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专题一 集合、函数与导数 1()0()sincoscossinlnee1loglog e1121ln2 Qnnxxxxaaf xC Cfxf xxnfxnxf xxfxxf xxfxxf xafxaaf xfxf xxfxxf x导数概念及其几何意义定积分与微积分基本定理及定积分的几何意义基本函数的导数公式：为常数 ，则；，则；，则；，则；，则；，则；基本知，则；识基本公式 1.xfxx，则 11d| (1)1d| ()sin dcos |cos dsin |1dln |e de2|d| (01) bnnbaabbaabbbbaaaabbbxxbaaaaxbxbaaxxxnnC xCxCx xxx xxxxxxaaxaalna常见求定积分的公式：；为常数 ；且 2(0)dd3()dd12 xuxbbaabcaaf xg xfxgxf xg xfxg xf xgxf xfxg xf xg xg xg xgxfg xfugxyyuug xkf xxkf xx kf xg xxf xxg导数运算法则：；或定积分的性质：为常数基本性质与算则基本运法； dddd ()bcbcbaacxxf xxf xxf xxacb；其中 00.()()0()()04(12)fxfxf xabf xabfxabf xabfxab求可导函数的单调区间，实质上是解导数不等式若求减区间，则解不等式；若求增区间，则解证明可导函数在 ，上的单调性，实质上是证明不等式若证明在 ，上递增，则证明在 ，上恒成立；若证明在基本问题，上递减，与方法则证明在，上恒成立 3045fx求可导函数的极值，实质上是解方程，即解方程，然后列表分析即可求函数的最值，则在求得极值的基础上与端点函数值比较再确定其最值导数与方程的根的分布及不等式的综合实质上是函数单调性、极值及最值的进一步应用，常结合数形结合思想、转化化归思想解决问题 22222441cos()A2 cossin B2 cossinC2 cos 1(2Dsin011)212d_12_ nyxxyxxxxyxxxxyxxyxxaaaxx一、导数及定积分的计算函数的导函数是 若等比数列中，且，例株则公比等于洲二模 224244112422cossin212B.3cossin12181.892 yxxxxxxxxax dxxxaaqq，解析：故选，得，所以以导数、定积分知识为载体，综合解答不等【点评】式问题 222(2011)(2(00 )11(0)ABCD2sin (0)112)(1) f xfC xtyttOABCyxxxOABCOABC例周南中学郴曲线在点 ，处的切线与圆 ：的位置关系为 相离 相切 相交 与 的取值有关如下图，在一个长为 ，宽为 的矩形内，曲线与 轴围成如图所示的阴影部分，向矩形内随机投一点该点落在二、导数与定积分矩形内任何州二中一点是的几何拟意模等可能的义_，则所投的点落在阴影部分的概率是 200111.sincos=222.211C sinxfxkcos xyxOABCSPSSxdxxSPS阴影矩形阴影阴影矩形，斜率为，切线方程为，易知为相交关系因为点落在矩形内任何一点是等可能的，所以所投的点落在阴影部分的概率是，而，所以所求概率解选析： 12明确导数与定积分的几何意义注意积分变量【点评】的选择 2201122011220112201134()()A2e02011e0B2e02011e0C2e02011e0D2e03(2011)(2011e0d()25A.2011)212 Rf xf xfxxffffffffffffffffx x已知为定义在例衡阳八中郴州模拟，上的可导函数，且对于恒成立，则 ，定积分三、导数与定积分的基本应的值为用B 25C 12D 7 2200920113034402 02 34002011202011e2e012ddd1125+.222A.A. Rxxxxf xf x ef x eg xgxeeg xgggfffx xxxx xxx故令，所以在 上单调递增，所以即选析：故选解， 12构造函数，利用导数确定其单调性，再比较大小利用定积分的性质分成两个区【点评】间求值 220021ln.2121(04123)21()20(2011)312f xxaxbxabf xaF xf xaxbxxxP xykaabmf xxm设函数当时，求的最大值；令，其四、导数的综图象上任意一点，处切线的斜率恒成立，求实数 的取值范围；当，方程有唯一实数解例衡水中学，求正数模拟合应用的值 2(0)111ln24211121.222011.(0)01014031 f xabf xxxxxxfxxxxfxxxxfxf xxfxff xxf依题意，知的定义域为 ，当时，令，解得因为当时，此时单调递增；当时，此时单调递减解析所以的极大值为，此：即为最大值 00020200max02000ln0,310,321(1.2)0,32111222 aF xxxxxakFxxxaxxxxaxx，则有，在上恒成立，所以，当时，取得最大值 ，所以 222222212222222 ln202 ln2222.0000440()22(0)0(0)3()0()mf xxxm xmxg xxm xmxxmxmgxxgxxmxmmxmmmmmmxxxxgxg xxxxgxg xx因为方程有唯一实数解，所以有唯一实数解，设，则令，因为，所以舍去 ，当，时，在 ，上单调递减；当，时，在，上单调递增 22222222222222222200220.002 ln0.02ln10.1.*2ln10010*14122 xxgxg xg xg xxmlnxmxg xxmxmm xmxmmxxh xxxxh xh xhxmmmm当时，取最小值则，即所以因为，所以设函数，因为当时，是增函数，所以至多有一解因为，所以方程的解为，即，解得 f xg xDF xf xg xD导数与方程、不等式、数列综合在一起，这类问题涉及构造函数、利用导数求函数的单调性、极值、极值点、最值等，从而转化化归为不等式等问题如证明不【点评等式在区间 上成立，等价于证明在区间 上的最小值大】于或等于零 211ln21e1(20ln()11ln211112e3)Df xg xxDf xg xf xDg xxf xg xxxf xg xf xxg xxf xmmmg xf xa xaxg xxxf xg x对于定义在区间 上的函数和，如果对于任意，都有成立，那么称函数在区间上可被函数替代若，试判断在区间备， 上能否被替代？记，证明在，上不能被替代选题 ；设，若在区间 ， 上能被替代岳阳模拟，求实数a的取值范围 2221ln21ln2111220221e1 e11e112 21e xf xg xxxxh xxxxxh xxxxh xh xff xg xxg x因为，令，因为，所以在 ， 上单调递增，所以即在区间，上能被，解析：所以，替代 221ln .1110101011ln11e11e1| ln| 1211ln12223)1(1 t xf xg xxxxtxxxxtxxtxt xtf xg xxxf xg xf xg xxa xaf xmmgxxxxa xaxxxxm所以在，上不能被替令因为，且当时，；当时，所以，即，因为在区间 ， 上能被替代，即对于， 恒成立所以，由知，当代eln0 xx， 时，恒成立， 22222111122111112111121111 ln0201e11.2 xxxxaF xxlnxxlnxxxlnxxxxFxxlnxxxlnxxxlnxxxxFxF xaF所以有，令，因为，由的结果可知，所以恒大于或等于 ，即在 ， 上单调增递，所以 2222222111122(111112(1111211111 ln1 ln02222e2221.2121 xxxxaGxxlnxxlnxxxlnxxxxGxxlnxxxlnxxxlnxxxxxxxeeG xaeGeeeaa，令，因为，因为，所以恒大于或等于零，所以，即实数 的范围为 0()0123ababf af bfxf xfx熟悉导数的基本公式与运算性质，准确计算理解导数的几何意义，会求曲线在某点处的切线导数的基本应用主要通过导数求函数的单调区间、极值、最值，要注意极值与最值的区别和联系，连续函数在区间 ，上的最大值与最小值是通过比较区间 ， 内的极值及区间端点函数值、的大小后确定的而运用导数研究函数的单调性时，注意是单调递增的充分条件运用导数求极值时，注意 00f xxx为在处有极值的必要不充分条件4导数与函数、不等式、数列等问题综合时，要注意综合应用函数与方程思想，转化与化归思想来分析、探索问题的求解思路，要充分利用等价转换和构造函数解决问题
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