第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计

第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 7.1 线性相位线性相位FIR数字滤波器的条件和特点数字滤波器的条件和特点 7.2 利用窗函数法设计利用窗函数法设计FIR滤波器滤波器7.3 利用频率采样法设计利用频率采样法设计FIR滤波器滤波器7.4 利用切比雪夫逼近法设计利用切比雪夫逼近法设计FIR滤波器滤波器7.5 IIR和和FIR数字滤波器的比较数字滤波器的比较第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计7.1 线性相位线性相位FIR数字滤波器的条件和特点数字滤波器的条件和特点 本节主要介绍FIR滤波器具有线性相位的条件及幅度特性以及零点、网络结构的特点。 1. 线性相位条件 对于长度为N的h(n)，传输函数为10()()( )()( )Njj nnjjgH eh n eH eHe (7.1.1) (7.1.2) 第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 式中，Hg()称为幅度特性，()称为相位特性。注意，这里Hg()不同于|H(ej)|,Hg()为的实函数，可能取负值，而|H(ej)|总是正值。H(ej)线性相位是指()是的线性函数，即 ()=, 为常数 (7.1.3) 如果()满足下式： ()=0-,0是起始相位 (7.1.4) 严格地说，此时()不具有线性相位，但以上两种情况都满足群时延是一个常数，即( )dd 第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 也称这种情况为线性相位。一般称满足(7.1.3)式是第一类线性相位；满足(7.1.4)式为第二类线性相位。 下面推导与证明满足第一类线性相位的条件是：h(n)是实序列且对(N-1)/2偶对称，即 h(n)=h(N-n-1) (7.1.5) 满足第二类线性相位的条件是：h(n)是实序列且对(N-1)/2奇对称，即 h(n)=-h(N-n-1) (7.1.6)第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 (1) 第一类线性相位条件证明：1010( )( )( )(1)NnnNnnH zh n zH zh Nnz将(7.1.5)式代入上式得令m=N-n-1,则有11(1)(1)00(1)1( )( )( )( )()NNN mNmmmNH zh m zzh m zH zzH z(7.1.7) 第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 按照上式可以将H(z)表示为1(1)1(1)01111()222011( )( )()( )221( ) 2NNnNnnNNNNnnnH zH zzH zh n zzzzh nzz 将z=e j代入上式，得到： 11()20101()( )cos() 21( )( )cos() 21( )(1)2NNjjnNgnNH eeh nnNHh nnN 按照(7.1.2)式，幅度函数Hg()和相位函数分别为(7.1.8) (7.1.9) 第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 (2) 第二类线性相位条件证明：110011(1)(1)00(1)1( )( )(1)( )( )( )( )()NNnnnnNNN mNmnnNH zh n zh NnzH zh m zzh m zH zzH z (7.1.10) 令m=N-n-1,则有 同样可以表示为1(1)1(1)01111222011( )( )()( )221( )2NNnNnnNNNNnnnH zH zzH zh n zzzzh nzz 第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计1120112201()( )( )sin ()21( )sin ()2jNNjjz enNNjjnNH eH zjeh nnNeh nn 因此，幅度函数和相位函数分别为101( )( )sin ()21( )()22NgnNHh nnNQ (7.1.11) (7.1.12) 第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 2. 线性相位FIR滤波器幅度特性Hg()的特点 1) h(n)=h(N-n-1),N=奇数 按照(7.1.8)式，幅度函数H g()为101( )( )cos() 2NgnNHh nn 式中，h(n)对(N-1)/2偶对称，余弦项也对(N-1)/2偶对称，可以以(N-1)/2为中心，把两两相等的项进行合并，由于N是奇数，故余下中间项n=(N-1)/2。这样幅度函数表示为第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计(3)/20(1)/20(1)/2011( )()2 ( )cos() 2211( )()2 ()cos22( )( )cosNgnNgnNgnNNHhh nnNNHhhmnHa nn令m=(N-1)/2-n,则有(7.1.13) 1(0)()211( )2 (),1,2,3,22NahNNa nhn n(7.1.14) 式中 第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 按照(7.1.13)式，由于式中cosn项对=0,2皆为偶对称，因此幅度特性的特点是对=0,2是偶对称的。 2) h(n)=h(N-n-1),N=偶数 推导情况和前面N=奇数相似，不同点是由于N=偶数，Hg()中没有单独项，相等的项合并成N/2项。 101201( )( )cos() 212 ( )cos ()2NgnNnNHh nnNh nn第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 3) h(n)=-h(N-n-1),N=奇数 将(7.1.11)式重写如下：令m=N/2-n,则有/21/211( )2 ()cos ()221( )( )cos ()2( )2 (),1,2,)22NgmNgnNHhmmHb nnNNb nhn n(7.1.15) (7.1.16)101( )( )sin ()2NgnNHh nn第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 4) h(n)=-h(N-n-1),N=偶数 类似上面3)情况，推导如下： 令m=(N-1)/2-n，则有(1)/21( )( )sin11( )2 (),1,2,22NgnHc nnNNc nhn n(7.1.17) (7.1.18) 1120011( )( )sin ()2 ( )sin)22NNgnnNNHh nnh nn令m=N/2-n,则有第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计/21/211( )2 ()sin ()221( )( )sin ()2( )2 (),1,2,3,22NgmNgnNHhmmHd nnNNd nhn n(7.1.19) (7.1.20)第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 3. 线性相位FIR滤波器零点分布特点 第一类和第二类线性相位的系统函数分别满足(7.1.7)式和(7.1.10)式，综合起来用下式表示：(1)1( )()NH zzH z (7.1.21) 图7.1.1 线性相位FIR滤波器零点分布 第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 4. 线性相位FIR滤波器网络结构 设N为偶数，则有11120021122(1)00( )( )( )( )( )( )(1)( )(1)NNNnnnNnmnNNnN mnmH zh n zh n zh n zH zh n zh Nmzh nh Nn 令m=N-n-1,则有第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计12(1)0(1) 121(1)20( )( )( )( )(1)2NnN nnNNnN nnH zh n zzNH zh n zzhz (7.1.22)如果N为奇数，则将中间项h(N-1)/2单独列出， (7.1.23) 第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计图7.1.2 第一类线性相位网络结构x(n)y(n)z1z1z1z1z1z1z1h(0)h(1)h(2)h(N/21)x(n)y(n)z1z1z1z1z1z1h(0)h(1)h(2)h(N1)/2)N 偶数N 奇数第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计图7.1.3 第二类线性相位网络结构x(n)y(n)z1z1z1z1z1z1z1h(0)h(1)h(2)h(N/21)x(n)y(n)z1z1z1z1z1z1h(0)h(1)h(2)h(N1)/2)N 偶数N 奇数111111111第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计7.2 利用窗函数法设计利用窗函数法设计FIR滤波器滤波器 设希望设计的滤波器传输函数为Hd(ej),hd(n)是与其对应的单位脉冲响应，因此 ()( )1( )()2jjddnjj nddHeh n eh nHeed第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 相应的单位取样响应h-d(n)为,()0,j acjdceHe(7.2.1)1sin()( )2()ccj aj ncdnah needna(7.2.2) 为了构造一个长度为N的线性相位滤波器，只有将h-d(n)截取一段，并保证截取的一段对(N-1)/2对称。设截取的一段用h(n)表示，即 h(n)=hd(n)RN(n) (7.2.3)第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 我们实际实现的滤波器的单位取样响应为h(n),长度为N，其系统函数为H(z)，10( )( )NnnH zh n z图7.2.1 理想低通的单位脉冲响应及矩形窗第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 以上就是用窗函数法设计FIR滤波器的思路。另外，我们知道Hd(e j)是一个以2为周期的函数，可以展为傅氏级数，即()( )jj nddnHeh n e对(7.2.3)式进行傅里叶变换，根据复卷积定理，得到：(1()()()2jjjdNH eHeRed (7.2.4) 式中，Hd(e j)和RN(e j)分别是hd(n)和RN(n)的傅里叶变换，即111(1)200sin(/2()( )( )sin(/2)NNjNjj nj njaNNNnnNReRn eeeRe(7.2.5) 第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计sin(/21( ),sin(/2)2NNNRRN()称为矩形窗的幅度函数；将Ha(ej)写成下式：()( )jj addHeHe按照(7.2.1)式，理想低通滤波器的幅度特性Hd()为1,( )0,cdcH将Hd(e j)和RN(e j)代入(7.2.4)式，得到：()1()( )()21( )()2jj ajadNj adNH eHeRedeHRd 第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 将H(ej)写成下式： ()( )1( )( )()2jj adNH eHeHHRd(7.2.6)第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 图7.2.2 矩形窗对理想低通 幅度特性的影响 第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 通过以上分析可知，对hd(n)加矩形窗处理后，H()和原理想低通Hd()差别有以下两点： (1)在理想特性不连续点=c附近形成过渡带。过渡带的宽度，近似等于RN()主瓣宽度，即4/N。 (2)通带内增加了波动，最大的峰值在c-2/N处。阻带内产生了余振，最大的负峰在c+2/N处。 在主瓣附近，按照(7.2.5)式，RN()可近似为 sin(/2)sin( )/2NNxRNx第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 下面介绍几种常用的窗函数。设 h(n)=hd(n)w(n) 式中w(n)表示窗函数。 1. 矩形窗(Rectangle Window) wR(n)=RN(n) 前面已分析过，按照(7.2.5)式，其频率响应为1(1)2sin(/2)()sin(/2)jNjRNWee第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 2. 三角形窗(Bartlett Window)21,0(1)12( )212,(1)112BrnnNNnnNnNN(7.2.8) 其频率响应为 1()22sin()4()2 sin(/2)NjjBrNNWee(7.2.9) 第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 3. 汉宁(Hanning)窗升余弦窗1211222( )0.51cos()( )1()( )( )2()( )0.5( )0.25()12()( )1HnNNjjRNRjHnHnRRNNjjRHnnnRnNWeFT RnWeWeFT WnWWNWeWeN当N1时，N-1N， 22( )0.5( )0.25()()HnRRRWWWWNN第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计图7.2.3 汉宁窗的幅度特性第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 4. 哈明(Hamming)窗改进的升余弦窗2( )0.540.46cos()( )1HmNnnRnN(7.2.11)其频域函数WHm (e j)为22()()11()0.54()0.23()0.23()22( )0.54()0.23()0.23()11jjjjNNHmRRRjHmRRRWeWeWeWeWWeWWNN其幅度函数WHm()为当N1时，可近似表示为22( )0.54( )0.23()0.23()BlRRRnWWWNN第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 5. 布莱克曼(Blackman)窗24( )0.420.5cos0.08cos( )11BlNnnnRnNN(7.2.13) 其频域函数为22()()11R22()()11()0.42()0.25()()0.04()()jjjjNNBlRRjjNNRRWeWeWeWeWeWe其幅度函数为22( )0.42( )0.25()()11440.04()()11BlRRRRRWWWWNNWWNN(7.2.14) 第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计图7.2.4 常用的窗函数第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 图7.2.5 常用窗函数的幅度特性(a)矩形窗；(b)巴特利特窗(三角形窗)；(c)汉宁窗；(d)哈明窗；(e)布莱克曼窗 第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 图7.2.6 理想低通加窗后的幅度特性(N=51,c=0.5) (a)矩形窗；(b)巴特利特窗(三角形窗)；(c)汉宁窗； (d)哈明窗；(e)布莱克曼窗第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 6. 凯塞贝塞尔窗(Kaiser-Basel Window) 002201( )( ),01( )21(1)11( )1( ) )! 2kkkInnNInNxIxk 式中 I0(x)是零阶第一类修正贝塞尔函数，可用下面级数计算：第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 一般I0(x)取1525项，便可以满足精度要求。参数可以控制窗的形状。一般加大，主瓣加宽，旁瓣幅度减小，典型数据为4，如有，再在该点附近找出局部极值点，并用该点代替原来的点。 (3)利用和第二步相同的方法，把各频率处使|E()|的点作为新的局部极值点，从而又得到一组新的交错点组。第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计图7.4.2 雷米兹算法流程图给出M2 个交错点组频率初始值：i , i0,1,2, M1得用（7.4.7) 式计算偏差得用（7.4.9) 式计算Hd()计算误差函数E()，以及局部极值点频率，在这些点上满足得到一组新的交错点组频率极值点是M2个还是M3 个？极值频率相对上次是否变化？得到最佳一致逼近的Hd()结束舍掉两个端点中使偏差较小的一个M3M2不变E() 第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 3. 线性相位FIR滤波器的四种类型统一表示式 在7.1节，我们已推导出线性相位的四种情况，它们的幅度特性H-g()分别如下式： 000(1) ( )(1),1( )( )cos,2(2) ( )(1),1( )( )cos(),22(3) ( )(1),1( )( )sin,2(4) ( )(1),1( )( )cos() ,22MgnMgn iMgnMgnh nh NnNNHa nn Mh nh NnNNHb nnMh nh NnNNHc nn Mh nh NnNNHd nnM 奇数 奇数 偶数 偶数 第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 经过推导可把H-g()统一表示为 Hg()=Q()P() (7.4.13) 式中，P()是系数不同的余弦组合式，Q()是不同的常数，四种情况的Q()和P()如表7.4.1所示。第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计表7.4.1 线性相位FIR滤波器四种情况 第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 表中 、 和 与原系数b(n)，c(n)和d(n)之间关系如下： ( )b n( )c n( )d n1(1)(0)(1)21( ) (1)( )21()(1)22,3,1bbbb nb nb nb Mb MnM(7.4.14) 第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计1(1)(0)(2)21( ) (1)(1)21(1)(2)21()(1)22,3,2cccc nc nc nc Mc Mc Mc MnM(7.4.15) 1(1)(0)(1)21( ) (1)( )21()(1)22,3,1dddd nd nd nd Md MnM(7.4.16) 第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计将(7.4.13)式代入(7.4.3)式，得到:( )( )( )( )( ) ( )( ) ( )( )( )( )( ) ( )( )( )( )ddddHEWHPQWQPQWWQHHQ(7.4.17) (7.4.18) 第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计输入滤波器技术要求：N， Hd(),W()给出M2 个交错点组频率初始值：i , i0,1,2, M1调用Remez算法程序求解最佳极值频率和P()系数按要求的滤波器类型求出：W()， Hd(), P()计算单位脉冲响应h(n)输出最佳误差和h(n)图7.4.3 利用切比雪夫逼近法设计线性相位 FIR滤波器程序框图第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计图7.4.4 利用切比雪夫逼近法设计的低通滤波器幅度特性第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计7.5 IIR和和FIR数字滤波器的比较数字滤波器的比较 首先，从性能上来说，IIR滤波器传输函数的极点可位于单位圆内的任何地方，因此可用较低的阶数获得高的选择性，所用的存贮单元少，所以经济而效率高。但是这个高效率是以相位的非线性为代价的。 第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 从结构上看，IIR滤波器必须采用递归结构，极点位置必须在单位圆内，否则系统将不稳定。 从设计工具看，IIR滤波器可以借助于模拟滤波器的成果，因此一般都有有效的封闭形式的设计公式可供准确计算，计算工作量比较小，对计算工具的要求不高。