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第第8课时课时离散型随机变量的离散型随机变量的均值与方差、正态分布均值与方差、正态分布教材回扣夯实双基教材回扣夯实双基基础梳理基础梳理1离散型随机变量的均值与方差离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量若离散型随机变量X的分布列为的分布列为Xx1x2xixnPp1p2pipn(1)均值均值称称EX_为随为随机变量机变量X的均值或的均值或_，它反映了离，它反映了离散型随机变量取值的散型随机变量取值的_x1p1x2p2xipixnpn数学期望数学期望平均水平平均水平平均偏离程度平均偏离程度2均值与方差的性质均值与方差的性质(1)E(aXb)_，(2)D(aXb)_.(a，b为常数为常数)3两点分布与二项分布的均值、方差两点分布与二项分布的均值、方差aEXba2DX均值均值方差方差变量变量X服从服从两点分布两点分布EX_DX_XB(n，p) EX_DX_pp(1p)npnp(1p)4.正态曲线的特点正态曲线的特点(1)曲线位于曲线位于x轴轴_，与，与x轴轴_；(2)曲线是单峰的，它关于直线曲线是单峰的，它关于直线_对称；对称；(3)曲线在曲线在x处达到峰值处达到峰值_；(4)曲线与曲线与x轴之间的面积为轴之间的面积为_；上方上方不相交不相交x1(5)当当一定时，曲线随着一定时，曲线随着的变化而沿的变化而沿x轴平轴平移；移；(6)当当一定时，曲线的形状由一定时，曲线的形状由确定确定_，曲线越，曲线越“瘦高瘦高”，表示总体的分，表示总体的分布越布越_；_，曲线越，曲线越“矮胖矮胖”,表示总体的分布越表示总体的分布越_越小越小集中集中越大越大分散分散思考探究思考探究参数参数，在正态分布中的实际意义是什么？在正态分布中的实际意义是什么？提示：提示：是正态分布的期望，是正态分布的期望，是正态分布的是正态分布的标准差标准差 课前热身课前热身2设随机变量设随机变量X服从正态分布服从正态分布N(2,9)，若，若P(Xc1)P(Xc1)，则，则c等于等于()A1 B2C3 D43有一批产品，其中有有一批产品，其中有12件正品和件正品和4件次件次品，有放回地任取品，有放回地任取3件，若件，若X表示取到次品表示取到次品的件数，则的件数，则DX_.4在篮球比赛中，罚球命中在篮球比赛中，罚球命中1次得次得1分，不分，不中得中得0分如果某运动员罚球命中的概率为分如果某运动员罚球命中的概率为0.7，那么他罚球，那么他罚球1次的得分次的得分X的均值是的均值是_解析：解析：EX10.700.30.7.答案：答案：0.7考点探究讲练互动考点探究讲练互动考点考点1 离散型随机变量的期望和方差离散型随机变量的期望和方差 (2011高考天津卷高考天津卷)学校游园活动有这学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、个白球、2个个黑球，乙箱子里装有黑球，乙箱子里装有1个白球、个白球、2个黑球，这些个黑球，这些球除颜色外完全相同每次游戏从这两个箱子球除颜色外完全相同每次游戏从这两个箱子里各随机摸出里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于个球，若摸出的白球不少于2个个，则获奖，则获奖(每次游戏结束后将球放回原箱每次游戏结束后将球放回原箱)例例1(1)求在求在1次游戏中，次游戏中，摸出摸出3个白球的概率；个白球的概率；获奖的概率获奖的概率(2)求在求在2次游戏中获奖次数次游戏中获奖次数X的分布列及数的分布列及数学期望学期望EX.所以所以X的分布列是的分布列是【题后感悟题后感悟】(1)求离散型随机变量的均求离散型随机变量的均值与方差时，关键是先求出随机变量的分值与方差时，关键是先求出随机变量的分布列，然后根据均值与方差的定义求解布列，然后根据均值与方差的定义求解(2)若随机变量若随机变量X服从二项分布，即服从二项分布，即XB(n，p)，则可直接使用公式，则可直接使用公式EXnp，DXnp(1p)求解求解备选备选例题例题（教师用书独具）（教师用书独具）例例变式训练变式训练1袋中有袋中有20个大小相同的球，其中记上个大小相同的球，其中记上0号号的有的有10个，记上个，记上n号的有号的有n个个(n1,2,3,4)现从袋中任取一球，现从袋中任取一球，表示所取球的标号表示所取球的标号(1)求求的分布列、期望和方差；的分布列、期望和方差；(2)若若ab，E1，D11，试求，试求a，b的值的值解：解：(1)的分布列为的分布列为随机抽取某厂的某种产品随机抽取某厂的某种产品200件，经件，经质检质检,其其中有一等品中有一等品126件、二等品件、二等品50件、三件、三等品等品20件、次品件、次品4件已知生产件已知生产1件一、二、件一、二、三等品获得的利润分别为三等品获得的利润分别为6万元、万元、2万元、万元、1万元，而万元，而1件次品亏损件次品亏损2万元设万元设1件产品的件产品的利润利润(单位：万元单位：万元)为为X.例例2考点考点2 均值与方差的实际应用均值与方差的实际应用(1)求求X的分布列；的分布列；(2)求求1件产品的平均利润件产品的平均利润(即即X的数学期望的数学期望)；(3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为次品率降为1%，一等品率提高为，一等品率提高为70%.如果如果此时要求此时要求1件产品的平均利润不小于件产品的平均利润不小于4.73万万元，则三等品率最多是多少？元，则三等品率最多是多少？X6212P0.630.250.10.02(2)EX60.6320.2510.1(2) 0.024.34(万元万元)(3)设技术革新后的三等品率为设技术革新后的三等品率为x，则此时则此时1件产品的平均利润为件产品的平均利润为EX60.72(10.70.01x)x(2)0.014.76x(0 x0.29)，依题意，依题意，知知E(X)4.73，即即4.76x4.73，解得，解得x0.03.所以三等品率最多为所以三等品率最多为3%.【题后感悟题后感悟】(1)解决此类题目的关键是正解决此类题目的关键是正确理解随机变量取每一个值所表示的具体事确理解随机变量取每一个值所表示的具体事件，求得该事件发生的概率件，求得该事件发生的概率(2)均值与方差从整体和全局上刻画了随机变均值与方差从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据，一般是先分析比较均值，若均值相依据，一般是先分析比较均值，若均值相同，再用方差来决定同，再用方差来决定变式训练变式训练2在某一有奖销售中，每在某一有奖销售中，每10万份奖券中有万份奖券中有1个一等奖个一等奖(奖金奖金10000元元)，2个二等奖个二等奖(每个奖每个奖金金5000元元)，500个三等奖个三等奖(每个奖金每个奖金100元元)，10000个四等奖个四等奖(每个奖金每个奖金5元元)，试求每张，试求每张奖券奖金的期望值如果每张奖券奖券奖金的期望值如果每张奖券3元，销售元，销售一张平均获利多少一张平均获利多少(假设所有奖券全部售完假设所有奖券全部售完)?解：设一张奖券的奖金额为解：设一张奖券的奖金额为X，根据题意，根据题意，X的分布列为的分布列为(2011高考湖北卷高考湖北卷)已知随机变量已知随机变量服服从正态分布从正态分布N(2，2)，且，且P(4)0.8，则，则P(02)()A0.6B0.4C0.3 D0.2例例3考点考点3 正态分布正态分布【解析解析】由由P(4)0.8知知P(4)P(0)0.2，故，故P(02)0.3.故选故选C.【答案答案】C【题后感悟题后感悟】关于正态总体在某个区间内关于正态总体在某个区间内取值的概率求法：取值的概率求法：(1)熟记熟记P(X)，P(2X2)，P(3X3)的值的值(2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴轴之间面积为之间面积为1.备选备选例题例题（教师用书独具）（教师用书独具）在某次数学考试中，考生的成绩在某次数学考试中，考生的成绩服从正服从正态分布，即态分布，即N(100,100),已已知满分为知满分为150分分(1)试求考试成绩试求考试成绩位于区间位于区间(80,120内内的概率的概率；(2)若这次考试共有若这次考试共有2000名考生参加，试估计名考生参加，试估计这次考试及格这次考试及格(不小于不小于90分分)的人数的人数例例 【解解】(1)由由N(100,100)知知100， 10. P(80120)P(1002010020) 0.9544， 即考试成绩位于区间即考试成绩位于区间(80,120内的概率为内的概率为0.9544. (2)P(90110)P(1001010010)0.6826， P(110) (10.6826)0.1587， P(90)0.68260.15870.8413. 及格人数为及格人数为20000.84131683.变式训练变式训练3已知正态分布总体落在区间已知正态分布总体落在区间(0.2，)的概率为的概率为0.5，那么相应的正态曲线，那么相应的正态曲线，(x)在在x_时达到最高点时达到最高点解析：解析：P(x0.2)0.5，P(x0.2)0.5,即直线即直线x0.2是正态曲线的对称轴，是正态曲线的对称轴，当当x0.2时，时，(x)达到最高点达到最高点答案：答案：0.2方法技巧方法技巧1释疑离散型随机变量的均值释疑离散型随机变量的均值(1)均值是算术平均值概念的推广，是概率意义下均值是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均的平均(2)EX是一个实数，由是一个实数，由X的分布列唯一确定，它描的分布列唯一确定，它描述述X取值的平均状态取值的平均状态(3)教材中给出的教材中给出的E(aXb)aEXb，说明，说明随机变量随机变量X的线性函数的线性函数YaXb的均值等于的均值等于随机变量随机变量X均值的线性函数均值的线性函数.2离散型随机变量的方差离散型随机变量的方差(1)DX表示随机变量表示随机变量X对对EX的平均偏离程度的平均偏离程度, DX越大表明平均偏离程度越大，说明越大表明平均偏离程度越大，说明X的取的取值越分散；反之，值越分散；反之，DX越小，越小，X的取值越集中的取值越集中在在EX附近，统计中常用附近，统计中常用 来描述来描述X的分的分散程度散程度(2)DX与与EX一样，也是一个实数，由一样，也是一个实数，由X的分的分布列唯一确定布列唯一确定失误防范失误防范1对于应用问题，必须对实际问题进行具对于应用问题，必须对实际问题进行具体分析，一般要先将问题中的随机变量设出体分析，一般要先将问题中的随机变量设出来，再进行分析，求出随机变量的概率分来，再进行分析，求出随机变量的概率分布，然后按定义计算出随机变量的期望、方布，然后按定义计算出随机变量的期望、方差或标准差差或标准差2在实际问题中进行概率、百分比计算时在实际问题中进行概率、百分比计算时,关键是把正态分布的两个重要参数关键是把正态分布的两个重要参数，求出，然后确定三个区间求出，然后确定三个区间(范围范围)：(，)，(2，2)，(3，3)与已知概率值进行联系求解与已知概率值进行联系求解考向瞭望把脉高考考向瞭望把脉高考命题预测命题预测从近几年的高考试题来看，离散型随机变量的从近几年的高考试题来看，离散型随机变量的均值与方差是高考的热点，题型为填空题或解均值与方差是高考的热点，题型为填空题或解答题，属中档题常与排列、组合、概率等知答题，属中档题常与排列、组合、概率等知识综合命题，既考查基本概念，又注重考查基识综合命题，既考查基本概念，又注重考查基本运算能力和逻辑推理、理解能力而正态分本运算能力和逻辑推理、理解能力而正态分布在近几年高考中，有些省份进行了考查，布在近几年高考中，有些省份进行了考查，其难度较低其难度较低预测预测2013年高考，离散型随机变量的均值与年高考，离散型随机变量的均值与方差仍然是高考的热点，同时应特别注意均方差仍然是高考的热点，同时应特别注意均值与方差的实际应用值与方差的实际应用 规范解答规范解答例例(本题满分本题满分12分分)(2011高考福建卷高考福建卷)某产品按某产品按行业生产标准分成行业生产标准分成8个等级，等级系数个等级，等级系数X依次为依次为1,2，8，其中，其中X5为标准为标准A，X3为标准为标准B.已已知甲厂执行标准知甲厂执行标准A生产该产品，产品的零售价为生产该产品，产品的零售价为6元元/件；乙厂执行标准件；乙厂执行标准B生产该产品，产品的零售生产该产品，产品的零售价为价为4元元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标执行标准准(1)已知甲厂产品的等级系数已知甲厂产品的等级系数X1的概率分布列的概率分布列如下所示：如下所示：且且X1的数学期望的数学期望EX16，求，求a，b的值；的值；X15678P0.4ab0.1(2)为分析乙厂产品的等级系数为分析乙厂产品的等级系数X2，从该厂生，从该厂生产的产品中随机抽取产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：组成一个样本，数据如下：用这个样本的频率分布估计总体分布，将频用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数率视为概率，求等级系数X2的数学期望；的数学期望；(3)在在(1)、(2)的条件下，若以的条件下，若以“性价比性价比”为为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由性？说明理由注：注：产品的产品的“性价比性价比” ；“性价比性价比”大的产品更具可购买性大的产品更具可购买性【解解】(1)因为因为EX16，所以所以50.46a7b80.16，即即6a7b3.2. 2分分又由又由X1的概率分布列得的概率分布列得0.4ab0.11，即即ab0.5.(2)由已知得，样本的频率分布表如下：由已知得，样本的频率分布表如下： 6分分用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数为概率，可得等级系数X2的概率分布列如下：的概率分布列如下：X2345678f0.30.20.20.10.10.1X2345678P0.30.20.20.10.10.1所以所以EX230.340.250.260.170.180.14.8，即乙厂产品的等级系数的数学期望等于即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8. 8分分【得分技巧得分技巧】解答本题难点：一是文字叙解答本题难点：一是文字叙述较长，不便于理解，应仔细阅读；二是述较长，不便于理解，应仔细阅读；二是“性价比性价比”不知是什么？三是由分布列性质和不知是什么？三是由分布列性质和期望列关于期望列关于a、b的方程的方程【失分溯源失分溯源】解答本题失分点：一是缺失解答本题失分点：一是缺失步骤步骤,不不列样本的频率表而直接写出列样本的频率表而直接写出分布列分布列；二是由于对二是由于对“性价比性价比”不理解，第不理解，第(3) 问问未未求解求解
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