资源描述
数学竞赛初二第二试(1)一、选择题：1 1999 , 1998 ,998, 999 这四个数从小到大的排列顺序是200019999991000（ ） 1999 1998 999 998（ ） 998 999 1998 1999AA19991000999B1000199920002000999（ C） 1998 1999 999 998（ D） 999 998 1999 0，则 bccaa b 的值是| a | b | c |（A） 3（B）1（C）3 或 1（D）3或15设实数 a、 b、 c 满足 abc ( ac0) ，且 | c|b|AC，AD、AE分别是 BC边上的中线和 A 的平分线，则AD和 AE的大小关系是 ADAE。 ( 填“ ”、“ ”或“” )B14如图 3，锐角 ABC中， AD和 CE分别是 BC和 AB边上的高，E若 AD与 CE所夹的锐角是58，则 BAC BCA的大小是。5815设 a2 b2 1 2 ,b2 c21 2 ，则 a4b4 c4 a2b2 b2c2c2a2A图 3的值等于。213116已知 x 为实数，且 x x 2 =3，则 xx 3的值是。17已知n为正整数，若n23n10 是一个既约分数，那么这个分数的值等An26n16E于。18如图 4，在 ABC中， AC 2， BC 4， ACB 60，将 ABCBD折叠，使点B和点C重合，折痕为，则的面积是。DEAEC图 419已知非负实数a、 、c满足条件：3 2b=4, 2a 3 =5，bacbc设 5a4 7c的最大值为，最小值为n，则n等于。Sbmm20设 a、 b、c、 d 为正整数，且a7 b6,c3 d2,ca 17，则 d b 等于。三解答题：21已知实数 a、b 满足条件 | ab| b 12258题号1617181920答案2 5823 2601113三解答题：21 | a b| b 1，a a、 b 同号，且 a 0, b 0, a b1 ( a- b)-10, ( 1 1 )(a b 1) 2=(1 1 )1-( a- b)= b a 1 (a b) .ababab 若 a、b 同为正数，由b b，ab2a2 a- b= ,a ab=b,解得 b=,aa1( 11)(a b 1) 2 = b a 1 (aa bab= 1 a ba2a=1.a2( a 1)bb) =a (1 b )aba= ba4 若 a、b 同为负数，由b a，a a- b= b , a2ab= b, 解得 b= a 2,aa1b ( 1 1 ) (a b 1) 2= ba 1 (ab) = a (1 b )a bababaaa2aba1=3a3a=2a1 .a2 (a1)综上所述，当a、b 同为正数时，原式的结果为1；当 a、b 同为负数时，2 (aa1)原式的结果为2a1a2 (a1)22将 ADF绕 A 点顺时针方向旋转90到 ABG的位置， AG AF， GAB FAD 15， GAE 15 30 45， EAF 90 (30 15 ) 45， GAE FAE，又 AE AE， AEF AEG， EFEG， AEF AEG 60，在 Rt ABE中， AB3 ， BAE 30， AEB60， BE 1，在 Rt EFC中， FEC 180 (60 60 ) 60，EC BC BE3 1，EF2(31)，EG2( 3 1) ，S 1EG AB 33 ， AEG2 SAEFS AEG 3 3 .23 将第一个球先放入，有5 种不同的的方法，再放第二个球，这时以4 种不同的放法，依此类推，放入第三、四、五个球，分别有3、 2、1 种放法，所以总共有 5 43 2 1120 种不同的放法。 将1号球放在1 号盒子中，其余的四个球随意放，它们依次有4、3、2、 1 种不同的放法，这样共有43 2 1 24 种不同的放法。(解法一)在这 120 种放法中， 排除掉全部不对号的放法，剩下的就是至少有一个球放入了同号的盒子中的放法种数。为研究全部不对号的放法种数的计算法，设A1 为只有一个球放入一个盒子，且不对号的放法种数，显然1 0，2 为只有二个球放入二个盒子，且不对号的放法种数，AAA 2， ， A A 1， A 为只有三个球放入三个盒子，且都不对号的放法种数，n233为有 n 个球放入 n 个盒子，且都不对号的放法种数。下面我们研究A n+1 的计算方法，考虑它与A n 及 An1 的关系，如果现在有 n 个球已经按全部不对号的方法放好，种数为 A 。取其中的任意一种，n将第 1 个球和第 1个盒子拿来，将前面n个盒子中的任一盒子 ( 如第m个盒子 )nn中的球 ( 肯定不是编号为m的球 ) 放入第 n 1个盒子，将第 n 1 个球放入刚才空出来的盒子，这样的放法都是合理的。共有n A n 种不同的放法。但是，在刚才的操作中，忽略了编号为m的球放入第 n1 个盒子中的情况，即还有这样一种情况，编号为m 的球放入第 n 1个盒子中，且编号为n 1 的球放入第 m个盒子中，其余的n 1 个球也都不对号。于是又有了nAn 1 种情况是合理的。综上所述得 AnA nAn1n( A An 1).n 1nn由1=0,2=1,得3=2(1 0)=2,4 3(2 1)=9,5 4(9 2)=44.AAAAA所以至少有一个球放入了同号的盒子中的放法种数为全部放法的种数减去五个球都不对号的放法种数，即120 44 76 种。(解法二 )从五个球中选定一个球，有5 种选法，将它放入同号的盒子中( 如将 1号球放入 1号盒子 ) ，其余的四个球随意放，有24 种放法，这样共有5 24 120 种放法。但这些放法中有许多种放法是重复的，如将两个球放入同号的盒子中(例如 1号球和 2号球分别放入1 号盒子、 2 号盒子中 ) 的放法就计算了两次，这样从总数中应减去两个球放入同号的盒子中的情况，得120 C2P3 12060( 种 ) 。53很明显，这样的计算中，又使得将三个球放入同号的盒子中(例如 1号球、 2号球和 3号球分别放入1 号盒子、 2 号盒子和 3 号盒子中 ) 的放法少计算了一次，于是前面的式子中又要加入C53 P22 20 种，再计算四个球、 五个球放入同号盒子的情况，于是再减去四个球放入同号盒子中的情况 C4 P1 ，最后加上五个球放入同号中的情况C5 。515整个式子为120 C25 P33 C35 P22 C54P11 C55 12060 205 1 76( 种 ) 。
展开阅读全文