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义务教育教科书（北师大版）八年级数学下册义务教育教科书（北师大版）八年级数学下册第一章第一章 三角形的证明三角形的证明等腰三角形等腰三角形直角三角形直角三角形线段的垂直平分线线段的垂直平分线角平分线角平分线三角形的证明三角形的证明等腰三角形等腰三角形图形图形性质性质判定判定等等腰腰三三角角形形等等边边三三角角形形BACDABC两腰相等两腰相等等边对等角等边对等角三线合一三线合一轴对称图形轴对称图形两边相等两边相等等角对等边等角对等边三边相等三边相等三角相等三角相等三线合一三线合一轴对称图形轴对称图形三边相等三边相等三角相等三角相等有一个角是有一个角是6060的等腰的等腰三角形三角形1.1.已知一个等腰三角形腰上的已知一个等腰三角形腰上的高与另一腰的夹角为高与另一腰的夹角为45，顶，顶角的度数为角的度数为 . .2.2.等腰三角形中一腰上的中线把等腰三角形中一腰上的中线把三角形的周长分为三角形的周长分为21cm和和12cm两部分，则腰长为（两部分，则腰长为（ ）. .A.8cm B.14cm或或15cm C. 8cm或或14cm D.14cm45或或135DDCABABCDBACDxx2x例例 已知，如图在等腰已知，如图在等腰ABCABC中，中，AB=ACAB=AC，O O是底边是底边BCBC的中点，的中点，ODABODAB于于D, OEACD, OEAC于于E.E.（1 1）ODOD与与OEOE有什么数量关系；有什么数量关系；AD DCB BEOM（2 2）若）若BMBM是一腰上的高，是一腰上的高，BMBM与与ODOD，OEOE有什么数量关系，请说明理由有什么数量关系，请说明理由. .一一. .直角三角形的性质：直角三角形的性质：直角三角形：有一个角是直角的三角形。直角三角形：有一个角是直角的三角形。1.1.直角三角形的两个锐角互余；直角三角形的两个锐角互余；2.2.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；4.4.直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方； ( (勾股定理勾股定理) )3.3.直角三角形中直角三角形中,30,30O O角所对直角边是斜边的一半；角所对直角边是斜边的一半；熟记以下几组勾股数熟记以下几组勾股数: 3: 3、4 4、5 5； 5 5、1212、1313； 7 7、2424、2525； 8 8、1515、1717；直角三角形直角三角形二二. .直角三角形的判定：直角三角形的判定：1.1.定义：有一个角是直角的三角形是直角三角形。定义：有一个角是直角的三角形是直角三角形。2.2.有两个角是互余的三角形是直角三角形。有两个角是互余的三角形是直角三角形。3. 3. 若三角形中，较小两边的平方和等于较大边若三角形中，较小两边的平方和等于较大边的平方，则这个三角形是直角三角形（勾股定的平方，则这个三角形是直角三角形（勾股定理的逆定理）。理的逆定理）。三三. .直角三角形全等的判定：直角三角形全等的判定：AASAAS、ASAASA、SASSAS、SSSSSS、HLHL斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等. .ABCD解解BD=DCBD=DC，B=15B=15DCB=B=15DCB=B=15（等角对等边）（等角对等边）ADC=B+DCB=30ADC=B+DCB=30（三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和）（三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和）A=90A=90AC= DCAC= DC（直角三角形中（直角三角形中,30,30角所对直角边是角所对直角边是 斜边的一半）斜边的一半）AC= BDAC= BD212121例例1.1.已知：如图，已知：如图， A=90A=90，B=15B=15，BD=DC.BD=DC.请说明请说明AC= BDAC= BD的理由的理由. . A B C D7cm 如图，所有的四边形如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为最大的正方形的边长为7cm,7cm,则正方形则正方形A A，B B，C C，D D的面积之和为的面积之和为_cm_cm2 2。49A AE EB BC CD D几何证明几何证明 依据依据演绎推理演绎推理 定义定义公理公理定理定理命题命题逆命题逆命题互逆互逆逆定理逆定理互逆互逆线段的垂直平分线及其逆定理线段的垂直平分线及其逆定理 角的平分线及其逆定理角的平分线及其逆定理 线段的垂直平分线线段的垂直平分线角平分线角平分线 线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等个端点的距离相等. .MNAB, CA=CB(MNAB, CA=CB(已知已知) )PA=PBPA=PB（线段垂直平分线上的任（线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端意一点到这条线段两个端点的距离相等）点的距离相等）1 12 2CBAMNP线段的垂直平分线线段的垂直平分线 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上线段的垂直平分线上. . AB=AC(AB=AC(已知已知) )点点A A在线段在线段BCBC的垂直平分线上的垂直平分线上（和一条线段两个端点距离相（和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平等的点，在这条线段的垂直平分线上）分线上）在角的平分线上的点到这个角两边的距离相等在角的平分线上的点到这个角两边的距离相等 A AB BO O1 12 2P PE ED DCOPOP平分平分AOBAOBPDPDOAOA, ,PEPEOBOB, ,PDPD= =PEPE （在角的平分线上的点到（在角的平分线上的点到这个角两边的距离相等）这个角两边的距离相等） 角平分线角平分线A AB BO O1 12 2P PE ED D C C 在一个角的内部（包括顶点）且到角的两在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上边距离相等的点，在这个角的平分线上. .OPOP平分平分AOBAOBPDPDOAOA, ,PEPEOBOB, ,PDPD= =PE.PE. （在一个角的内部（包（在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边括顶点）且到角的两边距离相等的点，在这个距离相等的点，在这个角的平分线上）角的平分线上）. . 例例 写出下列命题的逆命题，并判断逆命题的真假：写出下列命题的逆命题，并判断逆命题的真假： （1 1）钝角三角形有两个内角是锐角）钝角三角形有两个内角是锐角. .（2 2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. .解：（解：（1 1）如果一个三角形的两个内角是锐角，）如果一个三角形的两个内角是锐角， 那么这个三角形是钝角三角形那么这个三角形是钝角三角形. . 这个逆命题是假命题这个逆命题是假命题. . 这个逆命题是真命题这个逆命题是真命题. . （2）一个三角形中，如果一条边上的中线等于这条边）一个三角形中，如果一条边上的中线等于这条边 的一半，那么这个三角形是直角三角形的一半，那么这个三角形是直角三角形. 不良的习惯会随时阻碍你走向成不良的习惯会随时阻碍你走向成名、获利和享乐的路上去。名、获利和享乐的路上去。 - - 莎士比亚莎士比亚
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