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第四单元第四单元 三角函数、解三角形三角函数、解三角形 第一节第一节任意角和弧度制及任意角和弧度制及任意角的三角函数任意角的三角函数基础梳理基础梳理. .1. 角的概念的推广(1)任意角的定义角可以看成平面内一条射线_所形成的图形(2)按逆时针方向旋转形成的角叫做_；按顺时针方向旋转形成的角叫做_；一条射线没有作任何旋转，那么也把它看成一个角，叫做_(3)角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴正半轴，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是_(4)一般地，与角a终边相同的角的集合_绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置 正角 负角 零角 第几象限角 | =k360+a，kZ 2. 弧度制(1)长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫_弧度的角；用弧度作为角的单位来度量角的单位制叫做弧度制在弧度制下1弧度记作1 rad._ rad=360， rad=_.1 2180度57.30 |212lr(2)设长为r的线段OA绕端点O旋转，形成的角为a(a为任意角，单位为弧度)，旋转过程中A所经过的路径看成是圆心角a所对的弧，设弧长为l，则有|a|= ，即l=|a|r，特别地，若取r=1，则有l=|a|，若|a|2 ，则有圆心角为a的扇形的面积为S= r2= lr.3. 任意角的三角函数定义设a是一个任意角，a的终边上任意一点P的坐标是(x，y)，它与原点的距离为r(r= 0)，那么sin a=_，cos a=_，tan a=_(x 0)4. 单位圆与三角函数线用单位圆中的有向线段表示三角函数(如图)22xyyrxryxMP OMAT sin a=_，cos a=_，tan a=_.5. 三角函数值在各象限的符号基础达标基础达标1.已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，则扇形的中心角弧度是_ 1 rad或4 rad 解析：设扇形的弧长是l，半径是r，中心角为a.根据扇形的面积公式有S= lr，由周长为6 cm，则有 解得 或 由l=ar，得a=1 rad或4 rad.26122lrlr41.lr22lr122. 已知角a的终边与角-690的终边关于y轴对称，则a=_. 150+k360(kZ) 解析：角a的终边与角-690的终边关于y轴对称，即角a与角(-690+720)的终边关于y轴对称，即角a与角(180+690-720)的终边重合故a=150+k360(kZ Z)3. (必修4P10第2题改编)在集合A=a|a=120+k360，kZ Z中，属于区间(-360，360)的角的集合是_120，-240 解析：根据定义，与角a终边相同，且在区间(-360，360)的角的集合是120，-2404. (2011烟台模拟)已知角a的终边过点P(-4m,3m)(m 0)，则2sina+cosa的值为_ 2255或354525解析： 当m0时，r=5m，sin a= ，cos a=- ，则2sin a+cos a= ； 当m0时，r=-5m，sin a=- ，cos a= ，则2sin a+cos a=- .35452523题型一象限角问题【例1】若a是第二象限的角，试判断：(1) 是第几象限 的角；(2) 是第几象限的角；(3)2a是第几象限的角分析：由于a是第二象限的角，可以利用终边相同的角的表达式表示出a的范围，进而求得，2a的范围，判定其所在的象限2解：由a是第二象限的角，得k360+90ak360+180，kZ Z.(1)k180+45 k180+90，kZ Z.当k=2n，nZ Z时，n360+45 n360+90，nZ Z，则是第一象限角；当k=2n+1，nZ Z时，n360+225 n360+270，nZ Z，则 是第三象限角综合，可知，是第一或第三象限角2222(2) 360+30 360+60，kZ Z.当k=3n，nZ Z时，n360+30 n360+60，nZ Z，则 是第一象限角；3k33k33当k=3n+1，nZ Z时，n360+150 n360+180，nZ Z，则 是第二象限角；当k=3n+2，nZ Z时，n360+270 n360+300，nZ Z，则 是第四象限角；综合，可知， 是第一、第二或第四象限的角(3)2k360+1802a2k360+360，kZ Z .故2a是第三、第四象限角或是终边落在y轴的负半轴上33333变式1-1若 是第四象限的角，则 是第_象限角2(),2kkZ解析： 是第四象限的角， 322,22,22kkkk 是第三象限角题型二扇形弧长、面积公式应用【例2】已知一扇形的中心角是 ，所在圆的半径是R.(1)若 =60，R=10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；(2)若扇形的周长是一定值C(C0)，当 为多少弧度时，该扇形有最大面积？分析：运用扇形的面积公式和弧长公式建立函数关系，运用函数的性质来解决最值问题解：(1)设弧长为l，弓形面积为S弓，1060,10,(),33RlRcm S弓=S扇-S= 2110131010sin6050().23232cm(2)扇形的周长C=2R+l=2R+aR，.2CRS扇= 2222221111.42222442164CCCCR当且仅当 4,即 2(2 舍去)时，扇形的面积有最大值 2.16C题型三三角函数的定义求 的值 【例3】已知角 的终边经过点P 且 (3,),m2sin,4msin,cos ,tan分析：由三角函数的定义，通过 求出m的值后，再确定 与 的值2sin,4m列出关于m的方程，tancos解： 222233,sin,3mrmmm 又 2sin,4m22,43mmm则m=0或m= 5.当m=0时， 3,3,sin0,cos1,tan0;yrxx 5m 当 时， 5m 当 时， 106152 2,3,5,sin,cos,tan;443rxy 106152 2,3,5,sin,cos,tan;443rxy 解析：由题意知 当a0，则 222514413,|raaa则 5cos,13|aa512cos,tan,135则log5 511log1;5tancos 当a0， 512cos,tan,135 则log5 51log 51;tancos变式3-1已知角 的终边上一点P的坐标为 5 12,(0),aaa求log5 1tancos的值 解析： 为第三象限角， 322,2kk则 42243 ,kk而 3cos2,5 则 121tan2.4127tantan 4sin2.5由同角三角函数关系知 4tan2.3 则 知识准备：1. 角的象限及三角函数符号的判断；2. 同角三角函数关系；3. 两角和的正切关系：tan().1tantantan tan链接高考链接高考(2010 全国)已知a为第三象限的角， 3cos2,5 则 tan2_.4
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