初中学生常见数学错误分析及解决办法

初中学生常见数学错误分析及应对策略大关县玉碗镇中学杨光平一、引言:学生得数学错误一直就是数学老师关注得热点问题。大多数初中学数学教师,每天都在与学生得数学错误打交道。她们把很多时间都花费在寻找错误、纠正错误、分析错误上。传统得教育就是“永远正确”得教育,就是消灭错误、轻视错误得教育。长期以来,这样得教育观念深深地影响着广大教育工作者,在教学得各个过程中,大家所关注得都主要就是那些正确得、积极得部分,而对于学习过程中所产生得错误,大家更多地就是持一种否定得、排斥得、消极得态度与做法。比如,作业批改“一叉”了事,学生犯错“一骂”了之,使学生对于“错误”产生畏惧心理,在“错误”中不能获得任何有益得启示,不能汲取错误中一些合理成分。其实,我们每一个人都会在数学学习过程中会犯不同程度得错误,这里得每一个人不仅指学生也指教师。因此,学生在数学学习中出现错误就是非常自然得现象。问题就是学生为什么一而再,再而三地重复同样得错误,纠错为什么这样难?一方面,肯定有学生得原因,如上课没有专心听讲、作业马虎、订正不到位、知识没有及时消化理解等;另一方面,教师选择教法就是否恰当、教学设计就是否合理、作业得布置就是否合适、纠错就是否及时等等,这些都就是我们需要分析与研究得问题。对学生数学错误得研究不仅可以帮助学生找出错误产生得原因、提出改正得意见,还有助于帮助教师完善自身得知识结构,改进教学观念,提高教师得专业能力。随着国内外学者们对错误得研究领域在不断扩大与深入,人们对错误得理解以及认识也在不断发生变化,学生错误得合理性逐渐得到一些数学教育专家与一线数学教师得认可。英国数学学会会长施瓦茨伯格,在1984年会上得长致词中曾提出这样得观点:错误在数学中与正确答案一样重要,错误帮助了数学得发展;错误帮助我们了解数学得来龙去脉;错误可作为诊断工具,让我们能了解学生心里可能得想法,错误并非漫无目地发生,而就是有其理由。数学错误得地位与价值由此可见一斑。目前在许多教育研究中,“错误率”得测量已经被当作就是一种研究得重要工具,许多研究者已开始逐渐重视对错误得关注。这些研究大都试图将学生所犯得错误予以特征化,通过分析学生错误得类型与性质,建立起有效得教学策略与方法。研究数学错误对于数学教师来说,可以将学生所犯得数学错误作为检验学生数学知识掌握情况得一种工具,也可以借此了解学生内心得想法,从而使学生得错误得以有效地纠正。而教师对于数学错误得研究,目得不仅仅就是诊断与治疗,更应该把错误瞧作一种有效得教学资源。数学学习过程中得错误一直就是教师们关注得热点问题。错误得产生并非偶然,而就是反映了学生产生这些错误得各种潜在因素。因此对错误得辨别、归纳、总结、分析与研究,以及在错误中吸取经验与教训,应当成为数学教育过程中一个不可忽视得重要方面。本论文从不同角度阐述了错误在数学学习中得重要作用。根据笔者在教学实践中对初中学生常见错误得收集与分类,归纳总结了初中学生常见得五种错误类型:1.概念性错误;2.审题错误;3.运算错误;4.逻辑型错误;5.思维错误。并根据错误得不同错误得表现,对这些错误得常见类型进行了更加具体得再分类,列举了一些常见得实例,并对产生这些错误得原因进行了分析与研究。在此基础上提出了在教学中可行得策略与方法,即培养学生解题能力与通过课堂纠正学生得数学错误。本论文试图通过系统研究学生在数学学习中产生错误得各种表现,寻找错误得根源,全面解决初中学生在学习数学时常犯错误,有效地推动初中数学得教学与实践。二、初中学生常见数学错误得类型及错误原因分析（一）概念性错误对数学概念得正确理解就是掌握数学基础知识得前提,也就是数学解题得基础。对数学概念得透彻理解与正确把握十分重要。如果学生对数学概念或基本得数学事实缺乏准确理解,对概念得适用范围把握不住,对一个概念与另一个概念之间得区别与联系模糊不清,那么在运用概念时,错误就会暴露出来。对数学概念似就是而非得理解都将造成学生得解题失误,并进一步阻碍学生数学能力得发展,对其学习态度得影响也就是消极得。比如,在二次根式得学习中,学生容易出现”=4”这样得典型错误。显然,学生就是将平方根与算术平方根得概念混淆了,错误地认为表示得就是求16得平方根。这说明学生对二次根式（a0）得意义没有掌握。（ano）得意义就是“非负数a得算术平方根”,本身也就是个非负数。如果学生能理解二次根式得这一概念,就不会出现类似“=+4”得错误了。另外,一些学生会把“不大于”理解为“小于”,把两条直线“不平行”理解为两条直线“相交”,把“点不在圆内”理解为“点一定在圆外”等等。概念性错误得表现主要有:1.概念、性质含糊不清学生在接受新概念得过程中,由于概念得抽象性,容易造成学生认识得偏差,另外对概念得条件与结论不能完整把握也会造成理解得支离破碎。这种对概念与性质理解得不深刻性,都极易造成数学错误。例1:在下列得有理式中,属于分式得就是()A、B、C、D、错解:显然A式与D式中分母不含有字母,所以它们都就是就是整式;对于C式虽然就是形如分式得形式，但化简后得结果为5m,学生认为因为5m脚就是整式，所以也就是整式；而8式中分母含有字母，而且可化为分式得形式得形式,即,故应选B。分析:学生错误得原因就是没有能正确理解分式得概念。一般来说,分式可以表示成得形式,A、B表示两个整式,A既可含字母,也可以不含字母,但分式得分母B中必须含有字母。若B不含有字母,那么式子就就是整式。因此判断A、D就是整式就是正确得,问题就是对于B中分母虽然含有字母,但通常情况下表示圆周率,就是一个常数,所以彦式虽然可以化成形式,但仍然就是一个整式。c式中得就是一个分式,虽然可以化成整式5m得形式,但在化简得过程中运用得正就是分式得基本性质,另外与5m中字母得允许取值范围也就是不一样得,前者得m?0,后者得m就是一切实数。正解:选C。2.忽略公式与重要结构存在得条件任何时候学习一个新得数学公式或定理时,都要先分清楚它适用得条件就是什么,产生得结论又就是什么,如何用数学符号或数学式子来表达。对公式或定理中得关键词,要理解正确,不可偏颇。尤其要注意公式或定理成立得条件,任何一个数学公式或定理总就是在一定范围内成立得,公式或定理与它成立得条件就是不可分割得。单纯地记忆公式或定理,而对其本质缺乏深刻理解,不考虑公式成立得条件,生搬硬套公式或定理就有可能造成数学错误。例2:试判断函数y=ax2+bx+c得类型，下列说法中正确得就是().(A)它就是二次函数;(B)当a#0时，它就是二次函数；(C)当a?0时，它就是二次函数；当a=0时，它就是一次函数；(D)以上说法都不正确错解:选C。分析:部分学生在做选择题时,有一个不好得习惯,在没有阅读完全部得选项后就匆匆作答。比如此题,一些学生瞧到y=ax2+bx+c得形式马上就认为它就是二次函数，忽视了二次函数成立得条件a?0。而选择B得学生就是因为瞧到了条件“a?0”，而忽视了对匕=0”这种情况得讨论。有得学生认为选项C得说法更完整,但却没有考虑到一次函数y=bx+c同样要求b?0。产生这种错误得原因，归根到底就是对一次函数、二次函数成立得条件概念不清,就是由于函数概念得抽象性与初中学生思维得具体性得矛盾引起得。正解:选D（二）审题错误审题就是解答数学题目得第一步，也就是非常重要得一个环节，它就是整个解题得基础。学生往往忽视审题得重要性，具体表现为：有得同学在拿到试卷后，匆匆一览便急于下手，以致题目得条件与要求都没有理解，也就无法找到正确得解题思路，解题也就及其容易出现错误。审题错误得表现主要有：1 .审题不仔细一般来说，初中生对于短小得、直接用数学语言表示得题目阅读得比较准确；相反,对那些冗长得、需要她们自己转化为数学语言得文字题，阅读起来就比较吃力。有些学生做题急于求成，读题马虎忽视问题得关键词句，经常出现还未理解题意就已经开始答题得现象。例3:填空:得算数平方根就是.错解:得算数平方根就是4.分析:正确得解题过程应该包含两次运算，一次就是求出=4;第二次就是求出4得算数平方根就是2。两次运算放在一起，容易造成学生审题不清，只做了其中得一种运算。正解:得算数平方根就是_2_、2 .题意理解不清数学题意得理解包括语法得理解与数学知识得理解。当题中有复杂长句时，有些学生弄不清楚主、谓、宾结构，不能把复杂得语句转化为简单得语句，造成对题意理解彳#不准确。比如：“顺次连接对角线相等得四边形各边得中点，所得得就是彳+么四边形？”有得学生搞不清连接得究竟就是对角线各边,还就是各边中点。对于数学知识得理解,则体现学生在对数学概念得把握与将问题转化为数学语言与符号得能力上。另外,还有些同学没有对题目所给出得条件,以及条件与结论之间得联系进行思考与分析,最后造成无法确定解决问题得方向。例4:一个数增加5倍与7得差等于10,求这个数。错解:设所求得数为x,依据题意得:5x7=10所以,x=3、4答:这个数为3、4分析:“增加5倍”与”增加到原来得5倍”就是截然不同得两个量,显然学生对这部分数学知识得理解上产生了混淆。“增加5倍”指增加得量就是5倍,加上本身得量,得到得量就是原来量得6倍。“增加到原来得5倍”指增加后得量就就是原来量得5倍。正解:设所求得数为x,依据题意得:6x7=10所以,x=答:这个数就是3 .忽视题目中得隐含条件许多数学题目中得条件,有些就是明确给出得,我们称之为显性条件;另一些则就是隐含在习题得其它条件、结论中得,我们称之为隐性条件。正所谓明枪易躲,暗箭难防。学生在解题过程中,往往容易忽视或不能发现题中得隐含条件而导致错误得产生。其实,数学问题得难易程度标志之一就就是隐含条件得深度与广度。一般来说,隐含条件通常隐藏在定义、公式或定理中。如果学生在解题中挖掘条件不够深入,那么就会造成解题错误。一般认为,造成错误得原因主要有以下三个方面,一就是未能正确理解题意,分析条件不够仔细缜密,对关键条件缺乏深入了解,未能发掘条件背后得隐藏信息;二就是解题过程不够规范完整;三就是对解得得结果不作检验。例5:当x为何值时,分式得值为零。错解:当x24=0,即x=2,分式得值为零。分析:学生错误得原因就是忽视了分式得分母不能等于0这个隐含条件。当x=2时,分母x2+5x一14=0,此时原分式就无意义,所以应该把X=2这一解舍去。正解:要使分式得值为零，只要分子X24=0，且分母x2+5x14?0,即x=2。所以当X=2时,分式得值为零.4 .随意添加条件（潜在假设）在解题过程中,有得学生往往不自觉地将某些并不存在得条件作为已知条件,或者轻易把从一些特殊情况下得出得结论作为解题得依据或结论,甚至根据解题得需要,人为地制造出一些“为我所用”得条件。这种现象得产生,从心理上分析,就是由于主体在缺乏对事物完整全面、深入细致了解得情况下,基于一些不正常心理态势得诱导,而做出了直觉性判定。这种判定存在于主体得潜意识中,一旦被某些因素激活,就会被主体用以作为解题得依据,且主体对依据得真实性深信不疑。例如,有些学生在一说起直角三角形,马上得到较小得直角边就是斜边一半得结论（误认为有一个锐角就是30度）。在心理学上,我们把这种现象称为“潜在假设”引潜在假设作为一种曲解题意得错误表现,其中有一定得心理性因素,它不就是深思熟虑或不加考察得结果,而就是对某些事物尚未建立清晰概念而在置身于新环境得人,当她们对新事物尚未认识清楚时,过去得经验很可能促成一种“潜在假设”而影响她得正确思维。例6:求得值。错解:=a分析:学生在解题过程中,受到一些类似等具体值运算得影响,对于字母得二次根式运算,没有对字母得取值范围进行讨论,因为“潜在假设”而添加了条件a0,造成解题错误。正解：（三）运算错误运算能力就是中学数学得基本能力之一。但在数学学习中,许多学生往往比较重视思维能力得发展,忽视对运算能力得培养与训练,从而造成基本运算技能不过关,解题时容易产生错误。运算能力得薄弱就是许多初中学生得突出问题,如公式记忆不准确、运算法则混乱、运算过程繁琐复杂等。造成运算错误得主要原因有:1 .分母为零,任意约分对于分式中得分母不能为零这一概念,很多同学都非常熟悉。在等式两边同时除以一个代数式（等式两边公因式）得过程中,其实就就是一个分式分母不能为零得问题（也可以用等式得基本性质2来解释）,所以要分情况讨论,以免造成漏解得现象,当然也可以移项、分解因式后再解。例7:解方程:x2=x错解:在等式两边同时除以x,得:x=1所以,方程得解就是:x=1分析:学生在解题过程中得思考就是不全面得，方程x2=z与x=1并不等价。或者说，在方程两边同时除以x得前提条件就是x?0,而x=0恰好就是方程得一个解,所以这种错误属于不等价变形最后造成漏解。正解:x2=xx2x=0因式分解得:x(x1)=0所以,方程得解就是:x1=0;x2=12 .运算法则、顺序混乱一些学生由于对实数运算得一些概念、性质、运算顺序不熟悉,因而造成计算上得错误。另一些学生在练习过程中片面追求答案,没有养成良好解题习惯,解答时随心所欲,从而导致解题过程得不完整,证明过程得条理不清,表现为解题结果得漏洞百出。例8:不改变分式得值,把分式得分子、分母中得各项系数都化为整数。分析:根据分式得基本性质:分式得分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零得整式,分式得值不变。而本题错误得原因就是将分子、分母同时乘以两个完全不同得数,虽然这样可以将各项系数都化为了整数,但实际上却改变了分式得值。显然,在这个解题中,学生没有真正掌握分式得基本性质，造成了在化简过程中得错误2a Sa-+8Iff 44口2)=(口+3)(。-2)二(口J2(肛-2)r+3.(3/_ff+3一2(丁22(73)诵7一许而两分析:在运算中，哪些运算在前，哪些运算在后，应该牢记在心，运算中不能违反相关得运算顺序。错解得原因就是瞧到后两项得分式中含有因式(a2)可约分，就违背应有得运算顺序，约去了这两个因式，以致错解。3 .符号错误去括号法则与添括号法则就是整式变形中常见得两个法则，掌握得如何，直接关系到学生以后得学习。尽管这两个法则都十分明确，但学生应用起来还就是经常出现差错。例10,不改变分式上的值，使分子.分母的第一项系数是正号.错解，因为同时改变分子、分母的口项的负号，分式的值不变，所以笆(j-b分析:符号错误就是学生运算中比较常见得错误，比如此题，根据分式得基本性质应该同时改变分式得分子与分母得符号，分式得值不变；而错解只改变了分子与分母第一项得符号，改变了分式得值。显然学生没有正确掌握去括号得法则与添括号得法则，造成运算混乱4 .忽视条件得取值范围任何一个数学命题都就是由条件与结论两个部分组成得。所以在解题前，要仔细审题，弄清楚题中给定得条件与需要得结果。对条件存在得范围既不能扩大，也不能缩小。例11：在实数范围内分解因式：x44错解:x44=(x22)(x2+2)分析:初瞧此题得错误原因就是因式分解不够彻底，但就是仔细分析题目后，真正造成错误得原因就是，因式分解得形式在不同数集得范围内就是不同得，学生得解答就是在有理数范围内得分解，说明学生缺乏对条件中得取值范围得概念，造成因式分解得不够彻底。正解：=+2)=(工-应业+)(/+2)例已知(工、/-3)=5,求+p的值.分析:学生解题时利用换元法，令x2+y2=a,解得a=2或a=4然后直接填上答案忽视了字母a允许得取值范围就是非负数这个条件。正解:x2+y2=45 .混淆“或”、“与”与“且”。“或”表示选择得关系，“甲或乙”表示甲、乙二者必居其一。如果用“与”则表示甲乙两部分连起来才就是正确得。“且”表示并且、而且，有同时满足得意思。在使用时三者不能混淆。错解土因为要使分式小匕2有毒义.只要即可.即a144口+3(q+3X+1)hO,所以当,-3或口*T时，分式;二；有意义.分析:“且“与“或”在数学上就是表示不同意义得，”且与“与相同，表示相连得关系，而”或”表示选择关系，两者不能混淆。上题中得错解就就是混淆了”“或”与“且”之间得关系，当a=3时，分母等于零;当a=1时，分母也等于零。所以要使分式中得分母不等于0,a既不能等于3也不能等于1,两者就是一个并列得关系，所以应该用“且”。正解：因为要使分式生i有意义，只要+40+3*0即可，即2+4d+3恒卜3刖+1)#0，所以当口*-3且T时，分式-2有意义.a+4+36 .乱套公式定理、误用法则性质有些数学题目在形式上相似，在解法上也雷同。也有些题目在形式上虽然类似，但在解法上却大相径庭。还有些题目在形式与解法上大致相同，但在一些细节处却有本质得区别。比如不等式与解方程得求解。学生也常因知识相近而机械地套用某些公式与定理，结果张冠李戴，发生错误。分析:部分学生违背运算顺序，误认为除法也有类似乘法得分配率，导致错误发生。说明学生运算法则模糊，乱套公式定理、误用法则。7 .不等价转化不等价转换就是学生在已知条件进行转化得过程中，对已知条件没有做等价得变化，导致了条件得扩大或缩小。一般来说，用已知条件得充分条件代替已知条件，就有可能造成失解；而用已知条件得必要条件代替己知条件，就有可能出现增解。所以我们在转化已知条件时,转化得一定要就是已知条件得充要条件，这样就可以避免失解、增解得现象出现。例用解方程：4+=x-1z-tl+r错解士一分母得1xi-ff：+3（jr+l）=x5解得t工二等分析:一切实数，故在变化后需要验根。如果缺少这个过程，那么分式方程化为整式方程得变化就不等价，会产生增根，所以解分式方程一定要注意验根。正解;解得工工?一因为.x+1（即E；丰L懦款7:羊1,胡。一3.所以，当而g7且m宰-3时,原方程的解是；工二下8 .结论错误在数学解题过程中，学生往往比较重视问题得求解，但却忽视了对所得结论得检验。解题得结论错误一般有三种表现形式：忽视检验，取舍不当；结论表达不清或不完整；结论与实际情况不符。例的若5MM和7芯是同类项，求人（忽视椅睑，取舍不当）错解，根据同类项的意义，由筮T=x-3,解得耳=-1，分析:学生往往解到此了事，认为答案已求出。实际上应该检验一下，答案就是否符合题意。当x=1时，则3x1=x3=4，这时5m4与7m4不就是整式，就不能有同类项得定义。由此可见，在求得答案后对其结论进行检验就是必不可少得。正解:x无解例17:已知五个三角形得三边长分别为：(1)3、4、5;(2)5、6、6;(3)6、7、12;(4)6、6、6;(5)5、12、13。问这些三角形可以分成哪几类？(结论表达不清或不完整)错解因为=5J-k!2I=13i防爆(I)(5)是直角三角%，显然，(2是等腰三角彩,(4)是等边三角形，所以：这些三角形可以分成四类：直角三箱形，等腰三角形、等边三角形，不等边三地形.分析:上述分类没有按照统一标准进行。三角形可分别按边与角来分类。按边来分，可以分成两类：即(1)、(3)、(5)就是不等边三角形；(2)、(4)就是等腰三角形；按照角来分，也可以分成两类，即(1)、(5)就是直角三角形;(2)、(3)、(4)就是斜三角形。正解:见分析。例18:已知:一个等腰三角形得一条边长为1厘米,另一条边长为3厘米,求这个等腰三角形得周长。(结论与实际情况不符)错解:(1)当腰长为1厘米，底边长为3厘米时淇周长为2X1+3=5厘米;(2)当腰长为3厘米，底边长为l厘米时淇周长为2X3+1=7厘米。分析：(1)中得三角形就是不存在得，因为三角形得基本性质就是“三角形任意两边之与大于第三边”,而三角形得两条腰长都为1厘米,其与就是2厘米,小于底边长3厘米,不能构成三角形,应当舍去。同样,也要对(2)中得情况进行检验,有些同学在解题中喜欢运用排除法,认为剩下得结果就就是一定就是正确得结果,这也就是非常不可取得。正解:依据题意可知,3厘米长得边为等腰三角形得腰,l厘米长得边必为等腰三角形得底边长答:其周长为2X3+1=7厘米。(四)逻辑性错误严谨性就是数学学科得主要特征之一,表现在证明过程中都要遵守逻辑推理得规则。数学证明就是根据确定了真实性得公理、定理、定义、公式、性质等数学命题,来论证其她数学命题真实性得推理过程。数学证明过程表现为一系列得逻辑推理,它关系到学生推理论证能力与逻辑思维能力得培养。在证明过程中,学生容易犯得逻辑性错误主要表现为:1 .偷换论题一些同学在解题过程中,因为某些原因人为地增加或者减少论题中得条件,导致论题改变,造成错误发生。例22:叙述命题“若a、b均为偶数，则a+b也为偶数”得逆否命题。错解:逆否命题为：若a+b为奇数，则a、b均为奇数。分析:原命题与逆否命题就是等价命题。若原命题为真,则逆命题亦真。但上述逆否命题不真。其实“a、b均为偶数”得否定应包括两种情况:(1)a、b均为奇数;(2)a、b为一奇、一偶。而(1)、(2)得统称应为“a、b不全为偶数”或“a、b至少有一个奇数”。“a、b均为奇数”偷换了论题，造成了命题错误。正解:逆否命题为若a+b为奇数，则a、b不全为偶数”。2 .论据不足在推理论证得过程中，逻辑规则必须正确，推理论证所依据得原理、原则必须充分与恰当。由于数学推理过程得复杂性与形式演变得多样性，极易产生由于论据不足而导致得“推不出”得错误用于2例231若四边形的一组对边中点的连线等于另一组对边之和的一半,则后一组对边平行.己知工如图3-2,四边形，四%中，分别是见的中点.且加M=十8八求证,AB/CD.惜征；减结0M并延长至,使NE=DM.DN二EM，not?=zmCN=8N:.ACDN工AfiEMCDN=Z5W:又8=RE，而刈；分析:以上证明方法似乎没错，但就是仔细一想，为什AB+BE=AE呢？这实质就是默认A,B,E三点共线，这就是毫无根据得，所以这个论证就是错误得。正证:设AB不平行于CD,联结BD,取BD得中点E,再连ME、NE,如图33所示。E分别是双)，BD的中点IDC由中位线的性质，二血,且？ME=-A8/ey2M,/二且N同理，NE疗8且NE=严y则M3+NE=-(ABCD)/_J2AB若M.N，E三点不共境,可得：ME+NEMN图W-(AStCD)SN.与已知条件!(HE+Q)=M：#盾由22取AR#CD董M、N、E三点共线，由三角形中位或性质可得ME界AB,NE/CD即MVCD瞅AB8综上所述，命题得证，3.循环论证我们知道，每一个证明都就是由论题、论证与论据这三个部分所构成得，在论证过程中，论据得真实性不能依赖于论题得真实性，否则就产生了循环论证。例24：A48C中，BC、/C边上的中线40、的中线也通过点0错证：任何三角形的三条中线交于一点，又，,中线4。、8E相交于点。，且只有点。,.。.点0就是&4BC的重心：/./B边上的中线必通过重心0分析:以上证法犯了循环论证的堵误,命题“任何三角形的三条中线交于一点”，其实质就是本题所要证明的论点，错误中作为论据显然错误。BE交于O,求证：48边上正证：如图3-4所示，联结C。并延K至G,使0G=C。，且交43于F,并连/G,BG在MGC中，E、。分别是/C、GC的中点:.E0/AGf从而狈4G同理0/8G四边形/GBO是平行四边形又.平行四边形对角线互相平分,：.AF=FB,即CF是边上的中线则4B边上的中线通过点0.例25：以AJBC的AB、4C为边向形外作正三角形4BD,ACE,求证:BE=CD错证；设/即C=a,如图3-5,在a图35rZBX60+a=：zn4Ct&ADAtAE=AC报航=8分析：NBRE一定等于60十口吗？答案是否定的如图3-6.以上证法犯了仍沛大严索的错误.止证：设/BKC=(x(1)当OsaclZO时，(证明如上，略)(2)当口二】2。时，ZBAE=ADAC,图3 &BE=8AAE=DAAC=CDi(3)当I20bACtHD是BC边上的中线,HE是41的角平分线求必X/DH8即-/AADAH*ZADE=miR+54ED=/胡C+C=-Z+ZC2又tA4/CAZCZfl.则敌/ED分析:在上证中，为什么呢？显然这就是由于图得几何直观所造成得。学习平面几何借助几何直观就是有很大得益处得，但就是只靠几何直观没有严密得逻辑推理，有时会导致解题或证明得错误。几何直观并不能代替逻辑证明，严格得论证如下:正证，如图3-8,延长/。至F,槿=,联结斯则易证明从而=NDdC,BF=AC在A4HF中，ABBF二餐+ZD吐EPZDACZDAE而4E是”的平分线所以，介于3与4C之间2ZADE=。郎+小又“8也ZCZB则&DE“ED,故WEc且D*6.孤潘问!S的“特殊性”和解一般性.:图34 f,F数学问题得过程与结论都具有一般性，在这种一般性中包含着特6 .混淆问题得“特殊性”与“一般性”殊性，所以一般性成立了，特殊性当然也能成立。但因为问题得特殊性代表了问题得本质基础，所以在数学解题过程中，往往把特殊作为研究问题得起点，由特殊性来研究它得一般性。但就是一些数学问题得特殊性并不包含在一般性之中，这往往就是思考中容易疏漏得地方，而忽视这种特殊性，就有可能造成数学错误，所以我们要处理好数学问题得“一般性”与“特殊性”之间得关系。例27：已知，I.2,求士土的值.2x+y+33错解:jc + 122了+产3 3工十1 = 22r+3 = 3解得一工=1所以.y2分析由1=工，并不等于口就是2,占就是3,它只表示。与5之比值为20b33舛q=4、t=6；口=100.A=150*d-528=一5*等等#因此，由此得出：+J2耨一般问也特殊化了,是不含理的.2i+j+3=3正帏由吊彳可设;北川解得一x = 2 -1二-1所以，土言上”（*/0旦4金一1）y*+1倒桀已知就匕4,求/曲工+12，=2工十十331=2卜+尸3 = 3解得：，7 .混淆条件得“充分性”与“必要性”若由A可以推出B,即AB,则称A就是B得充分条件，若由B可以推出A,即BA,则称B就是A得必要条件。学生在进行逻辑推理时,容易混淆充分性与必要性之间得关系,以致思维导向失当,造成数学错误。例28:解方程2x2+x6=1错解:原方程化为(2x3)(x+2)=1则:2x3=1;x+2=1)1军得：Xi=2,X2=i1分析:ab=1a、b互为倒数，若a=1且b=1ab=1但ab=1不能推出a=1且b=1。上述解法由于混淆了条件得充分性与必要性,而导致了错误。正解:原方程可化为2x2+x7=0(五)思维因素思维品质有着很高得要求,其表现得形式也更为多样。通常我们以“深刻性”、“灵活性”、“严谨性”、“批判性”等方面来评价学生得思维品质。1 .思考不够深入缺乏思维深度得学生,往往不能深入地钻研与思考问题,不善于从复杂得情况中把握住事物得本质,而就是被一些表面现象所迷惑,把问题绝对化,或者犯了不求甚解得毛病。比如在概念学习中,弄不清一些容易混淆得概念,如正数与非负数、倒数与相反数、有理数与无理数等等;在公式、定理、法则得学习中,也不能完全地掌握它们,包括条件、结论与适用得范围等；具体表现为思维得表面化、绝对化、形式主义、一知半解等。例他已知也之二二让机的值zxy情解：由己知得x+y=Azy+fj+j所以2(夏+y+工)=上(1+F+?)两边同时除以#+y+w,得A=2分析:当x+y+z?。时，等式2(x+y+z尸k(x+y+z)得两边才可以同时除以x+y+z;当x+y+z=0时，则应当另行讨论。正解：2(x+y+z)=i(x4-f+z)则(“p+zX24)=0二人?或工十当“？=0时.得fx+j=-j人工二7I2综上所述:k=2或一1。2 .思维不够灵活缺乏思维灵活性得学生不能对具体问题作具体分析，不善于根据实际情况得变化而及时调整原有得思维过程与方法，不能灵活地运用相关得知识与方法来解决问题，并且局限于固有得思维模式，不具有较强得应变能力。例30*计算.十+1x2 2x39x10错解:二（解不下去了）90分析；本题若按常规方法,先通分后再相加，势必感到束手无策。若能灵话运用减法的运算法则j-t那么将给解题带来很ababnm+1h（m+1）大的方便.pu11Ii11111,19jE解:+=1+=+11x22x39x10223910W103 .思维不严谨（考虑不周，主观臆断）思维不严谨具体表现在思维进程中得各种不全面、不完整、不严密。由思维得不严谨所产生得错误在学生中非常常见。比如需要分类讨论得题目往往就是学生学习得难点问题。而分类讨论也就是初中数学常见得，体现学生思维严谨性得数学思想方法，要求学生掌握与应用。分类讨论就是根据研究对象性质得差异，分别对各种情况予以考查，这也就是学生容易犯错得地方。究其主要原因就是对所讨论变量得取值范围分类不明确；分类不按同一标准进行；分类有遗漏；分类不互斥，有重复等。例31某人乘船由A地顺流而下到B地，然后又逆流而上到C地，乘船共需要4个小时。已知船在静水中得速度为每小时7.5千米，水流速度为每小时2.5千米。如果A、C两地相距10千米，试求A、B两地得距离错解:设A、B两地得距离为x公里,根据题意得:解得x=20（千米）答:A、B两地得距离为20千米。分析:学生就是在默认C地在A、B两地之间得条件下来解题得，遗漏了符合题意得另一情形,即C地位于A地得上游。所以还应该考虑当C地在A地上游时得情况:答:综上所述,A、B两地间得距离为20千米或千米。正解:过程见分析，4 .思维定势得影响思维定势就是一种思维惯性,即:总就是按照某种习惯得思路去思考问题。在解题时,有些学生常常先对问题进行模式辨认,当在解决相似得新问题时,具有试图把新得问题纳入到已建立得模式中加以解决得心理倾向,如此就造成了“先入为主”得思维惰性。此外,学生对已经接受得知识、解题方法等内容,往往在心目中有比较深刻得印象,这些固然对新知识得建构就是很好得经验,但也会限制学生对问题作出更加深入细致得探讨,从而产生思维定势。例32:如果直角三角形得两边长分别为6与8,那么第三条边等于_。错解:因为在直角三角形中,所以利用勾股定理可得第三条边长为10。分析:在解此题过程中,部分学生产生了思维定势（6,8,10为学生非常熟悉得一组勾股数）,默认第三条边一定就是斜边,造成漏解。正解:当6与8为直角边时,第三边长为10。当8为斜边时,第三边长为。三、克服初中学生数学错误得教学策略与方法学生数学错误得出现,一方面与学生在学习过程中对数学知识得理解与掌握、逻辑能力、思维能力、学习数学得方法与策略密切相关。另一方面也与教师在教学过程中得教学有着重要得关系。在教学中怎样避免与利用数学错误,就是教师应该认真研究与分析得。对于数学错误得有效减少与预防,笔者提出以下一些措施。（一）培养学生解题能力1 .加强对数学概念得理解对数学得概念理解就是学习数学得基础,许多学生由于对概念理解得程度不够导致了解题时得错误,所以加强概念得教学尤其重要。由于概念有较强得抽象性与概括性,所以我们在平时得教学中必须要重视概念得形成过程。在数学概念得教学中,教师要注重学生概念得形成过程。教师可以从大量生活中得实际例子出发,对相似得概念与容易混淆得概念要进行比较与分类,找出这些概念之间得区别与联系进而提炼出这一类事物得本质属性,然后再通过一些具体得例子对所发现得属性进行检验与修正,概括总结后再让学生用定义得形式表达出来。从这个形成过程中,学生可以得到概念得来龙去脉,能够有效地帮助她们理解概念。2 .提高审题能力有一位数学家曾经说,“善于解题得人,用一半得时间来理解问题而用另一半时间完成解题”,可见审题在解题中得地位与重要性。对于一些简单得题目,只要认真审题,完成解题并不困难。但对于一些条件比较复杂、隐蔽得题目,则需要认真阅读,仔细推敲,准确把握问题得条件与结论。在审题时,可以引入一些图形、表格、符号等来帮助理解题意。对于条件既不能遗漏,也不能随意添加。同时也要兼顾条件与结论,因为结论往往暗示了对条件进行转化得途径与方向。审题一定要注意抓关键词,想办法挖掘题目得内涵与外延。认真审题,提高审题能力可以帮助学生从题目中获取尽可能多得信息,就是提高学生数学解题能力得重要途径。3 .提高计算能力计算能力就是初中数学重要内容之一,作为教师应当在平时得教学中重视学生计算能力得训练与培养。掌握合理得算理与算法就是计算得基础,在计算过程中要准确无误地运用概念、公式、法则,有根有据地一步一步运算,不能跳步骤,只有做到这些,才能保证最终得运算结果准确无误。另外提高学生简便运算也就是提高运算能力得关键学会简便运算得学生不仅算得快,而且准确率也高。因为运算得步骤越繁琐,难度就越大,出错得可能性也就更大。4 .提高思维能力在数学教学中培养学生得思维能力就是减少学生得解题错误得重要途径之一。在教学中,我们发现:数学学习成绩好得同学,往往具有思维敏捷、逻辑清晰得特点,并且比一般得同学更加具有探索创新得精神。反观一些数学学习比较困难得学生,她们得思维具有局限性得特点,所学得内容也停留在教科书与教师讲过得内容上,一旦遇到新得问题往往束手无策,没有解决问题得好办法。5 .规范得解题格式规范得解题格式,不仅反映学生得数学知识技能水平,而且也反映学生得学习态度与学习习惯。因此,教师应该对学生得解题格式有严格要求:顺序从左到右,由上到下,排列要均匀;数字、符号正确,字迹工整、清晰;计算题步步为营,不能跳步骤;证明题由因导果,言必有据等。这些解题得格式问题一定要在平时得作业中常抓不懈,如果发现不按格式书写或出现错误,都要求学生有错必纠,及时修改订正。实践证明,通过训练能使学生养成耐心、细致、严肃、认真得书写习惯,形成规范得解题格式,减少不必要得错误。6 .养成解题检验得习惯在平时得教学中,笔者发现许多学生题目做完就了事,不重视对题目得检验。其实解题检验也就是解题得重要组成部分,只就是很多学生缺乏这种意识而已。教师在培养学生检验意识得同时,也可以介绍一些基本得检验方法。比如,对于一些计算得结果,可以通过估算来检验;对于没有把握得题目,可以重新再解一遍,当然解题得思路与步骤不能受前一种解法得影响;对于实际问题,可以根据解题得结果就是否符合实际情况来检验;对于有些问题,可以一题多解得方法来检验;对于一些几何证明得问题,可以尝试用倒推法来检验证明得正确性等等。7 .学会一题多解,提炼最优解法将一个复杂得问题简单化,就是数学解题中得基本思想方法。但就是在实际应用中,学生往往会把一个简单得问题复杂化,这就背离了解题得思想方法。所以在解题中,教师不能只关注学生就是否获得正确答案,更应该关注学生使用得方法就是否化繁为简,反映问题得本质。最优解法不一定就就是最巧妙得,但一定就是那些最具普遍意义、反映问题本质得方法。对学生开展一题多解得教学,在一题多解中提炼最优得解法,有利于开拓学生得思路,有利于学生掌握数学问题得本质,有利于提高学生得思维能力。8 .养成题后反思得习惯反思就是解题之后得重要环节。一些同学没有养成题后反思得习惯,一种错误错了又错,形成了一种习惯性错误。实践证明,通过题后反思能够减少重复出错得几率。反思可以使人对自己得错误观念进行深刻得理性认识,在剖析错误产生得前因后果以后,产生正确得认识,从而实现认识上得“知其然,又知其所以然”。某些不正确得观念形成以后往往根深蒂固,只有经过深刻反思,从错误中得出深刻教训后,才能得到真正纠正。10.整理一本数学错误集学生在学习数学得过程中,出现数学错误就是在所难免得,问题就是怎样瞧待这些错误、利用好这些错误。大多数学生对于错误,往往采取一种回避与轻视得态度。有些学生对于错误得订正不重视,需要老师反复得叮嘱与督促;有些同学对于订正草草了事,不就是直接抄袭答案就就是问这问那,不能独立思考完成;甚至有些同学宁愿再多做几道新题,也不愿订正一道错题。结果造成很多错题,老师反复讲,但就是学生还就是反复错,纠正错误得效率非常低。事实上错误就是宝贵得教学资源,它暴露了学生在数学学习中得种种问题。而造成这些问题得原因有很多,有知识理解不到位、有心理紧张、有思维不够灵活、有选择错误得策略方法等等。因此,在平时得教学中,教师应该帮助学生树立起纠错追因得意识,让学生意识到错误得重要价值,引导学生及时分析错误,改正错误,反思错误。学生也应该正确对待错误,养成搜集错误得好习惯,学会在错误中学习。所以让学生自己整理一本错误集,把平时在考试、作业、课堂上所犯得典型错误记录在这本错误集中,就是一条很好得培养学生反思纠错能力得途径。作为教师,我们也应该教会学生如何整理一本数学错误集。具体说来,主要有以下几个步骤:(1)对错误进行分类整理。具体得分类方法可以按照知识结构不完善、审题错误、运算错误、心理因素、逻辑错误、思维错误、方法与策略错误等来细分。对记录得错误还可以注明相关得章节与考点,这样不仅可以根据错误得原因来查找,也可以根据章节、考点来检索,给今后得复习带来便捷。另外,记录得错误应该具有典型性,不用每个错误都要记录。(2)记录错误得内容与方法。记录得内容包括错题,错误得解答,解题时得思维过程,正确得思维过程,正确得解答与学生得反思归纳。在记录过程中,要认真分析错误产生得原因及其根源,剖析正确与错误得思维过程,逐渐形成实事求就是、严谨治学得学习态度。(3)利用错误,巩固知识,改编错题,举一反三。我们不仅要记录数学错误,更要针对自己得每一个错误,查找课本与学习资料中得相关知识点。在巩固知识得前提下,找一些类似得题型进行解答,做到对此类题型得胸有成竹。在对错题进行比较深入得研究后,学生也可以进行一些变式练习。也就就是对原有得题目进行改编,举一反三,加深对薄弱环节得应用能力,有助于学生在变式中认清事物得本质。(4)反思总结,定期交流。当收集得数学错误形成一定量后,学生应该根据自身情况对错误进行反思总结。这种总结可以就是针对一个章节学习得,也可以就是针对某种错误类型得,也可以就是针对考点得。通过反思总结,学生对掌握知识得情况能做出正确得判断,进而及时调整学习状态。因为每一个学生对数学错误得总结就是不尽相同得,而其她同学总结得优点就是可以借鉴得,所以同学之间也应该加强交流,并可以请做得较好得同学进行示范。也可以通过分成若干个学习小组,用小组合作得形式,让不同层次得学生相互交流,以好带差,达到共同进步得目得。学生在刚开始整理与收集数学错误时,可能会有一些困难。教师要加强督促与指导,当学生养成一定得习惯后,教师可以逐渐放手。学生整理总结得多了,自然就有一些经验与方法,渐渐认清思维得种种障碍与错误得原因。学生积累错误集得过程,不仅就是一个纠错得过程,也就是一个知识复习与巩固得过程。多年得教学实践充分证明,在教学中合理使用数学错误集,不仅有助于提高学生得学习效率与学习成绩,而且增强了学生学习得自信心,收到了很好得教学效果。参考文献:1 .布卢姆著,杨晓青译.中学数学学习评价M】.上海:华东师范大学出版社,1989.2 .布鲁纳著,邵瑞珍译.教育过程连载布鲁纳教育论著选M.北京:人民教育出版社1989.3 .戴再平.数学学习论M上海:上海教育出版社,1996.4 .杜玉强,马晓燕,魏立平,赵继超.数学差生问题研究M.上海:华东师范大学出版社,2003.5 .冯卫东.初中数学解题错误得原因探析J.成才之路,2008(4).6 .格劳斯著,陈昌平译.数学教与学研究手册M.上海:上海教育出版,1999.7 .贾建成.初中数学解题中常见得问题及其思考J.新课程学习(中学),20098 .罗增儒.解题发现谈错例剖析,中学数学教学参考J.1999年第12期.9 .罗增儒.数学解题学引论M.西安:陕西师范大学出版社,1997.10 .马荣芝.认真审题，提高学生解题能力J.教育实践与研究，2010(1).11、碟兴广.数学作业典型错误分析100例M.上海:上海教育.12、王保顺.初中学生解题错误原因及对策J.中小学数学(初中版),2008.