高考文科数学复习专题 极坐标与参数方程

1曲线的极坐标方程(1)极坐标系：一般地，在平面上取一个定点O，自点O引一条射线Ox，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系其中，点O称为极点，射线Ox称为极轴(2)极坐标(，)的含义：设M是平面上任一点，表示OM的长度，表示以射线Ox为始边，射线OM为终边所成的角那么，有序数对(，)称为点M的极坐标显然，每一个有序实数对(，)，决定一个点的位置其中称为点M的极径，称为点M的极角极坐标系和直角坐标系的最大区别在于：在直角坐标系中，平面上的点与有序数对之间的对应关系是一一对应的，而在极坐标系中，对于给定的有序数对(，)，可以确定平面上的一点，但是平面内的一点的极坐标却不是唯一的(3)曲线的极坐标方程：一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上的任意一点的极坐标满足方程f(，)0，并且坐标适合方程f(，)0的点都在曲线C上，那么方程f(，)0叫做曲线C的极坐标方程2直线的极坐标方程(1)过极点且与极轴成0角的直线方程是0和0，如下图所示(2)与极轴垂直且与极轴交于点(a，0)的直线的极坐标方程是cos a，如下图所示(3)与极轴平行且在x轴的上方，与x轴的距离为a的直线的极坐标方程为sin a，如下图所示3圆的极坐标方程(1)以极点为圆心，半径为r的圆的方程为r，如图1所示(2)圆心在极轴上且过极点，半径为r的圆的方程为2rcos_，如图2所示(3)圆心在过极点且与极轴成的射线上，过极点且半径为r的圆的方程为2rsin_，如图3所示4极坐标与直角坐标的互化若极点在原点且极轴为x轴的正半轴，则平面内任意一点M的极坐标M(，)化为平面直角坐标M(x，y)的公式如下：或者，tan ，其中要结合点所在的象限确定角的值1曲线的参数方程的定义在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数，即并且对于t的每一个允许值，由方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x，y之间关系的变数t叫做参变数，简称参数2常见曲线的参数方程(1)过定点P(x0，y0)，倾斜角为的直线：(t为参数)，其中参数t是以定点P(x0，y0)为起点，点M(x，y)为终点的有向线段PM的数量，又称为点P与点M间的有向距离根据t的几何意义，有以下结论：设A，B是直线上任意两点，它们对应的参数分别为tA和tB，则|AB|tBtA|；线段AB的中点所对应的参数值等于.(2)中心在P(x0，y0)，半径等于r的圆：(为参数)(3)中心在原点，焦点在x轴(或y轴)上的椭圆：(为参数).中心在点P(x0，y0)，焦点在平行于x轴的直线上的椭圆的参数方程为(为参数)(4)中心在原点，焦点在x轴(或y轴)上的双曲线：(为参数).(5)顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上的抛物线：(t为参数，p0)注：sec .3参数方程化为普通方程由参数方程化为普通方程就是要消去参数，消参数时常常采用代入消元法、加减消元法、乘除消元法、三角代换法，消参数时要注意参数的取值范围对x，y的限制1已知点A的极坐标为，则点A的直角坐标是(2，2)2把点P的直角坐标(，)化为极坐标，结果为3曲线的极坐标方程4sin 化为直角坐标方程为x2(y2)244以极坐标系中的点为圆心、1为半径的圆的极坐标方程是2cos5在平面直角坐标系xOy中，若直线l：(t为参数)过椭圆C：(为参数)的右顶点，则常数a的值为3解析：由直线l：得yxa.由椭圆C：得1.所以椭圆C的右顶点为(3，0)因为直线l过椭圆的右顶点，所以03a，即a3.一、选择题1在平面直角坐标系xOy中，点P的直角坐标为(1，)若以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P的极坐标可以是(C)A. B.C. D.2若圆的方程为(为参数)，直线的方程为(t为参数)，则直线与圆的位置关系是(B)A相离 B相交C相切 D不能确定3以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l的参数方程是(t为参数)，圆C的极坐标方程是4cos ，则直线l被圆C截得的弦长为(D)A. B2C. D2解析：由题意可得直线和圆的方程分别为xy40，x2y24x，所以圆心C(2，0)，半径r2，圆心(2，0)到直线l的距离d，由半径，圆心距，半弦长构成直角三角形，解得弦长为2.4已知动直线l平分圆C：(x2)2(y1)21，则直线l与圆O：(为参数)的位置关系是(A)A相交 B相切C相离 D过圆心解析：动直线l平分圆C：(x2)2(y1)21，即圆心(2，1)在直线l上，又圆O：的普通方程为x2y29且22129，故点(2，1)在圆O内，则直线l与圆O的位置关系是相交二、填空题5在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程是(是参数)，若以O为极点，x轴的正半轴为极轴，则曲线C的极坐标方程可写为24sin_30解析：在平面直角坐标系xOy中，(是参数)，根据sin2cos21，可得x2(y2)21，即x2y24y30.曲线C的极坐标方程为24sin 30.6在平面直角坐标系中圆C的参数方程为(为参数)，以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则圆C的圆心的极坐标为三、解答题7求极点到直线(R)的距离解析：由sin cos 1xy1，故d.8极坐标系中，A为曲线22cos 30上的动点，B为直线cos sin 70上的动点，求|AB|的最小值9(2015大连模拟)曲线C1的参数方程为(为参数)，将曲线C1上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标伸长为原来的倍，得到曲线C2.以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l：(cos 2sin )6.(1)求曲线C2和直线l的普通方程；(2)P为曲线C2上任意一点，求点P到直线l的距离的最值解析：(1)由题意可得C2的参数方程为(为参数)，即C2：1，直线l：(cos 2sin )6化为直角坐标方程为x2y60.(2)设点P(2cos ，sin )，由点到直线的距离公式得点P到直线l的距离为d.所以d2，故点P到直线l的距离的最大值为2，最小值为.10已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(为参数)，直线l经过定点P(3，5)，倾斜角为.(1)写出直线l的参数方程和曲线C的标准方程(2)设直线l与曲线C相交于A，B两点，求|PA|PB|的值解析：(1)由曲线C的参数方程(为参数)，得普通方程为(x1)2(y2)216，即x2y22x4y110.直线l经过定点P(3，5)，倾斜角为，直线的参数方程为(t是参数)(2)将直线的参数方程代入x2y22x4y110，整理，得t2(23)t30，设方程的两根分别为t1，t2，则t1t23，因为直线l与曲线C相交于A，B两点，所以|PA|PB|t1t2|3.内容总结