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精 品 数 学 课 件北 师 大 版第二章第二章 一元二次方程一元二次方程 复习复习定义及一般形式: 1.定义只含有一个未知数只含有一个未知数,未知数的最高次数是未知数的最高次数是_的的_式方式方程程,叫做一元二次方程。叫做一元二次方程。一般形式一般形式:_n注意注意 定义应注意四点：定义应注意四点：(1)含有一个未知数；含有一个未知数；(2)未知数未知数的最高次数为的最高次数为2；(3)二次项系数不为二次项系数不为0；(4)整式方程整式方程二次整ax2+bx+c=o (ao)2.一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式ax2bxc0(a，b，c为常数，为常数，a0)称为一元二次方称为一元二次方程的一般形式，其中程的一般形式，其中ax2，bx，c分别称为分别称为 、 和常数项，和常数项，a，b分别称为二次项系数和一次项系数分别称为二次项系数和一次项系数1、判断下面哪些方程是一元二次方程 ；02 cbxax（ ）xx13 （ ）324) 32)(32(2 xxxx（ ）0) 1(22 cbxxa（）11 xx（）022 yxx（）2、把方程（1-x)(2-x)=3-x2 化为一般形式是：_, 其二次项系数是_,一次项是_,常数项是_.3、方程（m-2)x|m| +3mx-4=0是关于x x的一元二次方程，则 （ ）A.m=2 B.m=2 C.m=-2 D.m 2 2x x2-3x x-1=02-3x-1C C解一元二次方程的方法有几种?1 1直接开平方法直接开平方法直接开平方法的理论依据是平方根的定义直接开平直接开平方法的理论依据是平方根的定义直接开平方法适用于解形如方法适用于解形如(x(xa)a)2 2b(b0)b(b0)的一元二次方程，的一元二次方程，根据平方根的定义可知根据平方根的定义可知x xa a是是b b的平方根，当的平方根，当b0b0时，时，x x ；当；当b b0 0时，方程没有实数根时，方程没有实数根2 2配方法配方法(1)(1)配方法的基本思想：转化思想，把方程转化成配方法的基本思想：转化思想，把方程转化成(x(xa)a)2 2b(b0)b(b0)的形式，这样原方程的一边就转化为一个的形式，这样原方程的一边就转化为一个完全平方式，然后两边同时开平方完全平方式，然后两边同时开平方(2)(2)用配方法解一元二次方程的一般步骤：用配方法解一元二次方程的一般步骤：化二次项系数为化二次项系数为1 1；含未知数的项放在一边，常数项放在另一边；含未知数的项放在一边，常数项放在另一边；配方，方程两边同时加上配方，方程两边同时加上 ，并写成并写成(x(xa)a)2 2b b的形式，若的形式，若b0b0，直接开平方求出方程的，直接开平方求出方程的根根3 3公式法公式法(1)(1)一元二次方程一元二次方程axax2 2bxbxc c0(b0(b2 24ac0)4ac0)的求根公式：的求根公式：x x_._.(2)(2)用公式法解一元二次方程的一般步骤：用公式法解一元二次方程的一般步骤：把一元二次方程化成一般形式：把一元二次方程化成一般形式：axax2 2bxbxc c0(a0)0(a0)；确定确定a a，b b，c c的值；的值；求求b b2 24ac4ac的值；的值；当当b b2 24ac04ac0时，则将时，则将a a，b b，c c及及b b2 24ac4ac的值代入求根公式的值代入求根公式求出方程的根，若求出方程的根，若b b2 24ac4ac0 0，则方程无实数根，则方程无实数根4 4分解因式法分解因式法用分解因式法解一元二次方程的一般步骤用分解因式法解一元二次方程的一般步骤(1)(1)将方程变形为右边是将方程变形为右边是0 0的形式；的形式；(2)(2)将方程左边分解因式；将方程左边分解因式；(3)(3)令方程左边的每个因式为令方程左边的每个因式为0 0，转化成两，转化成两个一次方程；个一次方程；(4)(4)分别解这两个一次方程，它们的解就分别解这两个一次方程，它们的解就是原方程的解是原方程的解解下列方程解下列方程(x+2)2=（用直接开平方法）（用直接开平方法）2、x2-2x-1 =0（用配方法）（用配方法）3、 （用公式法）（用公式法）4、 (用因式分解法）用因式分解法） 0)12(22 xx7432 xx 二次项系数化为二次项系数化为1；移常数项到右边；移常数项到右边；两边加上一次项系数一半的平方；两边加上一次项系数一半的平方；化直接开平方形式化直接开平方形式;解方程。解方程。步骤归纳右边化为右边化为0,左边化成两个因式左边化成两个因式的积；的积；分别令两个因式为分别令两个因式为0，求解。，求解。步骤归纳选用适当方法解下列一元二次方程选用适当方法解下列一元二次方程n1 1、 (2x+1)(2x+1)2 2=64 =64 ( ( 法法）n2 2、 (x-2)(x-2)2 2- -(x+(x+) )2 2=0 =0 ( ( 法法）n3 3、( (x-x-) )2 2 -(4-(4-x)=x)= ( ( 法法）n4 4、 x x- -x-10=x-10= ( ( 法法）n5 5、 x x- -x-x-= ( ( 法法）n6 6、 x xx-1=0 x-1=0 ( ( 法法）n7 7、 x x -x-x-= ( ( 法法）小结：选择方法的顺序是： 直接开平方法 分解因式法 配方法 公式法分解因式分解因式 配方公式配方公式直接开平方 一元二次方程根的判别式acb42 002 acbxax042 acb0 0 0 两不相等实根两相等实根无实根一元二次方程一元二次方程一元二次方程一元二次方程 根的判式是根的判式是: : 002 acbxax判别式的情况根的情况定理与逆定理042 acb042 acb两个不相等实根 两个相等实根 无实根(无解)1.已知一元二次方程已知一元二次方程 下列判断正确的是下列判断正确的是（ ）A.该方程有两个相等的实数根。该方程有两个相等的实数根。B.该方程有两个不相等的实数根。该方程有两个不相等的实数根。C.该方程无实数根。该方程无实数根。D.该方程根的情况不确定。该方程根的情况不确定。2.已知关于已知关于x的一元二次方程的一元二次方程 有实有实数根，则数根，则m的取值范围是的取值范围是012 xxB01)1(2 xxm145 mm且且 3.已知a,b,c分别是ABC的三边，其中a=1，c=4,且关于x的方程 有两个相等的实数根，试判断ABC的形状。042 bxx 是一元二次方程 的两个根，则不解方程，写出方程 的两根之和 ，两根之积 ) 0( 02 acbxax21, xx 21xx 21xxab ac0132 xx 21xx 21xx3-11.方程(x-5)(x-6)=x-5的解是（ ）A.x=5 B.x=5或x=6 C.x=6 D.x=5或x=72.若a是方程 的一个根，则代数式 的值是3. 解方程：04) 1( 5) 1(222 xx一元二次方程一元二次方程的定义一元二次方程的解法一元二次方程的应用把握住：一个未知数，最高次数是2， 整式方程一般形式：ax+bx+c=0（a0）直接开平方法： 适应于形如（x-k） =h（h0）型 配方法： 适应于任何一个一元二次方程公式法： 适应于任何一个一元二次方程因式分解法： 适应于左边能分解为两个一次式的积，右边是0的方程1. 审清题意，弄清题中的已知量和未知量找审清题意，弄清题中的已知量和未知量找出题中的等量关系。出题中的等量关系。 2. 恰当地设出未知数，用未知数的代数式表恰当地设出未知数，用未知数的代数式表示未知量。示未知量。3. 根据题中的等量关系列出方程。根据题中的等量关系列出方程。4. 解方程得出方程的解。解方程得出方程的解。5. 检验看方程的解是否符合题意。检验看方程的解是否符合题意。6. 作答注意单位。作答注意单位。列方程解应用题的解题过程。列方程解应用题的解题过程。两个数的差等于两个数的差等于4,积等于积等于45,求这两个数求这两个数.:,x解 设较小的数为根据题意 得.454 xx.04542xx整理得.9,521xx解得. 5494, 9454xx或. 5, 99 , 5:或这两个数为答一次会议上一次会议上,每两个参加会议的人都互相握了一次手每两个参加会议的人都互相握了一次手,有人统计一共握了有人统计一共握了66次手次手.这次会议到会的人数是多这次会议到会的人数是多少少?得根据题意设这次到会的人数为解,:x.6621xx:整理得).,(02231;12223121舍去不合题意xx. 01322 xx:解得.12:人这次到会的人数为答如图如图,在一块长在一块长92m,宽宽60m的矩形耕地上挖三条水渠的矩形耕地上挖三条水渠,水渠的宽度都相等水渠的宽度都相等.水渠把耕地分成面积均为水渠把耕地分成面积均为885m2的的6个矩形小块个矩形小块,水渠应挖多宽水渠应挖多宽.得根据题意设水渠的宽度解,:xm.885660)292(xx:整理得).,(105; 121舍去不合题意xx, 01051062xx:解得.1:m水渠的宽度为答甲公司前年缴税甲公司前年缴税40万元，今年缴税万元，今年缴税48.4万万元元.该公司缴税的年平均增长率为多少该公司缴税的年平均增长率为多少?得根据题意设每年平均增长率为解,:x. 4 .48)1 (402x:解这个方程).,(01 . 21 . 11%;101 . 1121舍去不合题意xx%.10:每年的平均增长率为答某电冰箱厂每个月的产量都比上个月增长的百分数相同。已知该厂今年某电冰箱厂每个月的产量都比上个月增长的百分数相同。已知该厂今年4月份的电冰月份的电冰箱产量为箱产量为5万台，万台，6月份比月份比5月份多生产了月份多生产了12000台，求该厂今年产量的月平均增长台，求该厂今年产量的月平均增长率为多少率为多少?得根据题意均增长率为设该厂今年产量的月平解,:x. 2 . 115)1 ( 52xx:整理得).,(02 . 11075%;202 . 0107521舍去不合题意xx. 0625252xx:解得%.20:增长率为该厂今年产量的月平均答 某商场销售一批名牌衬衫某商场销售一批名牌衬衫,现在平均每天能售出现在平均每天能售出20件件,每件盈利每件盈利40元元.为了尽快减少库存为了尽快减少库存,商场决定商场决定采取降价措施采取降价措施.经调查发现经调查发现:如果这种衬衫的售价每如果这种衬衫的售价每降低降低1元时元时,平均每天能多售出平均每天能多售出2件件.商场要想平均每商场要想平均每天盈利天盈利1200元元,每件衬衫应降价多少元每件衬衫应降价多少元?得根据题意元设每件衬衫应降价解,:x.1200)1220)(40(xx. 020030:2xx整理得得解这个方程,.10,2021xx.20,:元应降价为了尽快减少库存答.40220,60220 xx或小明将勤工助学挣得的小明将勤工助学挣得的500元钱按一年定期存入银行元钱按一年定期存入银行,到期后取出到期后取出50元用来购买学习用品元用来购买学习用品 剩下的剩下的450元连同元连同应得的税后利息又全部按一年定期存入银行。如果存应得的税后利息又全部按一年定期存入银行。如果存款的年利率保持不变款的年利率保持不变,且到期后可得税后本息约且到期后可得税后本息约461元元,那么这种存款的年利率大约是多少那么这种存款的年利率大约是多少? (精确到精确到0.01%) .得根据题意设这种存款的年利率为解,:x.461)8 . 01(50)8 . 01 (500 xx:整理得).,(0%;44. 1144. 021舍去不合题意xx. 0117603202xx:解得%.44. 1:这种存款的年利率约为答,6402 .769760640591680760 xA北东B 某军舰以某军舰以20节的速度由西向节的速度由西向东航行东航行,一艘电子侦察船以一艘电子侦察船以30节节的速度由南向北航行的速度由南向北航行,它能侦察它能侦察出周围出周围50海里海里(包括包括50海里海里)范范围内的目标围内的目标.如图如图,当该军舰行当该军舰行至至A处时处时,电子侦察船正位于电子侦察船正位于A处的正南方向的处的正南方向的B处处, AB=90海海里里.如果军舰和侦察船仍按原来如果军舰和侦察船仍按原来速度沿原方向继续航行速度沿原方向继续航行,那么航那么航行途中侦察船能否侦察到这艘行途中侦察船能否侦察到这艘军舰军舰 ?如果能如果能,最早何时能侦察最早何时能侦察到到?如果不能如果不能,请说明理由请说明理由.BA北东BB得根据题意小时能侦察到军舰设电子侦察船最早需要解,:x .5020)3090(222x:整理得.1328; 221xx. 05654132xx:解得.2:时能侦察到军舰电子侦察船最早能在答h 将一条长为将一条长为56cm的铁丝剪成两段的铁丝剪成两段,并把每一段围成一个并把每一段围成一个 正方形正方形.(1).要使这两个正方形的面积之和等于要使这两个正方形的面积之和等于100cm2,该怎样剪该怎样剪?(2).要使这两个正方形的面积之和等于要使这两个正方形的面积之和等于196cm2,该怎样剪该怎样剪?(3).这两个正方形的面积之和可能等于这两个正方形的面积之和可能等于200m2吗吗? 得根据题意设剪下的一段为解,.1:xcm:整理得.32245656;24325656xx或, 0768562xx:解得.24,3221xx.100,2432:2cmcmcm于可使正方形的面积和等或剪下的一段为答.100456)4(22xx 得根据题意设剪下的一段为,.3xcm.200456)4(22xx:整理得.,081828;568182821舍去均不合题意xx, 034562xx:解得.818282818256x.200,:2cm等于正方形的面积和不可能不能剪答 得根据题意设剪下的一段为,.2xcm:整理得, 0562xx:解得.196,:2cm面积能等于可围成一个正方形的其不剪答.196456)4(22xx.,0,5621舍去不合题意xx 一元二次方程也是刻画现实世界的有效数学一元二次方程也是刻画现实世界的有效数学模型模型. .用列方程的法去解释或解答一些生活中的现象或问用列方程的法去解释或解答一些生活中的现象或问题是一种重要的数学方程方法题是一种重要的数学方程方法即方程的思想即方程的思想. .小结
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