高中数学 112《四种命题及其相互关系》同步课件 新人教A版选修11

1知识与技能了解四种命题的概念，并会判断命题的真假2过程与方法了解命题的逆命题，否命题、逆否命题，能写出原命题的其它三种命题能利用四种命题间的相互关系判断命题的真假本节重点：了解命题的逆命题、否命题、逆否命题本节难点：分析四种命题的相互关系以及四种命题的真假之间的关系1要通过实例去发现四种命题间的关系，并能用命题间的关系去验证写出的命题是否正确2要注意否命题与命题的否定是不同的例如：原命题“若AB，则ab”的否命题是“若AB，则ab”，而原命题的否定是“若AB，则ab”通过实例真正弄清一个命题的否命题与它的否定的本质区别：否命题是既否定条件又否定结论；命题的否定是只否定结论1四种命题的概念关于原命题的逆命题、否命题和逆否命题的写法：首先：把原命题整理成“如果p，则q”其次：(1)“换位”得到“如果q，则p”，即为逆命题；(2)“换质”(分别否定)得到“如果非p，则非q”即为否命题；(3)既“换位”又“换质”得到“如果非q，则非p”即为逆否命题注意：“命题的否定”只否定结论，而否命题要对条件和结论分别进行否定只有“如果p，则q”形式的命题才有否命题，形式为“如果綈p，则綈q”在写一个命题的否定或否命题时要注意一些关键词的否定2命题的四种形式间的关系(1)命题的四种形式中，哪个是原命题是相对的，不是绝对的；(2)四种命题间有两对互逆关系，两对互否关系，两对互为逆否的关系，对互为逆否的两命题同真同假，在判断和证明中要注意它们之间的相互转化3间接证明有关问题由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，所以在直接证明一个命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真来间接证明原命题为真，即正难则反的思想注意：间接法常用于证明否定性、存在性、惟一性，至多至少等，结论的反面是比原结论更具体、更易于研究和掌握的问题1一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做 ，其中一个命题叫做 ，另一个叫做原命题的 2一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，我们把这样的两个命题叫做，其中一个命题叫做 ，另一个叫做原命题的互逆命题原命题逆命题互否命题原命题否命题3一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，我们把这样的两个命题叫做，其中一个命题叫做，另一个叫做原命题的4原命题为真，它的逆命题5原命题为真，它的否命题6原命题为真，它的逆否命题 7互为逆否的命题是等价命题，它们同 同 ，同一个命题的逆命题和否命题是一对互为 的命题，它们同 同互为逆否命题原命题逆否命题不一定为真不一定为真为真真假逆否真假例1写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题(1)负数的平方是正数；(2)正方形的四条边相等分析此题的题设和结论不很明显，因此首先将命题改写成“若p，则q”的形式，然后再写出它的逆命题、否命题与逆否命题解析(1)改写成“若一个数是负数，则它的平方是正数”逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数否命题：若一个数不是负数，则它的平方不是正数逆否命题：若一个数的平方不是正数，则它不是负数(2)原命题可以写成：若一个四边形是正方形，则它的四条边相等逆命题：若一个四边形的四条边相等，则它是正方形否命题：若一个四边形不是正方形，则它的四条边不相等逆否命题：若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形点评例1(1)题还有另一种解答：原命题可以写成：若一个数是负数的平方，则这个数是正数逆命题：若一个数是正数，则它是负数的平方否命题：若一个数不是负数的平方，则这个数不是正数逆否命题：若一个数不是正数，则它不是负数的平方这两种解答都可以，实际上例1中的第(2)小题也有同样的另一种解答写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题(1)若x2y20，则x，y全为0.(2)若ab是偶数，则a，b都是偶数解析(1)逆命题：若x，y全为0，则x2y20；否命题：若x2y20，则x，y不全为0；逆否命题：若x，y不全为0，则x2y20.(2)逆命题：若a，b都是偶数，则ab是偶数；否命题：若ab不是偶数，则a，b不都是偶数；逆否命题：若a，b不都是偶数，则ab不是偶数.例2判断下列命题的真假，写出它们的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假(1)若ab，则ac2bc2；(2)若四边形的对角互补，则该四边形是圆的内接四边形；(3)若在二次函数yax2bxc中，b24acbc2，则ab为真；否命题：若ab，则ac2bc2为真；逆否命题：若ac2bc2，则ab为假(2)该命题为真逆命题：若四边形是圆的内接四边形，则四边形的对角互补，为真否命题：若四边形的对角不互补，则该四边形不是圆的内接四边形，为真逆否命题：若四边形不是圆的内接四边形，则四边形的对角不互补，为真(3)该命题为假逆命题：若二次函数yax2bxc的图象与x轴有公共点，则b24acbcab；(2)已知x、y为正整数，当yx1时，y3，x2；(3)当m 时，mx2x10无实根；(4)当abc0时，a0或b0或c0；(5)若x22x30，则x3或x1.解析(1)原命题：若acbc，则ab.(假)否命题：若acbc，则ab.(假)逆否命题：若ab，则acbc.(假)(2)原命题：已知x、y为正整数，若yx1，则y3且x2.(假)否命题：已知x、y为正整数，若yx1，则y3或x2.(真)逆否命题：已知x、y为正整数，若y3或x2，则yx1.(假)(4)原命题：若abc0，则a0或b0或c0.(真)否命题：若abc0，则a0且b0且c0.(真)逆否命题：若a0且b0且c0，则abc0.(真)(5)原命题：若x22x30，则x3或x1.(真)否命题：若x22x30，则x3且x1.(真)逆否命题：若x3且x1，则x22x30.(真)例3有下列四个命题：(1)“若xy0，则x、y互为相反数”的否命题；(2)“若ab，则a2b2”的逆否命题；(3)“若x3，则x2x60”的否命题；(4)“对顶角相等”的逆命题其中真命题的个数是()A0B1C2D3答案B解析(1)“若xy0，则x、y不是相反数”是真命题(2)“若a2b2，则ab”，取a1，b0，因为ab2，故是假命题(3)“若x3，则x2x60”，解不等式x2x60可得2x3，而x43，不是不等式的解，故是假命题(4)“相等的角是对顶角”是假命题故选B.点评本题的解法中运用了举反例的办法，如(2)、(3)的解法举出一个反例说明一个命题不正确是以后经常用到的方法判断命题“若a0，则x2xa0有实根”的逆否命题的真假解析解法一：写出逆否命题，再判断其真假原命题：若a0，则x2xa0有实根；逆否命题：若x2xa0无实根，则a0.判断如下：因为x2xa0无实根所以14a0，所以a 0.所以“若x2xa0无实根，则a0，所以方程x2xa0的判别式4a10，所以方程x2xa0有实根故原命题“若a0，则x2xa0有实根”为真又因原命题与逆否命题等价，所以“若a0，则x2xa0有实根”的逆否命题为真例4写出下列命题的否命题及命题的否定形式，并判断真假(1)若m0，则关于x的方程x2xm0有实根(2)若x、y都是奇数，则xy是奇数(3)若abc0，则a、b、c中至少有一个为0.解析(1)否命题：若m0，则关于x的方程x2xm0无实根(假命题)命题的否定：若m0，则关于x的方程x2xm0无实根(假命题)(2)否命题：若x、y不都是奇数，则xy不是奇数(假命题)命题的否定：若x、y都是奇数，则xy不是奇数(真命题)(3)否命题：若abc0，则a、b、c全不为0.(真命题)命题的否定：若abc0，则a、b、c全不为0.(假命题)点评命题的否定形式及否命题是两个不同的概念，要注意区别，不能混淆从形式上看，否命题既否定条件，又否定结论，而命题的否定，条件不变，只否定结论.例5已知函数f(x)在(，)上是增函数，a、bR，对命题“如果ab0，则f(a)f(b)f(a)f(b)”(1)写出其否命题，判断其真假，并证明你的结论(2)写出其逆否命题，判断其真假，并证明你的结论分析由题目可获取以下主要信息：给出一个具体的命题，写出它的否命题及逆否命题，判断其真假并证明解答这类题关键是根据命题的特点，选择合适的证明方法解析(1)否命题：如果ab0，则f(a)f(b)f(a)f(b)为真命题当ab0时，ab，f(x)在(，)上是增函数f(a)f(b)，又由ab0，可知ba，同理f(b)f(a)，则f(a)f(b)f(a)f(b)即“ab0f(a)f(b)f(a)f(b)”成立(2)逆否命题：如果f(a)f(b)f(a)f(b)，则ab0.真命题因为一个命题和它的逆否命题等价，所以可证明原命题为真命题因为ab0，所以ab，ba，又因为f(x)在(，)上是增函数，所以f(a)f(b)，f(b)f(a)，所以f(a)f(b)f(a)f(b)所以逆否命题为真点评当直接证明一个命题的真假有困难时，往往需转化为证明其逆否命题的真假，如原命题是全称命题或存在性命题，或原命题是以否定形式给出的时候，往往会采用这种思路已知函数yf(x)是R上的增函数，对a、bR，若f(a)f(b)f(a)f(b)成立，证明ab0.证明原命题的逆否命题为：若ab0，则f(a)f(b)f(a)f(b)以下证明其逆否命题：若ab0，则ab，ba.又因为f(x)在R上是增函数，所以f(a)f(b)，f(b)f(a)，所以f(a)f(b)f(b)f(a)，逆否命题为真命题又因为原命题和逆否命题同真同假，得证例6写出命题“已知a、b、c、d是实数，如果ab，cd，则acbd”的逆命题、否命题，并证明它们的真假误解逆命题：如果acbd，则a、b、c、d是实数，且ab，cd.假命题否命题：如果a、b、c、d不是实数，ab，cd，则acbd.假命题辨析上述解法没有弄清命题的条件，将大前提“a、b、c、d是实数”充当了条件正解逆命题：已知a、b、c、d是实数，如果acbd，则ab，cd.假命题否命题：已知a、b、c、d是实数，如果ab，cd，则acbd.假命题一、选择题1命题“两条对角线相等的四边形是矩形”是命题“矩形是两条对角线相等的四边形”的()A逆命题B否命题C逆否命题 D无关命题答案A解析依据逆命题定义2命题“对顶角相等”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题是()A上述四个命题 B原命题与逆命题C原命题与逆否命题 D逆命题与否命题答案C解析命题“对顶角相等”的逆命题“相等的角是对顶角”是假命题，选C.3与命题“能被6整除的整数，一定能被3整除”等价的命题是()A能被3整除的整数，一定能被6整除B不能被3整除的整数，一定不能被6整除C不能被6整除的整数，一定不能被3整除D能被6整除的整数，一定不能被3整除答案B解析9能被3整除，但不能被6整除，排除A；9不能被6整除，但能被3整除，排除C；12能被6整除，也能被3整除，排除D.4命题“若A60，则ABC是等边三角形”的否命题是“A60，则ABC不是等边三角形”为()A假命题B与原命题真假性相同C与原命题的逆否命题真假性相同D与原命题的逆命题真假性相同答案D解析否命题与逆命题是等价的二、填空题5命题“若ab0，则a0或b0”的逆否命题是_，是_命题答案若a0且b0，则ab0；真6若p的逆命题是r，r的否命题是s，则s是p的否命题的_答案逆命题三、解答题7把命题“全等三角形的面积相等”改写成“若p则q”的形式，并写出它的逆命题、否命题与逆否命题解析“若p则q”的形式：若两个三角形全等，则它们的面积相等逆命题：若两个三角形的面积相等，则这两个三角形全等否命题：若两个三角形不全等，则它们的面积不相等逆否命题：若两个三角形的面积不相等，则这两个三角形不全等