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专题三 动点型问题 所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线或曲线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静，灵活运用有关数学知识解决问题. 近年深圳中考运动变化类的压轴题题目展示涉及:单一(双)动点在三角形、四边形、圆、直线（如2016年深圳卷第22题）、抛物线（如2016年深圳卷第23题）上运动，几何图形整体运动问题.知识点涉及:全等三角形的判定与性质、特殊四边形的判定和性质、圆的相关性质、解直角三角形、勾股定理、相似三角形的性质等.数学思想涉及:分类讨论、数形结合、方程思想.解答这类问题的关键是正确分类画出直观图形.“动点型问题”题型繁多，题意创新，考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等，是近几年深圳中考题的热点和难点. 解决动点问题的关键是“动中求静”.从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图象等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理.在动点的运动过程中观察图形的变化情况，理解图形在不同位置的情况，做好计算推理的过程.在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路，这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质.函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律，是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想，由于某一个点或某图形有条件地运动变化，引起未知量与已知量间的一种变化关系，这种变化关系就是动点问题中的函数关系.题型一题型一 建立动点问题的函数关系式建立动点问题的函数关系式( (或函数图象或函数图象) )【例题 1】(2014黑龙江省)如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形ABCD中，AD边的中点处有一动点P，动点P沿PDCBAP运动一周，则P点的纵坐标y与点P走过的路程s之间的函数关系用图象表示大致是( )思路分析：将动点P的运动过程划分为PD，DC，CB，BA，AP共5个阶段，分别进行分析，最后得出结论.D解答：动点P运动过程中:当0s 时，动点P在线段PD上运动，此时y=2保持不变;当 s 时，动点P在线段DC上运动，此时y由2到1逐渐减少;当 s 时，动点P在线段CB上运动，此时y=1保持不变;当 s 时，动点P在线段BA上运动，此时y由1到2逐渐增大;当 s4时，动点P在线段AP上运动，此时y=2保持不变.结合函数图象，只有D选项符合要求.故答案选D.1212323252527272点动、线动、形动构成的问题称之为动态几何问题.它主要以几何图形为载体，运动变化为主线，集多个知识点为一体，集多种解题思想于一题.这类题综合性强，能力要求高，它能全面地考查学生的实践操作能力、空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力.动态几何常常出现在特殊图形里，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系;分析过程中，特别要关注图形的特性(特殊角、特殊图形的性质，图形的特殊位置).动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性:等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段、面积的最值.题型二题型二 动态几何型题目动态几何型题目(一)点动问题【例题 2】(2014安徽省)如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，动点P从A点出发，按ABC的方向在边AB和BC上移动.记PA=x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数图象大致是( )思路分析：点P在AB上时，点D到AP的距离为AD的长度，点P在BC上时，根据ADBC,可知APB=PAD，再利用相似三角形列出比例式，并整理得到y与x的关系式，从而得解.解答：点P在AB上时，0 x3，点D到AP的距离为AD的长度，是定值4.点P在BC上时，3x5，ADBC，APB=PAD.又B=DEA=90，ABPDEA. ，即 . .纵观各选项，只有B选项图形符合.故答案选B.ABAPDEDA34xy12yx(二)线动问题【例题 3】（2015茂名市）如图，四边形ABCD为正方形，若AB=4，E是AD边上一点（点E不与点A,D重合），BE的中垂线交AB于点M，交DC于点N.设AE=x，则图中阴影部分的面积S与x的大致图象是（ ）思路分析：根据四边形ABCD是正方形，可以证明BE=MN，阴影部分的面积等于正方形ABCD的面积减去四边形MBNE的面积，得到S关于x的二次函数，然后确定函数的大致图形C C解答：过点N作NFAB于点F.四边形ABCD是正方形，MNBE,AD=NF,A=MFN=90,ABE+AEB=90,ABE+BMN=90.AEB=BMN.在ABE和FNM中，AEB=BMN,A=MFN,AD=NF,ABEFMN（AAS）.BE=MN.在ABE中， 阴影部分的面积根据二次函数的图形和性质，这个函数的图形是开口向下，对称轴是y轴，顶点是（0，8），自变量的取值范围是0 x4故答案选C.22216,BEABAEx211=8.22MBNESBE MNx四边形221116(8)8.22Sxx (三)面动问题【例题 4】(2014玉林市)如图，边长分别为1和2的两个等边三角形，开始它们在左边重合，大三角形固定不动，然后把小三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止.设小三角形移动的距离为x，两个三角形重叠的面积为y，则y关于x的函数图象是() 思路分析：根据题目提供的条件可以求出函数的关系式，根据关系式判断函数的图象的形状.B解答:当x1时，两个三角形重叠的面积为小三角形的面积， 当1x2时，重叠三角形的边长为2-x，高为 当x=2时,两个三角形重叠的面积为0.故答案选B.1331.224y 3(2),2x 213(2)3(2)(2) .224xyxx动态问题是近几年来中考数学的热点题型.这类试题信息量大，其中以灵活多变而著称的双动点问题更成为中考试题热点中的热点，双动点问题对同学们获取信息和处理信息的能力要求更高.解题时需要用运动和变化的眼光去观察和研究问题，挖掘运动、变化的全过程，并特别关注运动与变化中的不变量、不变关系或特殊关系，动中取静，静中求动.题型三题型三 双动点问题双动点问题【例题 5】(2014武汉市)如图，在RtABC中，ACB=90，AC=6 cm，BC=8 cm，动点P从点B出发，在BA边上以5 cm/s的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以4 cm/s的速度向点B匀速运动，运动时间为t(0t2)s，连接PQ.(1)若BPQ与ABC相似，求t的值;(2)如图，连接AQ，CP.若AQCP，求t的值;(3)试证明:PQ的中点在ABC的一条中位线上.思路分析：此题考查了相似形综合，用到的知识点是相似三角形的判定与性质、中位线的性质等，关键是画出图形，作出辅助线构造相似三角形，注意分两种情况讨论.解:(1)当BPQBAC时，BP=5t，QC=4t，AB=10 cm，BC=8 cm， t=1.当BPQBCA时， t=1或 时，BPQ与ABC相似.,BPBQBABC584,108tt,BPBQBCBA584,810tt32.41t 3241t (2)如图a，过点P作PMBC于点M，AQ，CP相交于点N.则有PB=5t，PM=3t，CM=8-4t，NAC+NCA=90，PCM+NCA=90，NAC=PCM且ACQ=PMC=90.ACQCMP. 解得 .ACQCCMPM64,843ttt7,8t (3)如图b，仍有PMBC于点M，PQ的中点设为D点，再作PEAC于点E，DFAC于点F.ACB=90，DF为梯形PECQ的中位线.QC=4t，PE=8-BM=8-4t，BC=8，过BC的中点R作直线平行于AC，RC=DF=4成立.D在过点R的中位线上.PQ的中点在ABC的一条中位线上.2PEQCDF8444.2ttDF
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