椭圆C相交于A,B两点，且A,B两点的椭点”分别为P,Q,以PQ为直径的圆经过坐标原点，试求AOB的面积.2.己知椭圆？+2?=1,过原点的两条直线?口？盼别与椭圆交于点？和？?记?麻积为？(1)设？?,？?)，?,?).用？?勺坐标表示点?跑直线？勺距离，并证1明？?=5?-?1(2)设？?= ?,1),1?= 9求？?勺值.223.已知椭圆C ：三412 b2(3)设?W?勺斜率之积为？?，求？I勺值，使得无论？为？?如何变动，面积？?保持不变.0,b0的左、右两焦点分别为1,0下？1,0,椭圆上有一点A与两焦点的连线构成的AF1F2中，满足AF1F2一，AF2F1.1212(1)求椭圆C的方程；(2)设点B,C,D是椭圆上不同于椭圆顶点的三点，点B与点D关于原点O对称,设直线BC,CD,OB,OC的斜率分别为此入匕,且匕k2k3k4,求OB2OC2的值.4 .在平面直角坐标系xoy内，动点M(x,y)与两定点(2,0),(2,0),连线的斜率1之积为14(1)求动点M的轨迹C的方程；设点A(X1,y),B(X2,y?)是轨迹C上相异的两点.过点A,B分别作抛物线y24s/3x的切线li、12,li与12两条切线相交于点_uuuuurN(右,t),证明：NAgNB0;1(n)若直线OA与直线OB的斜率之积为1,证明：Saob为定值，并求出这个4定值,5 .已知？盼别是？轴和？轴上的两个动点，满足I?2,点？在线段？?？,且?=?不为0的常数)，设点？?勺轨迹方程为？?(1)求点？?勺轨迹方程？(2)若曲线？的焦点在？轴上的椭圆，试求实数？取值范围；(3)若？2,点？?，？屈曲线？?h关于原点对称白两个动点，点？勺坐标、，3为(03),求?面积？?勺最大值.6 .已知椭圆？?的焦点在？轴上，中心在坐标原点；抛物线？的焦点在？轴上，顶4 V122点在坐标原点.在？，？?上各取两个点，将其坐标记录于表格中:?3-2?902(1)求？?，?的标准方程;(2)已知定点？?；0,J,?为抛物线？?上一动点，过点？祚抛物线？?的切线交椭圆？?于？利点，求?积的最大值.7 .已知抛物线？=4?勺焦点为？过点？?勺直线交抛物线于？制点.(1)若？?=2?求直线？?附斜率；(2)设点？?ft线段？?运动，原点？然于点？%勺对称点为？求四边形?面积的最小值.、一.一?8 .设椭圆？?：诏+?2=1(?0)的左、右焦点分别是？?、？?，下顶点为？线段？?附中点为？(？为坐标原点)，如图.若抛物线？：?=?-1与？轴的交点为？且经过？?，？?点.(1)求椭圆？?的方程；(2)设?(0,-5),?劝抛物线？?上的一动点，过点？?乍抛物线？?的切线交椭圆？?于？我点，求?积的最大值.二定点定值问题9 .动点P在圆E:(x1)2y216上运动，定点F(1,0),线段PF的垂直平分线与直线PE的交点为Q.(I)求Q的轨迹T的方程;(n)过点F的直线li,12分别交轨迹E于A,B两点和C,D两点，且li明：过AB和CD中点的直线过定点.10 .在直角坐标系xOy中，抛物线C的顶点是双曲线D：Lx21的中心，抛23物线C的焦点与双曲线D的焦点相同.(I)求抛物线C的方程；(H)若点P(t,1)(t0)为抛物线C上的定点，A,B为抛物线C上两个动点.且PALPB,问直线AB是否经过定点？若是，求出该定点，若不是，说明理由.211 .如图，在平面直角坐标系？?？椭圆？?奔+?2=1(?公0)的离心率为一,直线沟？轴交于点？与椭圆？安于？?利点.当直线？直于？轴且点？为椭圆？?勺右焦点时，弦？?制长为一.3(1)求椭圆？?勺方程；(2)若点？酌坐标为(仔,0),点？在第一象限且横坐标为金，连接点？?0)的离心率是丁，过点？0,1)的动直线？与椭圆相交于？制点.当直线？行于？轴时，直线能椭圆？戳得的线段长为2范.1 1)求椭圆？?勺方程;一一，_，,_、，I?I2 2)在平面直角坐标系？?？是否存在与点？不同的定点？使得一?=二?人立若存在，求出点？勺坐标；若不存在，请说明理由.I?15 .已知动圆过定点(2?,0),且与直线？?=-?加切，其中？?0.(1)求动圆圆心？?勺轨迹的方程；(2)设？史轨迹？也异于原点？?勺两个不同点，直线？?？?？倾斜角分别为？口？当？变化且？?+?为定值？?0?0)的准线与？轴交于点？过点？做圆?(?5)一点，从原点。向圆M：(x X0)2 (y y。)2 2作两条切线分别与椭圆C父于点P、Q,直线OP、OQ的斜率分别记为k1, k2求证：k1k2为定值；(2)求四边形OPMQ面积的最大值.2218.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知R % , 先是椭圆C： 上1上的一24 12点，从原点O向圆R:x % 2 y y02 8作两条切线，分别交椭圆于P, Q.(1)若R点在第一象限，且直线OP, OQ互相垂直，求圆R的方程；(2)若直线OP , OQ的斜率存在，并记为k1 , k2,求k1 , k2的值；(3)试问OP2 OQ2是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由.+?=9的两条切线，切点为？?，？|?|=33.(1)求抛物线？?勺方程；(2)设?？密抛物线？?t分别J位于？轴两侧的两个动点，且？?=?：(其中？次坐标原点).求证：直线？?加过定点，并求出该定点？勺坐标；过点？?附垂线与抛物线交于？晒点，求四边形？?的最小值.217 .如图，在平面直角坐标系xOy中，设点M(x0,y0)是椭圆C：二y21上2三中点弦问题2219 .椭圆C:t与1ab0的长轴长为2J2,P为椭圆C上异于顶点的一个动点,abO为坐标原点，A2为椭圆C的右顶点，点M为线段PA2的中点，且直线PA2与直线OM的斜率之积为1.2(1)求椭圆C的方程；(2)过椭圆C的左焦点F1且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆C于两点A,B,线段AB的垂直平分线与x轴交于点N,N点的横坐标的取值范围是1,0，求线段AB的长的取值4范围.2220 .在平面直角坐标系xoy中，过椭圆C:事当1(ab0)右焦点的直线abxyV20交椭圆C于M,N两点，P为M,N的中点，且直线OP的斜率为L3(I)求椭圆C的方程；(n)设另一直线l与椭圆C交于A,B两点，原点O到直线l的距离为叵,求2AOB面积的最大值.2221 .如图，椭圆E:、1(ab0)左右顶点为A、B,左右焦点为abFi，F2,AB|4,FC273,直线ykxm(k0)交椭圆E于点GD两点,与线段F1F2椭圆短轴分别交于MN两点(MN不重合)，且CMDN.(1)求椭圆E的方程;(2)设直线AD,BC的斜率分别为左*2,求及的取值范围.卜22222 .如图，在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆C：二41(ab0)的离心ab率e-,左顶点为A(4,0),过点A作斜率为k(k0)的直线l交椭圆C于点2d,交y轴于点e.(I)求椭圆C的方程；(n)已知P为AD的中点，是否存在定点Q,对于任意的k(k0)都有OPEQ,若存在，求出点Q的坐标；若不存在说明理由；(田)若过O点作直线l的平行线交椭圆C于点M,求lADOMEI的最小值.一一？，一，一、.十23 .已知椭圆？/+语=1(?0)过点？?0,-1),且离心率？?=(1)求椭圆？I勺方程；(2)若椭圆？h存在点？?长于直线？?=?1对称，求？?勺所有取值构成的集合？并证明对于？e?中点包在一条定直线上.24 .如图，在直角坐标系？?？点？冬1,1)到抛物线？=2?0)的准线的5距离为7点？?:？?I)是？?t的定点，？虑？?t的两动点，且线段？?魏直线？?平分.(1)求？?的值；(2)求?积的最大值.25 .已知抛物线？=4?过其焦点？?乍两条相互垂直且不平行于？轴的直线，分别交抛物线？行点？?，？?和点？?，？?，线段？?，？?的中点分别记为？，?.(1)求?面积的最小值；(2)求线段？的中点？辆足的方程.26 .平面直角坐标系xOy中，椭圆C：与41(ab0)的离心率是,a2b22抛物线E:x22y的焦点F是C的一个顶点.(1)求椭圆C的方程；(2)设P是E上动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交于不同的两点A,B,线段AB的中点为D,直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M.(i)求证：点M在定直线上；(ii)直线l与y轴交于点G,记PFG的面积为S,PDM的面积为&，求之S2的最大值及取得最大值时点P的坐标.*|四定比分点迹记为曲线27 .已知点E(2,0)，点P是椭圆F:(XKy2。36上,线段EP的垂直平分线FP交于点M,点M的：(I)求曲线C的方程；B两点，交y附于点N ，已知NA mAF ,(H)过F的直线交曲线C于不同的A,NBnBF,求mn的值.76,0) , A2(屈,0),再取两个动点Ni(0 , m),28 .在直角坐标系xOy上取两个定点A(刈(0,n),且mn2.(I)求直线ANi与AN2交点M的轨迹C的方程；(n)过R(3,0)的直线与轨迹C交于P,Q,过P作PNX轴且与轨迹C交uiuiuruuuuur于另一点N,F为轨迹C的右焦点，若RPRQ(1),求证：NFFQ.2229.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:1ab0的左、右焦ab点分别为Fi,F2,P为椭圆上一点(在x轴上方)，连结PFi并延长交椭圆ULUTUULT于另一点Q,设PF1FQ.(1)若点P的坐标为(1,3),且4PQF2的周长为8,求椭圆C的方程;(2)若PF2垂直于x轴，且椭圆C的离心率e-,求实数的取值范围.22五结论2230.已知椭圆20.已知椭圆C：勺31ab0经过点2,金且离心率等于ab型，点A,B分别为椭圆C的左右顶点，点P在椭圆C上.2(1)求椭圆C的方程；(2)M,N是椭圆C上非顶点的两点，满足OMIIAP,ONIIBP,求证：三角形MON的面积是定值.31 .过点(1,J),离心率为怖过椭圆右顶点？?勺两条斜率乘积为-4的直线分别交椭圆？?F?,?我点.(1)求椭圆？?勺标准方程；(2)直线？?是否过定点？费过定点？2求出点？?勺坐标，若不过点？请说明理由.32 .已知椭圆的两个焦点为Fi后0,F2居0,M是椭圆上一点，若uumuumruuuuuuuurMF1MF20,MF1MF28.33 .(1)求椭圆的方程；34 .(2)点P是椭圆上任意一点，ArA2分别是椭圆的左、右顶点，直线PA,PA2与直线x堂分别交于E,F两点，试证：以EF为直径的圆交x轴于定点，并求该定点的坐标.235 .已知抛物线x2pyp0的焦点为F,直线x4与x轴的交点为P,与抛物线的.一5交点为Q,且QFPQ.4(1)求抛物线的方程；2(2)如图所不，过F的直线l与抛物线相交于A,D两点，与圆x2y11相交于B,C两点(A,B两点相邻)，过A,D两点分别作我校的切线，两条切线相交于点M,求ABM与CDM的面积之积的最小值.一，一一？36 .已知椭圆彳+?2=1(?0),其右准线？轴父于点？椭圆的上顶点为？过它的右焦点？色垂直于长轴的直线交椭圆于点？直线？?？经过线段？?制中百？(1)求椭圆的离心率；(2)设椭圆的左、右顶点分别是？、？，且?=-3,求椭圆的方程；(3)在(2)的条件下，设?用椭圆右准线？异于？?勺任意一点，直线？?召?与椭圆的另一个交点分别为？?、？?,求证：直线？?为？轴交于定点.37 .已知点A(1,0),B(1,0),直线AM与直线BM相交于点M,直线AM与直线BM的斜率分别记为kAM与kBM,且kAMkBM2.(I)求点M的轨迹C的方程;(II)过定点F(0,1)作直线PQ与曲线C交于P,Q两点，OPQ的面积是否存在最大值？若存在，求出OPQ面积的最大值；若不存在，请说明理由.38 .已知一个动圆与两个定圆(x72)2y21和(x&)2y2夕均相切，其44圆心的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)过点F(J2,0)做两条可相垂直的直线lib,设li与曲线C交于A,B两点，12与曲线C交于C,D两点，线段AC,BD分别与直线x衣交于M,M,N两点。求证|MF|:|NF|为定值.六运算转化2239.设椭圆C:、41ab0的左、右焦点分别为Fi,F2,上顶点为A,过Aa2b2与AF2垂直的直线交x轴负半轴于Q点，且Fi恰好为线段QF2的中点.(1)若过A,Q,F2三点的圆恰好与直线3x4y70相切，求椭圆C的方程；(2)在(1)的条件下，B是椭圆C的左顶点，过点R3,0作与x轴不重合的2直线l交椭圆C于E,F两点，直线BE,BF分别交直线x8于M,N两点，若直线3MR,NR勺斜率分别为k1*2,试问k1k2是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.22一40.已知椭圆E:今41ab0过点0,1且离心率为.ab2(1)求椭圆E的方程；(2)设直线l:y1xm与椭圆E交于A、C两点，以AC为对角线作正方形ABCD,2记直线l与x轴的交点为N,问B、N两点间距离是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，请说明理由.