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第五节 椭 圆1.1.椭圆的定义椭圆的定义设设F F1 1,F,F2 2，M M分别为平面内的两个定点与动点，若分别为平面内的两个定点与动点，若_=2a_=2a，且，且2a2a|F|F1 1F F2 2| |，则点，则点M M的轨迹为椭的轨迹为椭圆圆,_,_叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离|F|F1 1F F2 2| |叫做椭圆的叫做椭圆的_._.|MF|MF1 1|+|MF|+|MF2 2| |焦距焦距两个定点两个定点2.2.椭圆的标准方程和几何性质椭圆的标准方程和几何性质图图 形形 标准方程标准方程 _ _ _2222xy1ab2222yx1ab(ab0) (ab0) 图图 形形性性质质范围范围_x_x_y_y_x_x_y_y_对称性对称性对称轴：对称轴：_对称中心：对称中心：_顶点顶点A A1 1_，A A2 2_B B1 1_，B B2 2_A A1 1_，A A2 2_B B1 1_，B B2 2_-a-aa a-b-bb b-b-bb b-a-aa a坐标轴坐标轴原点原点(-a(-a，0)0)(a(a，0)0)(0(0，-b)-b)(0(0，b)b)(0(0，-a)-a)(0(0，a)a)(-b(-b，0)0)(b(b，0)0)图图 形形性性质质轴轴长轴长轴A A1 1A A2 2的长为的长为_短轴短轴B B1 1B B2 2的长为的长为_焦距焦距F F1 1F F2 2=_=_离心率离心率e= _e= _a,b,ca,b,c的关系的关系a a2 2=_=_2c2cca(0(0，1)1)b b2 2+c+c2 22a2a2b2b判断下面结论是否正确（请在括号中打判断下面结论是否正确（请在括号中打“”或或“”）（1 1）平面内与两个定点）平面内与两个定点F F1 1,F,F2 2的距离之和等于常数的点的轨迹的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆是椭圆.( ).( )（2 2）椭圆上一点）椭圆上一点P P与两焦点与两焦点F F1 1,F,F2 2构成构成PFPF1 1F F2 2的周长为的周长为2a+2c2a+2c（其中（其中a a为椭圆的长半轴长，为椭圆的长半轴长，c c为椭圆的半焦距）为椭圆的半焦距）.( ).( )（3 3）方程）方程 表示焦点在表示焦点在y y轴上的椭圆轴上的椭圆.( ).( )（4 4）椭圆的离心率）椭圆的离心率e e越大，椭圆就越圆越大，椭圆就越圆.( ).( )22x4y149(5)(5)椭圆既是轴对称图形椭圆既是轴对称图形, ,又是中心对称图形又是中心对称图形.( ).( )(6)(6)直线直线l与椭圆与椭圆C C相切的充要条件是：直线相切的充要条件是：直线l与椭圆与椭圆C C只有一个公只有一个公共点共点.( ).( )【解析【解析】(1)(1)错误错误. .由椭圆的定义知由椭圆的定义知, ,当该常数大于当该常数大于|F|F1 1F F2 2| |时，其时，其轨迹才是椭圆轨迹才是椭圆, ,而常数等于而常数等于|F|F1 1F F2 2| |时，其轨迹为线段时，其轨迹为线段F F1 1F F2 2, ,常数常数小于小于|F|F1 1F F2 2| |时时, ,不存在图形不存在图形. .(2)(2)正确正确. .由椭圆的定义得由椭圆的定义得,|PF,|PF1 1|+|PF|+|PF2 2|=2a,|=2a,又又|F|F1 1F F2 2|=2c,|PF|=2c,|PF1 1|+|PF|+|PF2 2|+|F|+|F1 1F F2 2|=2a+2c.|=2a+2c.(3)(3)错误错误. .方程可化为方程可化为 , ,其中其中4 4 , ,故其表示焦点在故其表示焦点在x x轴上的椭圆轴上的椭圆. .(4)(4)错误错误. .因为因为 所以所以e e越大越大, ,则则 越小，越小，椭圆就越扁椭圆就越扁. .22xy1,94494222cabbe1 ( ) ,aaaba(5)(5)正确正确. .由椭圆的对称性知由椭圆的对称性知, ,其关于原点中心对称其关于原点中心对称, ,也关于两坐也关于两坐标轴对称标轴对称. .(6)(6)正确正确. .直线直线l与椭圆与椭圆C C只有一个公共点，则直线只有一个公共点，则直线l与椭圆与椭圆C C相切，相切，反之亦成立反之亦成立. .答案：答案：（1 1）（2 2）（3 3） （4 4）（5 5）（6 6）1.1.已知椭圆已知椭圆 上一点上一点P P到椭圆一个焦点到椭圆一个焦点F F1 1的距离为的距离为3,3,则则P P到另一个焦点到另一个焦点F F2 2的距离为的距离为( )( )(A)2 (B)3 (C)5 (D)7(A)2 (B)3 (C)5 (D)7【解析【解析】选选D.aD.a=5,=5,且且|PF|PF1 1|=3,|PF|=3,|PF1 1|+|PF|+|PF2 2|=10,|=10,|PF|PF2 2|=10-3=7.|=10-3=7.22xy125162.2.椭圆的焦点坐标为椭圆的焦点坐标为(-5,0)(-5,0)和和(5,0),(5,0),椭圆上一点与两焦点的距椭圆上一点与两焦点的距离和是离和是26,26,则椭圆的方程为则椭圆的方程为( )( )(A) (B)(A) (B)(C) (D)(C) (D)【解析解析】选选A.A.已知已知c=5,2a=26.a=13, c=5,2a=26.a=13, 又焦点在又焦点在x x轴上，故方程为轴上，故方程为22xy116914422xy114416922xy11692522xy1144252222bac13512.22xy1.1691443.3.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是该椭圆的离心率是( )( )(A) (B) (C) (D)(A) (B) (C) (D)【解析【解析】选选B.B.由已知得由已知得4b=2a+2c,4b=2a+2c,即即a+ca+c=2b.=2b.又又b b2 2=a=a2 2-c-c2 2,有有(a+c)(a+c)2 2=4(a=4(a2 2-c-c2 2),),即即3a3a2 2-2ac-5c-2ac-5c2 2=0,=0,亦即亦即:5( ):5( )2 2+2( )-3=0.+2( )-3=0.解得解得 = = 或或 =-1(=-1(舍去舍去),e= .),e= .45352515cacaca35ca354.“-34.“-3m m5”5”是是“方程方程 表示椭圆表示椭圆”的的( )( )(A)(A)充分不必要条件充分不必要条件 (B)(B)必要不充分条件必要不充分条件(C)(C)充要条件充要条件 (D)(D)既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件【解析【解析】选选B.B.方程方程 表示椭圆，表示椭圆，故方程故方程 表示椭圆表示椭圆, ,可得可得-3-3m m5 5成立，但成立，但-3-3m m5 5时时, ,如如m=1m=1却不表示椭圆却不表示椭圆, ,故选故选B.B.22xy15mm35m0,m3 0,5mm3,则则解得解得-3-3m m5 5且且m1.m1.22xy15mm322xy15mm35.5.已知椭圆已知椭圆 的离心率的离心率 则则m m的值为的值为_._.【解析【解析】当焦点在当焦点在x x轴上时轴上时,0,0m m5 5，a a2 2=5,b=5,b2 2=m,c=m,c2 2=5-m,=5-m,又又 解得解得m=3.m=3.当焦点在当焦点在y y轴上时轴上时,m,m5 5，a a2 2=m,b=m,b2 2=5=5，c c2 2=m-5,=m-5,又又 解得解得综上可知综上可知m=3m=3或或答案：答案：3 3或或22xy15m10e5，5m10,55m510,5m10e5，10e5，25m.325.32536.6.已知椭圆的短轴长为已知椭圆的短轴长为6 6，离心率为，离心率为 ，则椭圆的一个焦点到，则椭圆的一个焦点到长轴端点的距离为长轴端点的距离为_._.【解析【解析】因为椭圆的短轴长为因为椭圆的短轴长为6 6，所以，所以b=3. b=3. 又因为离心率为又因为离心率为 ，所以，所以 . . 又因为又因为a a2 2=b=b2 2+c+c2 2, , 解解组成的方程组得：组成的方程组得：a=5,c=4.a=5,c=4.所以，焦点到长轴端点的距离为：所以，焦点到长轴端点的距离为：a+ca+c=9=9或或a-c=1.a-c=1.答案：答案：9 9或或1 1 4545c4a5考向考向 1 1 椭圆的定义及应用椭圆的定义及应用【典例【典例1 1】（1 1）（）（20132013珠海模拟）在珠海模拟）在ABCABC中，点中，点B(-12,0),C(12,0),B(-12,0),C(12,0),且且AC,ABAC,AB边上的中线长之和等于边上的中线长之和等于39,39,则则ABCABC的重心的轨迹方程为的重心的轨迹方程为_._. （2 2）（）（20132013镇江模拟）已知镇江模拟）已知F F1 1,F,F2 2是椭圆是椭圆C: C: （a ab b0 0）的两个焦点）的两个焦点,P,P为椭圆为椭圆C C上的一点，且上的一点，且 若若PFPF1 1F F2 2的面积为的面积为9,9,则则b=_.b=_.2222xy1ab12PFPF . 【思路点拨【思路点拨】(1)(1)先寻找到先寻找到ABCABC的重心与两定点的重心与两定点B,CB,C的关系，的关系，再根据椭圆的定义求出轨迹方程再根据椭圆的定义求出轨迹方程. .(2)(2)关键抓住点关键抓住点P P为椭圆为椭圆C C上的一点，从而依据定义有上的一点，从而依据定义有|PF|PF1 1|+|PF|+|PF2 2|=2a,|=2a,再利用再利用 求出求出|PF|PF1 1|PF|PF2 2| |，即得，即得b b值值. .12PFPF 【规范解答【规范解答】（1 1）如图）如图, ,设设M M是是ABCABC的重心，的重心，BDBD是是ACAC边上的中线，边上的中线，CECE是是ABAB边上的中线边上的中线, ,由重心的性质知由重心的性质知|BM|= |BD|,|CM|= |CE|.|BM|= |BD|,|CM|= |CE|.于是于是|MB|+|MC|= |BD|+ |CE|= (|BD|+|CE|)= |MB|+|MC|= |BD|+ |CE|= (|BD|+|CE|)= 39=26.39=26.232323232323又又2626|BC|=24,|BC|=24,根据椭圆的定义知，点根据椭圆的定义知，点M M的轨迹是以的轨迹是以B B，C C为焦点的椭圆为焦点的椭圆. .2a=|MB|+|MC|=26,a=13.2a=|MB|+|MC|=26,a=13.又又2c=|BC|=24,c=12.2c=|BC|=24,c=12.bb2 2=a=a2 2-c-c2 2=13=132 2-12-122 2=25.=25.故所求的轨迹方程为故所求的轨迹方程为 (y0).(y0).答案：答案： (y0)(y0)22xy11692522xy116925(2)(2)由题意知由题意知|PF|PF1 1|+|PF|+|PF2 2|=2a, |=2a, |PF|PF1 1| |2 2+|PF+|PF2 2| |2 2=|F=|F1 1F F2 2| |2 2=4c=4c2 2, ,(|PF(|PF1 1|+|PF|+|PF2 2|)|)2 2-2|PF-2|PF1 1|PF|PF2 2|=4c|=4c2 2, ,2|PF2|PF1 1|PF|PF2 2|=4a|=4a2 2-4c-4c2 2=4b=4b2 2. .|PF|PF1 1|PF|PF2 2|=2b|=2b2 2, ,b=3.b=3.答案：答案：3 312PFPF , 1 222PFF1211S|PF |PF |2bb9.22【互动探究【互动探究】将本例将本例(2)(2)中条件中条件“ “ ”“”“PFPF1 1F F2 2的面积的面积为为9”9”分别改为分别改为“F F1 1PFPF2 2=60=60”“ ”,”“ ”,则结果如何则结果如何? ?【解析【解析】由题意得由题意得|PF|PF1 1|+|PF|+|PF2 2|=2a,|=2a,又又F F1 1PFPF2 2=60=60, ,|PF|PF1 1| |2 2+|PF+|PF2 2| |2 2-2|PF-2|PF1 1|PF|PF2 2|cos60|cos60=|F=|F1 1F F2 2| |2 2, ,(PF(PF1 1+PF+PF2 2) )2 2-3|PF-3|PF1 1|PF|PF2 2|=4c|=4c2 2, ,3|PF3|PF1 1|PF|PF2 2|=4a|=4a2 2-4c-4c2 2=4b=4b2 2, ,12PFPF 1 2PFFS3 3|PF|PF1 1|PF|PF2 2|= b|= b2 2, ,b=3.b=3.431 222PFF1211433SPF PF sin60bb3 3,22323 【拓展提升【拓展提升】椭圆定义的应用及焦点三角形椭圆定义的应用及焦点三角形(1)(1)(2)(2)椭圆上一点椭圆上一点P P与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为“焦点焦点三角形三角形”，利用定义可求其周长，利用定义可求其周长; ;利用定义和余弦定理可求利用定义和余弦定理可求|PF|PF1 1|PF|PF2 2| |；通过整体代入可求其面积等；通过整体代入可求其面积等. .【提醒【提醒】利用椭圆的定义定形状时，一定要注意常数利用椭圆的定义定形状时，一定要注意常数2a2a|F|F1 1F F2 2| |这一条件这一条件. .【变式备选【变式备选】（20132013湛江模拟）已知湛江模拟）已知A A（-3-3，0 0），），B B（3 3，0 0），），|PA|+|PB|=6|PA|+|PB|=6，则点，则点P P的轨迹为的轨迹为_._.【解析【解析】设设P P的坐标为的坐标为P P（x,yx,y），），|PA|+|PB|=6|PA|+|PB|=6，化简可得化简可得y=0(-3x3)y=0(-3x3)，即线段，即线段AB.AB.答案：答案：线段线段ABAB 2222(x3)y(x3)y6 ，2222(x3)y6(x3)y，223x(x3)y，考向考向 2 2 椭圆的标准方程与几何性质椭圆的标准方程与几何性质 【典例【典例2 2】（1 1）（）（20122012江西高考）椭圆江西高考）椭圆 (a(ab b0)0)的左、右顶点分别是的左、右顶点分别是A,BA,B，左、右焦点分别是，左、右焦点分别是F F1 1，F F2 2，若，若|AF|AF1 1|,|F|,|F1 1F F2 2|,|F|,|F1 1B|B|成等比数列，则此椭圆的离心率为成等比数列，则此椭圆的离心率为_._.2222xy1ab(2)(2)（20122012广东高考）在平面直角坐标系广东高考）在平面直角坐标系xOyxOy中，已知椭圆中，已知椭圆C:C: (a (ab b0)0)的离心率的离心率e= e= ，且椭圆，且椭圆C C上的点到上的点到Q Q（0 0，2 2）的距离的最大值为）的距离的最大值为3.3.求椭圆求椭圆C C的方程；的方程；在椭圆在椭圆C C上，是否存在点上，是否存在点M M（m,nm,n）使得直线）使得直线l:mx+ny:mx+ny=1=1与圆与圆O:xO:x2 2+y+y2 2相交于不同的两点相交于不同的两点A,BA,B，且，且OABOAB的面积最大？若的面积最大？若存在，求出点存在，求出点M M的坐标及相对应的的坐标及相对应的OABOAB的面积；若不存在，请的面积；若不存在，请说明理由说明理由. .2222xy1ab23【思路点拨【思路点拨】（1 1）根据椭圆的几何性质，利用数形结合的思）根据椭圆的几何性质，利用数形结合的思想想, ,将将|AF|AF1 1|,|F|,|F1 1F F2 2|,|F|,|F1 1B|B|用含用含a,ca,c的代数式表示，再由其成等的代数式表示，再由其成等比数列构建比数列构建a,ca,c的方程的方程, ,转化为关于离心率转化为关于离心率e e的方程，得的方程，得e.e.（2 2）先根据先根据e= e= ，将，将a a用用b b表示，再根据椭圆表示，再根据椭圆C C上任意点上任意点P(x,yP(x,y) )满足椭圆满足椭圆C C的方程，将的方程，将|PQ|PQ|表示为表示为y y的函数，求其最大的函数，求其最大值，从而求出值，从而求出b,b,得得C C的方程的方程; ;23可求出原点到直线可求出原点到直线l的距离的距离, ,进而求出进而求出|AB|AB|的长，即可求出的长，即可求出 再根据再根据M(m,nM(m,n) )在椭圆上，在椭圆上， 即即从而确定出从而确定出m m，n n的值的值. .问题得解问题得解. .22OAB221mn1SAB d,2mn22mn1,322mn1.3 22OAB2222mm133S2221m2 1m33，因而因而【规范解答【规范解答】（1 1）由几何性质知）由几何性质知|AF|AF1 1|=a-c,|F|=a-c,|F1 1F F2 2|=2c,|=2c,|F|F1 1B|=a+cB|=a+c, ,又三者成等比数列又三者成等比数列, ,所以所以|F|F1 1F F2 2| |2 2=|AF=|AF1 1|F|F1 1B|,B|,即即4c4c2 2=a=a2 2-c-c2 2,a,a2 2=5c=5c2 2, ,所以所以答案：答案：215e,e.55 55(2)(2)由由 得得a= ba= b，椭圆椭圆C:C:即即x x2 2+3y+3y2 2=3b=3b2 2. .设设P(x,yP(x,y) )为椭圆为椭圆C C上任意一点上任意一点, ,则则|PQ|= =|PQ|= =若若b b1 1，则，则-b-b-1-1，222cab2eaa3，32222xy13bb ，22x(y2)222 y13b6byb . 当当y=-by=-b时时, , 得得b=1(b=1(舍去舍去),),若若b1b1，则，则-b-1-b-1，当当y=-1y=-1时，时， 得得b=1,b=1,椭圆椭圆C C的方程为的方程为22maxPQ2b13b63,b0 又 ，22maxPQ21 13b63, 22xy1.3假设存在点假设存在点M(m,nM(m,n) )满足题意满足题意, ,则则 即即设原点到直线设原点到直线l:mx+ny:mx+ny=1=1的距离为的距离为d,d,则则 22mn1,322mn1.3 221d.mn22222mn1AB2 1 d2.mn2222OAB222222mm1mn1133SAB d.22mn221m2 1m33当且仅当当且仅当1= ,1= ,即即 亦即亦即 时时, ,(S(SOABOAB) )maxmax= .= . M( ) M( )或或M( ). M( ). 显然存在这样的点显然存在这样的点M( )M( )或或M( )M( )或或M( )M( )或或M( )M( )，使，使S SAOBAOB最大，最大值为最大，最大值为 . .22m32231m,n,2262m,n22 1262,2262,2262,2262,2262,2262,2212【拓展提升【拓展提升】1.1.用待定系数法求椭圆标准方程的四个步骤用待定系数法求椭圆标准方程的四个步骤(1)(1)作判断：根据条件判断椭圆的焦点在作判断：根据条件判断椭圆的焦点在x x轴上，还是在轴上，还是在y y轴轴上，还是两个坐标轴都有可能上，还是两个坐标轴都有可能. .（2 2）设方程：根据上述判断设方程）设方程：根据上述判断设方程 (a(ab b0)0)或或 (a(ab b0).0).（3 3）找关系：根据已知条件，建立关于）找关系：根据已知条件，建立关于a,b,ca,b,c的方程组的方程组. .（4 4）得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求）得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求. .2222xy1ab2222xy1ba【提醒【提醒】当椭圆焦点位置不明确而无法确定标准方程时，可设当椭圆焦点位置不明确而无法确定标准方程时，可设为为 (m(m0,n0,n0,mn)0,mn)，也可设为，也可设为AxAx2 2+By+By2 2=1(A=1(A0,B0,B0 0且且AB).AB).22xy1mn2.2.利用椭圆几何性质的注意点及技巧利用椭圆几何性质的注意点及技巧(1)(1)注意椭圆几何性质中的不等关系注意椭圆几何性质中的不等关系在求与椭圆有关的一些量的范围，或者最值时，经常用到椭圆在求与椭圆有关的一些量的范围，或者最值时，经常用到椭圆标准方程中标准方程中x,yx,y的范围，离心率的范围等不等关系的范围，离心率的范围等不等关系. .(2)(2)利用椭圆几何性质的技巧利用椭圆几何性质的技巧求解与椭圆几何性质有关的问题时，要结合图形进行分析，当求解与椭圆几何性质有关的问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的内在联系之间的内在联系. .3.3.求椭圆的离心率问题的一般思路求椭圆的离心率问题的一般思路求椭圆的离心率或其范围时，一般是依据题设得出一个关于求椭圆的离心率或其范围时，一般是依据题设得出一个关于a,b,ca,b,c的等式（或不等式），利用的等式（或不等式），利用a a2 2=b=b2 2+c+c2 2消去消去b b，即可求得离，即可求得离心率或离心率的范围心率或离心率的范围. .【提醒【提醒】椭圆离心率的范围椭圆离心率的范围:0e1.:0eb0ab0）的左顶点，）的左顶点，B B，C C在椭圆在椭圆E E上，若四边形上，若四边形OABCOABC为平行四为平行四边形，且边形，且OABOAB3030，则椭圆，则椭圆E E的离心率等于的离心率等于_._.2222xy1ab【解析【解析】依题设知依题设知,BC AO,BC AO，BC=a.BC=a.又由椭圆的对称性得又由椭圆的对称性得B,CB,C关于关于y y轴对称且轴对称且OAB=30OAB=30, ,点点C C的坐标的坐标为为( )( )，又因为点，又因为点C C在椭圆在椭圆E E上，所以有上，所以有 解得解得a a2 2=9b=9b2 2，因此因此，a a2 2=9(a=9(a2 2-c-c2 2) )，即，即所以椭圆所以椭圆E E的离心率等于的离心率等于答案：答案：a3a,262222a3a14a36b ，22c8a9，2 2.32 233.3.已知点已知点P(4,4)P(4,4)，圆，圆C:(x-m)C:(x-m)2 2+y+y2 2=5(m=5(m3)3)与椭圆与椭圆E: E: (a(ab b0)0)有一个公共点有一个公共点A(3,1).FA(3,1).F1 1,F,F2 2分别是椭圆的左、右焦分别是椭圆的左、右焦点，直线点，直线PFPF1 1与圆与圆C C相切相切. .(1)(1)求求m m的值与椭圆的值与椭圆E E的方程的方程. .(2)(2)设设Q Q为椭圆为椭圆E E上的一个动点，求上的一个动点，求 的取值范围的取值范围. .2222xy1abAP AQ 【解析【解析】（1 1）点）点A A代入圆代入圆C C方程方程, ,得得(3-m)(3-m)2 2+1=5.+1=5.mm3,m=1.3,m=1.圆圆C:(x-1)C:(x-1)2 2+y+y2 2=5.=5.易知直线易知直线PFPF1 1的斜率存在，的斜率存在，不妨设为不妨设为k,k,则则PFPF1 1:y=k(x-4)+4,:y=k(x-4)+4,即即kx-y-4k+4=0.kx-y-4k+4=0.直线直线PFPF1 1与圆与圆C C相切，相切，解得解得k= ,k= ,或或k= .k= .当当k= k= 时时, ,直线直线PFPF1 1与与x x轴的交点横坐标为轴的交点横坐标为 ，不合题意，不合题意, ,舍去舍去. .当当k= k= 时时, ,直线直线PFPF1 1与与x x轴的交点横坐标为轴的交点横坐标为-4,-4,c=4.Fc=4.F1 1(-4,0),F(-4,0),F2 2(4,0).(4,0).椭圆椭圆E E的方程为的方程为: :2k04k45.k11121211236111222122aAFAF5 226 2,a3 2,a18,b2.22xy1.182(2) =(1,3)(2) =(1,3)，设，设Q(x,yQ(x,y), =(x-3,y-1),), =(x-3,y-1), =(x-3)+3(y-1)=x+3y-6. =(x-3)+3(y-1)=x+3y-6. 即即x x2 2+(3y)+(3y)2 2=18,=18,而而x x2 2+(3y)+(3y)2 22|x|2|x|3y|,|3y|,-186xy18.-186xy18.则则(x+3y)(x+3y)2 2=x=x2 2+(3y)+(3y)2 2+6xy=18+6xy+6xy=18+6xy的取值范围是的取值范围是0,360,36. .x+3yx+3y的取值范围是的取值范围是-6,6-6,6. . =x+3y-6=x+3y-6的取值范围是的取值范围是-12,0-12,0. .AP AQ AP AQ 22xy1,182AP AQ
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