固体物理学讲义4.4

4-7能态密度和费米面能态密度函数匕亘在单个原子中电子的本征态形成一系列分立的能级，可以具体标明各个能级的能量，说明它们的分布情况。而在晶体中电子能级是准连续分布的，为了概括这种情况下的能级分布，引入“能态密度”的概念。用Z表示能量在E ): E之间的状态数，则能态密度函数定义为:AZdZN （E）二 lim -也EtO也EdE在三维情况，状态在k空间分布的密度为:厶匕曰、丹3，冃匕量在二)3E-；E . E （ :-.E-； 0）之间对应的体积为4二k2dk，则:N（E）二f n；（2二）33，这里n为电子密度引入自由电子球半径rs，可得rs/ 、1/3 I，代入上式有:(4兀n丿1/（9 兀/”33 QkF =-俺1.92/S托一, a。为氢原子基态波尔半径 rS（rSa0）假定电子可以看成自由电子，从而有：4.208；10 cm / ss/a0解kF50 .1eV衣kFE F， Vf2m(rs / )2m(/a)当金属中电子密度n:10 2210 23 cm时，rs的值在2 6之间，/ ao费米能量大约在1.515eVN个电子填充这些能级中最低的 N个，有两种可能：1、 电子恰好填满最低的一系列能带， 再高的各带全部都是空的。 最高的满带称为价带，最低的空带称为导带，价带最高能级与导 带最低能级之间的能量范围称为带隙。 这种情况对应于绝缘体和 半导体。带隙宽度大的（大约 10eV ）为绝缘体，带隙宽度小的（1eV）为半导体。2、如果除完全被电子充满的一系列能带外，还存在被部分充满的能带，这个被部分充满的能带称为导带。这时最高占据能级称 为费米能级。在每个部分占据的能带中，k空间都有一个占有电子和不占有电子区域的分界面，所有这些表面的集合就是费米 面。这种情况对应金属导体。 4-8表面电子态I. Tamm于1932年提出晶体存在自由表面时，会在能隙中 产生表面电子态的能级，这就是通常所说的Tamm表面态。1939 年W.Shockley又提出共价晶体的表面悬挂键在能隙中产生表面电子态，这就是通常所说的Snockley表面态。为了说明金属 一半导体接触势垒的高度对金属功函数的依赖关系，J. Bardee n于1947年提出在半导体表面存在密度相当大的表面态，表面态中 的电荷产生的电势差对金属 一半导体接触势垒高度有控制作用。直接测定金属或者半导体的表面电子态是70年代XPS(Xrayphotoelectron spectroscopy)和 UPS(ultraviolet photoelectron spectroscopy)等新技术发明以后。假定表面是理想的，考察晶体表面对电子本征态的影响。设晶体表面以z=0为分界面，z e（z为每个格点的近邻数，e为自然2Z V对数的底数）。2、莫特（N.F.Mott）模型当安德森条件不满足时，三维无序系统中E=0态不满足收敛 条件，它不能形成稳定的定域态，仍然是在系统中传播的扩展态。 莫特指出：这时在无序系统中既存在扩展态，也存在定域态。扩 展态分布在紧束缚近似能带的中心，定域态在带尾部分，并有一个划分扩展态与定域态的能量边界 Ec，如下图当温度趋于Ok时定域态中电子迁移率趋于零，而扩展态中迁移率仍然为有限值，因此莫特将EC称为迁移率边缘。对于任意E态，定域化条件为:W2Z V2凶!E莫特还进一步提出了安德森转变(An derso ntran sition )的概念， 如果在Si晶体中掺入施主杂质磷，由于施主杂质的分布是无规 的，就形成无序系统，无序性将导致有一个迁移率边缘，设导带 中电子的费米能位于迁移率边缘之下， 此时系统中电子态都是定域态，可以认为是一个“绝缘体”。如果继续掺杂，使费米能级 通过迁移率边缘，位于它的上面，系统将出现“金属性”，因为在扩展态上占有电子。这里发生了从绝缘体向金属是转变。V2 dk4：k（2二）3dE如果已知E(k)，则可以计算出态密度。费米面若固体中有N个电子，它们的基态是按泡利原理由低到高填充尽可能低的N个量子态，设N个电子在k空间填充半径为kF 的球，计及电子自旋有:2 汽 V kF = n 二 kF = 2兀