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一一 向量在轴上的投影与投影定理向量在轴上的投影与投影定理二二 向量在坐标轴上的分量与向量的坐标向量在坐标轴上的分量与向量的坐标三三 向量的模与方向余弦的坐标表示式向量的模与方向余弦的坐标表示式一、向量在轴上的投影与投影定理一、向量在轴上的投影与投影定理.上上的的有有向向线线段段是是轴轴，设设有有一一轴轴uABuuAB.ABABABuuABuABAB= = =l ll ll ll ll ll l，即，即的值，记作的值，记作上有向线段上有向线段叫做轴叫做轴那末数那末数是负的，是负的，轴反向时轴反向时与与是正的，当是正的，当向时向时轴同轴同与与，且当，且当满足满足如果数如果数空间两向量的夹角的概念：空间两向量的夹角的概念：, 0 a, 0 bab 向向 量量a与与 向向 量量b的的 夹夹 角角 ),(ba= = ),(ab= =类似地，可定义向量与一轴或空间两轴的夹角类似地，可定义向量与一轴或空间两轴的夹角. .特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在它们的夹角可在0 0与与 之间任意取值之间任意取值. . )0( ),(ba= = ),(ab= =或者记作或者记作空间一点在轴上的投影空间一点在轴上的投影u AA . 上上的的投投影影在在即即为为平平面面，交交点点的的垂垂直直作作轴轴过过uAAuA 空间一向量在轴上的投影空间一向量在轴上的投影uAA BB 已已知知向向量量的的起起点点A和和终终点点B在在轴轴 u上上的的投投影影分分别别为为BA , , 那那么么轴轴 u上上的的有有向向线线段段 BA 的的值值，称称为为向向量量在在轴轴u上上的的投投影影. . ABjuPr.BA = =向量向量AB在在 轴轴u上的投影记为上的投影记为 关于向量的投影定理（关于向量的投影定理（1 1）向量向量AB在轴在轴u上的投影等于向量的模乘以轴与向上的投影等于向量的模乘以轴与向量量 的夹角的余弦：的夹角的余弦： ABjuPr cos| AB= =证明证明B BuAA B ABjuPrABju Pr= = cos| AB= =u 定理定理1 1的说明：的说明：投影为正；投影为正；投影为负；投影为负；投影为零；投影为零；(4)(4) 相等向量在同一轴上投影相等；相等向量在同一轴上投影相等；uabc 0)1(,2 2)2(, = = )3(,2 关于向量的投影定理（关于向量的投影定理（2 2）两两个个向向量量的的和和在在轴轴上上的的投投影影等等于于两两个个向向量量在在该该轴轴上上的的投投影影之之和和. . .PrPr)(Pr2121a ja jaaj = = AA BB CC （可推广到有限多个）（可推广到有限多个）u1a2aAA BB CC u1a2a 如图所示，由向量加如图所示，由向量加证明证明法的三角形法则可知法的三角形法则可知. 21aaBCABAC = = = =.Pr , Pr , PrCAjACCBjBCBAjAB = = = = = =由于由于CACBBA = = 所以所以jACjBCjABPr PrPr= = 即即).(Pr PrPr2121aajjaja = = 二、向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标二、向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标1M1P2M2P上上的的投投影影分分别别为为点点在在轴轴点点为为一一条条数数轴轴为为一一向向量量，设设212121,PPuMMuMMa = =上上的的坐坐标标依依次次为为在在轴轴又又设设2121,uuuPPuo,Pr21uuaMMj= =记记1221 OPOPPP = =,12uu = =.12uuau = =如果如果e是与是与u轴正向一致的单位向量，轴正向一致的单位向量， .)(12euu = =设设a是是以以),(1111zyxM为为起起点点、),(2222zyxM 为为终终点点的的向向量量， 过过21, MM各各作作垂垂直直于于三三个个坐坐标标轴轴的的平平面面 , 这这六六个个平平面面围围成成一一个个以以线线段段21MM为为对对角角线线的的长长方方体体. 由上节课例由上节课例3 3，有，有eaPPu= =21以以kji,分别表示沿分别表示沿zyx,轴正向的单位向量轴正向的单位向量. xyz1R2R1P2P1Q2QORQP1M2MN2111MMRMNM= = 111NMQMPM= = .11121RMQMPMMM = =从而得到从而得到由于由于,)(121ixxiaPMx = = =由图可以看出由图可以看出,)(121jyyjaQMy = = =.)(121kzzkaRMz = = =因此因此kajaiaMMzyx = =21把上式称为向量把上式称为向量 按基本单位向量的分解式按基本单位向量的分解式 . . 21MM这里这里.,121212zzayyaxxazyx = = = = = =.)()()(121212kzzjyyixx = =xyz1R2R1P2P1Q2QORQP1M2MN,2kzzjyyixxMM)()()(12121221 = =按基本单位向量的坐标分解式：按基本单位向量的坐标分解式：在三个坐标轴上的分向量：在三个坐标轴上的分向量：,kajaiazyx向量的坐标：向量的坐标：,zyxaaa向量的坐标表达式：向量的坐标表达式：,zyxaaaa = =,12121221zzyyxxMM = =特殊地：特殊地：,zyxOM = =向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式,zyxaaaa = =,zyxbbbb = =,zzyyxxbabababa = = ,zzyyxxbabababa = = ,zyxaaaal ll ll ll l= =;)()()(kbajbaibazzyyxx = =;)()()(kbajbaibazzyyxx = =.)()()(kajaiazyxl l l l l l= =解解,111zzyyxxAM = =,222zzyyxxMB = =设设),(zyxM为直线上的点，为直线上的点，例例 2 2 设设),(111zyxA和和),(222zyxB为两已知点，而为两已知点，而在在AB直线上的点直线上的点M分有向线段分有向线段 AB 为两部分为两部分AM、MB，使它们的值的比等于某数，使它们的值的比等于某数)1( l ll l，即，即l l= =MBAM，求分点求分点的坐标的坐标. ABMxyzo由题意知：由题意知：MBAMl l= =,111zzyyxx ,222zzyyxx = =l l1xx )(2xx = =l l1yy )(2yy = =l l1zz )(2zz = =l l,121l ll l = =xxx,121l ll l = =yyy,121l ll l = =zzz,221xxx = =,221yyy = =.221zzz = = . 的定比分点的定比分点为有向线段为有向线段点点ABM为中点时，为中点时，当当 M非零向量非零向量 的方向角：的方向角：a非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角. .,0 ,0 .0 xyzo 1M 2M 三、向量的模与方向余弦的坐标表示式三、向量的模与方向余弦的坐标表示式., 由投影定理可知由投影定理可知 cos|aax= = cos|aay= = cos|aaz= =方向余弦通常用来表示向量的方向方向余弦通常用来表示向量的方向. .222|zyxaaaa = =向量模长的坐标表示式向量模长的坐标表示式21212121RMQMPMMM = =pQRxyzo 1M 2M ，时时当当 0 222 zyxaaa,cos222zyxxaaaa = = ,cos222zyxyaaaa = = .cos222zyxzaaaa = = 向量方向余弦的坐标表示式向量方向余弦的坐标表示式xyzo 1M 2M 1coscoscos222= = 方向余弦的特征方向余弦的特征oa|aa= =.cos,cos,cos = =特殊地，单位向量可表示为特殊地，单位向量可表示为向量向量 例例3 3 设已知两点设已知两点 和和 . . 计算计算 )2, 2 , 2(1M)0 , 3 , 1(2M21MM的摸的摸 ，方向余弦和方向角，方向余弦和方向角. .解解 21MM2, 1 , 120 , 23 , 21 = = = =21MM222)2(1)1( = =; 2= =; 22cos , 21cos , 21cos = = = = = . 43 , 3 , 32 = = = =例例4 4 设已知两点设已知两点 和和 . . 求方向和求方向和 一致的单位向量一致的单位向量 . .)5 , 0 , 4(A)3 , 1 , 7(BAB解解AB2, 1 , 353 , 01 , 47 = = = =因为因为于是于是AB= =设设 为和为和 的方向一致的单位向量，那么由于的方向一致的单位向量，那么由于 o ABo = ABAB即得即得 = =o . 142,141,143 14= =222)2(13 解解设设向向量量21PP的的方方向向角角为为 、 、 ,3 = =,4 = =, 1coscoscos222= = .21cos = = ,21cos= = ,22cos= = 例例5 5 设有向量设有向量P P1 1P P2 2 ，已知，已知| |P P1 1P P2 2|=2 |=2 ，它与，它与x x 轴和轴和y y 轴的夹角分别为轴的夹角分别为 和和 ，如果的，如果的 P P1 1 的的坐标为坐标为(1,0,3)(1,0,3)，求，求P P2 2的坐标的坐标. .3 4 .32,3 = = =1cos = =x 21PP21 x21= =, 2= = x0cos = =y 21PP20 y22= =, 2= = y3cos = =z 21PP23 z, 2, 4= = =zz2P的的坐坐标标为为 ).2 , 2, 2(),4 , 2, 2(21 = =, ),( 2zyxP 的的坐坐标标为为设设解解pnma = =34)853(4kji = =)742(3kji )45(kji ,15713kji = =在在x轴轴上上的的投投影影为为13= =xa, 在在y轴上的分向量为轴上的分向量为j7. . 34 ,45,742 , 853 6 轴轴上上的的分分向向量量上上的的投投影影及及轴轴在在求求向向量量设设例例yxpnmakjipkjinkjim = = = = = = = =
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