高考文科数学复习专题 极坐标与参数方程

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资源描述
1曲线的极坐标方程(1)极坐标系:一般地,在平面上取一个定点O,自点O引一条射线Ox,同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向),这样就建立了一个极坐标系其中,点O称为极点,射线Ox称为极轴(2)极坐标(,)的含义:设M是平面上任一点,表示OM的长度,表示以射线Ox为始边,射线OM为终边所成的角那么,有序数对(,)称为点M的极坐标显然,每一个有序实数对(,),决定一个点的位置其中称为点M的极径,称为点M的极角极坐标系和直角坐标系的最大区别在于:在直角坐标系中,平面上的点与有序数对之间的对应关系是一一对应的,而在极坐标系中,对于给定的有序数对(,),可以确定平面上的一点,但是平面内的一点的极坐标却不是唯一的(3)曲线的极坐标方程:一般地,在极坐标系中,如果平面曲线C上的任意一点的极坐标满足方程f(,)0,并且坐标适合方程f(,)0的点都在曲线C上,那么方程f(,)0叫做曲线C的极坐标方程2直线的极坐标方程(1)过极点且与极轴成0角的直线方程是0和0,如下图所示(2)与极轴垂直且与极轴交于点(a,0)的直线的极坐标方程是cos a,如下图所示(3)与极轴平行且在x轴的上方,与x轴的距离为a的直线的极坐标方程为sin a,如下图所示3圆的极坐标方程(1)以极点为圆心,半径为r的圆的方程为r,如图1所示(2)圆心在极轴上且过极点,半径为r的圆的方程为2rcos_,如图2所示(3)圆心在过极点且与极轴成的射线上,过极点且半径为r的圆的方程为2rsin_,如图3所示4极坐标与直角坐标的互化若极点在原点且极轴为x轴的正半轴,则平面内任意一点M的极坐标M(,)化为平面直角坐标M(x,y)的公式如下:或者,tan ,其中要结合点所在的象限确定角的值1曲线的参数方程的定义在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数,即并且对于t的每一个允许值,由方程组所确定的点M(x,y)都在这条曲线上,那么方程组就叫做这条曲线的参数方程,联系x,y之间关系的变数t叫做参变数,简称参数2常见曲线的参数方程(1)过定点P(x0,y0),倾斜角为的直线:(t为参数),其中参数t是以定点P(x0,y0)为起点,点M(x,y)为终点的有向线段PM的数量,又称为点P与点M间的有向距离根据t的几何意义,有以下结论:设A,B是直线上任意两点,它们对应的参数分别为tA和tB,则|AB|tBtA|;线段AB的中点所对应的参数值等于.(2)中心在P(x0,y0),半径等于r的圆:(为参数)(3)中心在原点,焦点在x轴(或y轴)上的椭圆:(为参数).中心在点P(x0,y0),焦点在平行于x轴的直线上的椭圆的参数方程为(为参数)(4)中心在原点,焦点在x轴(或y轴)上的双曲线:(为参数).(5)顶点在原点,焦点在x轴的正半轴上的抛物线:(t为参数,p0)注:sec .3参数方程化为普通方程由参数方程化为普通方程就是要消去参数,消参数时常常采用代入消元法、加减消元法、乘除消元法、三角代换法,消参数时要注意参数的取值范围对x,y的限制1已知点A的极坐标为,则点A的直角坐标是(2,2)2把点P的直角坐标(,)化为极坐标,结果为3曲线的极坐标方程4sin 化为直角坐标方程为x2(y2)244以极坐标系中的点为圆心、1为半径的圆的极坐标方程是2cos5在平面直角坐标系xOy中,若直线l:(t为参数)过椭圆C:(为参数)的右顶点,则常数a的值为3解析:由直线l:得yxa.由椭圆C:得1.所以椭圆C的右顶点为(3,0)因为直线l过椭圆的右顶点,所以03a,即a3.一、选择题1在平面直角坐标系xOy中,点P的直角坐标为(1,)若以原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,则点P的极坐标可以是(C)A. B.C. D.2若圆的方程为(为参数),直线的方程为(t为参数),则直线与圆的位置关系是(B)A相离 B相交C相切 D不能确定3以平面直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系中取相同的长度单位,已知直线l的参数方程是(t为参数),圆C的极坐标方程是4cos ,则直线l被圆C截得的弦长为(D)A. B2C. D2解析:由题意可得直线和圆的方程分别为xy40,x2y24x,所以圆心C(2,0),半径r2,圆心(2,0)到直线l的距离d,由半径,圆心距,半弦长构成直角三角形,解得弦长为2.4已知动直线l平分圆C:(x2)2(y1)21,则直线l与圆O:(为参数)的位置关系是(A)A相交 B相切C相离 D过圆心解析:动直线l平分圆C:(x2)2(y1)21,即圆心(2,1)在直线l上,又圆O:的普通方程为x2y29且22129,故点(2,1)在圆O内,则直线l与圆O的位置关系是相交二、填空题5在平面直角坐标系xOy中,已知曲线C的参数方程是(是参数),若以O为极点,x轴的正半轴为极轴,则曲线C的极坐标方程可写为24sin_30解析:在平面直角坐标系xOy中,(是参数),根据sin2cos21,可得x2(y2)21,即x2y24y30.曲线C的极坐标方程为24sin 30.6在平面直角坐标系中圆C的参数方程为(为参数),以原点O为极点,以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则圆C的圆心的极坐标为三、解答题7求极点到直线(R)的距离解析:由sin cos 1xy1,故d.8极坐标系中,A为曲线22cos 30上的动点,B为直线cos sin 70上的动点,求|AB|的最小值9(2015大连模拟)曲线C1的参数方程为(为参数),将曲线C1上所有点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标伸长为原来的倍,得到曲线C2.以平面直角坐标系xOy的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,已知直线l:(cos 2sin )6.(1)求曲线C2和直线l的普通方程;(2)P为曲线C2上任意一点,求点P到直线l的距离的最值解析:(1)由题意可得C2的参数方程为(为参数),即C2:1,直线l:(cos 2sin )6化为直角坐标方程为x2y60.(2)设点P(2cos ,sin ),由点到直线的距离公式得点P到直线l的距离为d.所以d2,故点P到直线l的距离的最大值为2,最小值为.10已知在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(为参数),直线l经过定点P(3,5),倾斜角为.(1)写出直线l的参数方程和曲线C的标准方程(2)设直线l与曲线C相交于A,B两点,求|PA|PB|的值解析:(1)由曲线C的参数方程(为参数),得普通方程为(x1)2(y2)216,即x2y22x4y110.直线l经过定点P(3,5),倾斜角为,直线的参数方程为(t是参数)(2)将直线的参数方程代入x2y22x4y110,整理,得t2(23)t30,设方程的两根分别为t1,t2,则t1t23,因为直线l与曲线C相交于A,B两点,所以|PA|PB|t1t2|3.内容总结
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