初中的课标准

一、数与代数（一）数与式1有理数（1）理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，能比较有理数的大小。（2）借助数轴理解相反数和绝对值的意义，掌握求有理数的相反数与绝对值的方法，知道a的含义（a表示有理数）新增的要求。（3）理解乘方的意义，掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算(以三步以内为主)。（4）理解有理数的运算律，能运用运算律简化运算。（5）能运用有理数的运算解决简单的问题根据例题判断，把原来“能对含有较大数字的信息作出合理的解释和判断”合并于此项（参见例44）。2实数（1）了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根。（2）了解乘方与开方互为逆运算，会用平方运算求百以内整数新增的具体要求的平方根，会用立方运算求百以内整数（对应的负整数）新增的具体要求的立方根，会用计算器求平方根和立方根。（3）了解无理数和实数的概念，了解实数与数轴上的点一一对应，能求实数的相反数与绝对值。明确提出的要求（4）能用有理数估计一个无理数的大致范围（参见例45）。（5）了解近似数没有明确提出有效数字的要求，在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，并按问题的要求对结果取近似值。（6）了解二次根式、最简二次根式的概念明确提出最简二次根式的概念，了解二次根式加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关实数的简单四则运算删去了“不要求分母有理化”的要求。3代数式（1）在现实情境中，借助代数式进一步理解用字母表示数的意义（根据例题判断把原来的“能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义”合并于此项参见例46）。（2）能分析简单问题中的数量关系，并用代数式表示（参见例47）。（3）会求代数式的值；能根据特定的问题查阅资料，找到所需要的公式，并会代入具体的值进行计算。 4整式与分式（1）了解整数指数幂的意义和基本性质，会用科学记数法表示数（包括在计算器上表示）。（2）了解整式的概念，掌握合并同类项和去括号的法则，明确提出这部分的要求能进行简单的整式加法和减法运算；能进行简单的整式乘法运算（其中多项式相乘仅指一次式之间以及一次式与二次式相乘新增部分）。（3）能推导乘法公式：(a+b)( a-b) = a 2- b 2；(a+ b)2 = a 2 + 2ab + b 2, 了解公式的几何背景，并能利用公式进行简单计算（参见例48）。（4）能用提公因式法、公式法（直接利用公式不超过二次）进行因式分解（系数原为指数的要求是正整数）。（5）了解分式和最简分式的概念，能利用分式的基本性质进行约分和通分；能进行简单的分式加、减、乘、除运算。（二）方程与不等式1方程与方程组（1）能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型（参见例47、例49）。（2）经历心算原为观察、画图或利用计算器等估计方程解的过程（参见例50）。（3）掌握等式的基本性质。新增了对等式性质的要求（4）能解一元一次方程、可化为一元一次方程的分式方程删去了分式方程的限制条件“方程中的分式不超过两个”的要求。（5）掌握代入消元法和加减消元法，能解简单的二元一次方程组和三元一次方程组。新增的学习内容，为二次函数部分新增内容作准备（6）理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程（参见例51）。（7）能用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等。（8）了解一元二次方程的根与系数的关系（不要求应用这个关系解决其他问题）。新增学习内容（9）能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理。2不等式与不等式组（1）结合具体问题，了解不等式的意义，探索不等式的基本性质（参见例52）。（2）能解简单的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集；会用数轴确定由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集。（3）能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式没有明确提出一元一次不等式组的应用，解决简单的问题。（三）函数1函数（1）探索简单实例中的数量关系和变化规律，了解常量、变量的意义。（2）结合实例，了解函数的概念和三种表示法，能举出函数的实例。（3）能结合图像对简单实际问题中的函数关系进行分析（参见例53）。（4）能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，并会求出函数值。（5）能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系（参见例54）。（6）结合对函数关系的分析，能对变量的变化情况进行初步讨论（参见例55）。2一次函数（1）结合具体情境体会一次函数的意义，能根据已知条件确定一次函数的解析表达式（参见例56）。（2）会利用待定系数法确定一次函数的解析表达式。明确提出了待定系数法求解析式，而原来没有明确提出（3）能画出一次函数的图像，根据一次函数的图像和解析表达式 y = kx + b (k0)探索并理解k0或k0时，图像的变化情况。（4）理解正比例函数。（5）体会一次函数与二元一次方程、新增二元一次方程组的关系。（6）能用一次函数解决简单实际问题。3反比例函数（1）结合具体情境体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数的表达式。（2）能画出反比例函数的图像，根据反比例函数的图像和解析表达式 y =(k0)探索并理解k0或k0时，图像的变化情况。（3）能用反比例函数解决简单实际问题。4二次函数 （1）通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义。（2）知道给定不共线三点的坐标可以确定一个二次函数。新增内容（3）会用描点法画出二次函数的图像，通过图像了解二次函数的性质。（4）会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为的形式，明确提出并能由此得到二次函数图像的顶点坐标，说出图像的开口方向，画出图像的对称轴，并能解决简单实际问题。（5）会利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解。二、图形与几何原来名称为“空间与图形”，这部分内容原来有四部分分别为图形的认识、图形与变换、图形与坐标、图形与证明；而在课标修订稿中，分为了“图形的性质、图形的变化、图形与坐标”三部分内容，将原来的图形的认识与图形与证明合并在图形的性质中（一）图形的性质 考试中，只能用下文出现的基本事实和定理作为证明的依据。1点、线、面、角在这一项目中删出了“了解角平分线及其性质”，将角平分线的知识移到后面的三角形中（1）通过实物和具体模型，了解从物体抽象出来的几何体、平面、直线和点等（参见例57）。（2）会比较线段的大小，理解线段的和、差，以及线段中点的意义。（3）直观地了解平面上两条直线（不重合，下同）之间的关系：相交与不相交。（4）掌握基本事实：两点确定一条直线。（5）掌握基本事实：两点间直线段最短。（6）理解两点间距离的意义，能度量两点之间的距离。明确提出（7）理解角的概念，能比较角的大小。（8）认识度、分、秒，会对度、分、秒进行简单的换算，并计算角的和、差。2相交线与平行线（1）理解对顶角、余角、补角等概念，探索并掌握对顶角相等、同角（等角）的余角相等，同角（等角）的补角相等的性质（参见例58）。（2）理解垂线、垂线段等概念，能用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线。（3）理解点到直线的距离的意义，能度量点到直线的距离新增学习内容。（4）掌握基本事实：过一点有且只有一条直线与这条直线垂直。（5）识别同位角、内错角、同旁内角。新增学习内容（6）理解平行线概念；掌握基本事实：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行。（7）掌握基本事实：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行。（8）掌握平行线的性质定理：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等；了解该定理的证明（参见例59）。新增要求（9）能用三角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线。（10）探索并证明平行线的判定定理：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等（或同旁内角互补），那么两直线平行；探索并证明平行线的性质定理：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等（或同旁内角互补）。（11）了解平行于同一条直线的两条直线平行。新增内容 3三角形（1）理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等概念，会按照边长的关系和角的大小对三角形进行分类，新增内容了解三角形的稳定性。（2）探索并证明三角形的内角和定理。掌握它的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。证明三角形的任意两边之和大于第三边。（3）理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边、对应角。（4）掌握基本事实：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等（参见例60）。（5）掌握基本事实：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（参见例60）。（6）掌握基本事实：三边分别相等的两个三角形全等。明确提出（7）证明定理：两角和其中一角的对边分别相等的两个三角形全等。（8）探索并证明角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；反之，角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。（9）理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；反之，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。（10）了解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两底角相等；底边上的高线、中线及顶角平分线重合。探索并掌握等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形。探索等边三角形的性质定理：等边三角形的各角都等于60，以及等边三角形的判定定理：三个角都相等的三角形（或有一个角是60的等腰三角形）是等边三角形。（11）了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。掌握有两个角互余的三角形是直角三角形。（12）探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题。（13）探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理。（14）了解三角形重心的概念。新增内容4四边形这部分内容删去了“平面图形的镶嵌的内容”（1）了解多边形的定义，多边形的顶点、边、内角、外角、对角线等概念；新增的内容探索并掌握多边形内角和与外角和公式。（2）理解平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念，以及它们之间的关系；了解四边形的不稳定性。（3）探索并证明平行四边形的性质定理：平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分，平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形。（4）了解两条平行线之间距离的意义，能度量两条平行线之间的距离。新增内容（5）探索并证明矩形、菱形、正方形的性质定理：矩形的四个角都是直角，对角线相等；菱形的四条边相等，对角线互相垂直；以及它们的判定定理：三个角是直角的四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形；四边相等的四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形。正方形具有矩形和菱形的一切性质（参见例61）。（6）探索并证明三角形的中位线定理。5圆 不要求用（2）、（3）、（7）证明其他命题。（1）理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念，了解等圆、等弧的概念；探索并了解点与圆的位置关系。（2）探索并证明垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧。新增内容（3）探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，了解并证明圆周角定理及其推论：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半；直径所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径；圆内接四边形的对角互补。新增内容（4）知道三角形的内心和外心。（5）了解直线和圆的位置关系，掌握切线的概念。（6）探索切线与过切点的半径的关系：切线垂直于过切点的半径；反之，过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线。会用三角尺过圆上一点画圆的切线。 （7）探索并证明切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线的长相等（参见例62）。新增内容（8）了解圆与圆的位置关系。（9）会计算圆的弧长、扇形的面积。（10）了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系新增内容。6尺规作图 （1）能用尺规完成以下基本作图：作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作一个角的平分线；作一条线段的垂直平分线；过一点作已知直线的垂线。新增内容（2）会利用基本作图作三角形：已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高线作等腰三角形；已知一直角边和斜边作直角三角形。新增内容（3）会利用基本作图完成：过不在同一直线上的三点作圆；作三角形的外接圆、内切圆；作圆的内接正方形和正六边形。新增内容（4）在尺规作图中，了解作图的道理，保留作图的痕迹，不要求写出作法原来要求会写已知、求作和作法。7定义、命题、定理 （1）了解定义、命题、定理、推论的意义新增内容。（2）结合具体事例，会区分命题的条件和结论，了解原命题及其逆命题的概念。识别两个互逆的命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立。（3）知道证明的意义和证明的必要性（参见例76），知道证明要合乎逻辑新增内容（参见例63），知道证明的过程可以有不同的表达形式，学会综合法证明的格式（参见例64）。（4）通过实例体会反证法的含义。了解反例的作用，知道利用反例可以判断一个命题是错误的。（二）图形的变化原为图形与变换1图形的轴对称不再提出镜面对称和利用轴对称进行图案设计（1）通过具体实例了解轴对称的概念，探索它的基本性质：成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分（参见例65）。（2）给定对称轴，能画出简单平面图形（点，线段，直线，三角形等）的轴对称图形。原为“能够按要求作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形”（3）了解轴对称图形的概念。探索等腰三角形、矩形、菱形、正多边形、圆的轴对称性。（4）认识和欣赏自然界和现实生活中的轴对称图形。2图形的旋转删除了“按要求作出平面图形旋转后的图形”的内容（1）通过具体实例认识平面图形的旋转。探索它的基本性质：一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心距离相等，两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等（参见例65）。（2）了解中心对称、中心对称图形的概念，探索它的基本性质：成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分。新增学习内容（3）探索线段、平行四边形、正多边形、圆的中心对称性。（4）认识和欣赏自然界和现实生活中的中心对称图形。3图形的平移删除了“能按要求作出简单平面图形平移后的图形”（1）通过具体实例认识平移，探索它的基本性质：一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线平行且相等（参见例65）。（2）认识和欣赏平移在自然界和现实生活中的应用。（3）运用图形的轴对称、旋转、平移进行图案设计。4图形的相似 不要求用（4）、（5）证明其他结论。（1）了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段；通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割。（2）通过具体实例认识图形的相似。了解对应角分别相等、对应边分别成比例的多边形叫做相似多边形。相似多边形对应边的比称为相似比将相似图形面积比等于相似比的平方的性质移到了相似三角形的性质一项中。（3）掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。新增内容（4）探索并证明相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似。（5）了解相似三角形的性质定理：相似三角形对应线段的比等于相似比；面积比等于相似比的平方。新增学习内容（6）了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小。（7）会利用图形的相似解决一些简单的实际问题（参见例76）。（8）利用相似的直角三角形，原为通过实例认识探索并认识锐角三角函数（sinA，cosA，tanA），知道30，45，60角的三角函数值。（9）会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它的对应锐角。（10）能用锐角三角函数解直角三角形明确提出，能用相关知识解决一些简单的实际问题。5图形的投影 删去了阴影、视点、视角、盲区等内容（1）通过背景丰富的实例，了解中心投影和平行投影的概念。（2）会画直棱柱、圆柱、圆锥、球的主视图、左视图、俯视图不再使用三视图的提法，能判断简单物体的视图，并会根据视图描述简单的几何体。（3）了解直棱柱、圆柱、新增内容圆锥的侧面展开图，能根据展开图想象和制作实物模型。（4）通过实例，了解上述视图与展开图在现实生活中的应用。（三）图形与坐标1坐标与图形的位置（1）结合丰富的实例进一步体会用有序数对可以表示物体的位置。（2）理解平面直角坐标系的有关概念，能画出直角坐标系；在给定的直角坐标系中，根据坐标描出点的位置、由点的位置写出它的坐标。（3）在实际问题中，原为在方格纸中能建立适当的直角坐标系，描述物体的位置（参见例66）。（4）会写出简单图形（多边形，矩形）的顶点坐标，体会可以用坐标刻画一个简单图形。新增内容（5）在平面上，能用方位角和距离刻画两个物体的相对位置（原来为“灵活运用不同的方式确定物体的位置”参见例67）。2坐标与图形的运动更加明确“图形变换后点的坐标的变化”中的图形变换（1）在直角坐标系中，以坐标轴为对称轴，能写出一个已知顶点坐标的直线形的对称图形的顶点坐标，并知道对应顶点坐标之间的关系。（2）在直角坐标系中，能写出一个已知顶点坐标的直线形沿坐标轴方向平移后图形的顶点坐标，并知道对应顶点坐标之间的关系。 （3）在直角坐标系中，探索并了解将一个直线形依次沿两个坐标轴平移后所得到的图形与原来的图形具有平移关系，体会图形顶点坐标的变化。 （4）在直角坐标系中，探索并了解将一个直线形的顶点坐标（有一个顶点为原点、有一个边在横坐标轴上）分别扩大或缩小相同倍数时所对应的图形与原图形是位似的，体会图形顶点坐标的变化。三、统计与概率（一）抽样与数据分析1. 经历收集、整理、描述和分析数据的活动，了解数据分析的过程；能用计算器处理较为复杂的数据。2. 体会抽样的必要性，通过案例了解简单随机抽样（参见例68）。3. 会制作扇形统计图，能用统计图直观、有效地描述数据。4. 理解平均数的意义，能计算中位数、众数、加权平均数，了解数据的集中趋势（参见例69）。5. 体会刻画数据离散程度的意义，会计算简单数据明确要求的方差（参见例70）。6. 能画频数直方图，能利用频数直方图解释数据中蕴涵的信息（参见例79）。7. 体会样本与总体关系，知道可以通过样本平均数、样本方差推断总体平均数、总体方差。8. 通过表格、折线图等，了解随机现象的变化趋势（参见例71）。新增内容（二）事件发生的概率由原来的三条变成了两条1. 能列出随机现象所有可能的结果，以及指定事件发生的所有可能结果，了解事件发生的概率（参看例72、例73）。2. 知道通过大量地重复试验，可以用频率来估计概率（参看例74）。四、综合与实践1通过对有关问题的探讨，了解所学过的数与代数、图形与几何、统计与概率知识之间的关联，加深对有关知识的理解。2进一步经历发现问题和提出问题的过程，积累数学活动经验。3结合实际背景，在给定目标下，设计解决问题的方案，进一步体验分析问题和解决问题的过程，发展应用意识和能力。（参见例75、例76、例77、例78、例79、例80）第四部分 实施建议一、教学建议教学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程。数学教学应根据具体的教学内容，注意使学生在获得间接经验的同时也能够有机会获得直接经验，即从学生实际出发，创设有助于学生自主学习的问题情境，引导学生通过实践、思考、探索、交流等，获得数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验，促使学生主动地、富有个性地学习,不断提高发现问题和提出问题的能力、分析问题和解决问题的能力。在数学教学活动中，教师要把基本理念转化为自己的教学行为, 处理好教师讲授与学生自主学习的关系，注重启发学生积极思考；发扬教学民主，当好学生数学活动的组织者、引导者、合作者；激发学生的学习潜能，鼓励学生大胆创新与实践；创造性地使用教材，积极开发、利用各种教学资源，为学生提供丰富多彩的学习素材；关注学生的个体差异，有效地实施有差异的教学，使每个学生都得到充分的发展；合理地运用现代信息技术，有条件的地区，要尽可能合理、有效地使用计算机和有关软件，提高教学效益。 1数学教学活动要注重课程目标的整体实现为使每个学生都受到良好的数学教育，数学教学不仅要使学生获得数学的知识技能，而且要把“知识技能”、“数学思考”、“问题解决”、“情感态度”四个方面目标有机结合，整体实现课程目标。课程目标的整体实现需要日积月累，在日常的教学活动中，应努力挖掘教学内容中可能蕴涵的、与上述四个方面目标有关的教育价值，通过长期的教学过程，逐渐实现课程的整体目标。因此，无论是设计、实施课堂教学方案，还是组织各类教学活动，不仅要重视学生获得知识技能，而且要激发学生的学习兴趣，通过独立思考或者合作交流感悟数学的基本思想，引导学生在参与数学活动的过程中积累基本经验，帮助学生形成良好的学习习惯。例如，关于“零指数”教学方案的设计可作如下考虑：教学目标不仅要包括了解零指数幂的“规定”、会进行简单计算，还要包括感受这个“规定”的合理性，并在这个过程中学会数学思考、感悟理性精神（参见例81）。2重视学生在学习活动中的主体地位 有效的数学教学活动是教师教与学生学的统一，应体现“以人为本”的理念，促进学生的全面发展。（1）学生是数学学习的主体，在积极参与学习活动的过程中不断得到发展。学生获得知识，可以通过接受学习，也可以通过自主探索等方式，但必须建立在自己思考的基础上；学生应用知识并逐步形成技能，离不开自己的实践；学生在获得知识技能的过程中，只有亲身参与教师精心设计的教学活动，才能在数学思考、问题解决和情感态度方面得到发展（参见例82）。（2）教师应成为学生学习活动的组织者、引导者、合作者，为学生的发展提供良好的环境和条件。教师的“组织”作用主要体现在两个方面：第一，教师应当准确把握教学内容的数学本质和学生的实际情况，确定合理的教学目标，设计一个好的教学方案。第二，在教学活动中，教师要选择适当的教学方式，因势利导、适时调控、努力营造师生互动、生动活泼的课堂氛围，形成有效的学习活动。教师的“引导”作用主要体现在：通过恰当的问题，或者准确、清晰、富有启发性的讲授，引导学生积极思考、求知求真，激发学生的好奇心；通过恰当的归纳和示范，使学生理解知识、掌握技能、积累经验；能关注学生的差异，用不同层次的问题或教学手段，引导每一个学生都能积极参与学习活动。教师与学生的“合作”主要体现在：教师以平等、尊重的态度鼓励学生积极参与教学活动，启发学生共同探索，与学生一起感受成功和挫折、分享发现和成果。做好教学的组织者、引导者、合作者，教师就起到了主导作用。（3）处理好学生主体地位和教师主导作用的关系。好的教学活动，应是学生主体地位和教师主导作用的和谐统一。一方面，学生主体地位的真正落实，依赖于教师主导作用的有效发挥；另一方面，有效发挥教师主导作用的标志，是学生能够真正成为学习的主体，得到全面的发展（参见例30、例49）。启发式教学是处理好学生主体地位和教师主导作用关系的有效途径。教师富有启发性的讲授，创设情境、设计问题，引导学生自主探索、合作交流，组织学生操作实验、观察现象、提出猜想、推理论证等，都能有效地启发学生的思考，使学生成为学习的主体。3注重学生对基础知识、基本技能的理解和掌握“知识技能”既是学生发展的基础性目标，又是落实“数学思考”、“问题解决”、“情感态度”目标的载体。（1）数学知识的教学，应注重学生对所学知识的理解，体会数学知识之间的关联。学生掌握数学知识，不能依赖死记硬背，而应以理解为基础，并在知识的应用中不断巩固和深化。为了帮助学生真正理解数学知识，教师应注重数学知识与学生生活经验的联系、与学生学科知识的联系，组织学生开展实验、操作、尝试等活动，引导学生进行观察、分析，抽象概括，运用知识进行判断。教师还应揭示知识的数学本质及其体现的数学思想，帮助学生理清相关知识之间的区别和联系等。数学知识的教学，要注重知识的“生长点”与“延伸点”，把每堂课教学的知识置于整体知识的体系中，注重知识的结构和体系，处理好局部知识与整体知识的关系，引导学生感受数学的整体性，体会对于某些数学知识可以从不同的角度加以分析、从不同的层次进行理解。（2）在基本技能的教学中，不仅要使学生掌握技能操作的程序和步骤，还要使学生理解程序和步骤的道理。例如，对于整数乘法计算，学生不仅要掌握如何进行计算，而且要知道相应的算理；对于尺规作图，学生不仅要知道作图的步骤，而且要能知道实施这些步骤的理由。基本技能的形成，需要一定量的训练，但要适度，不能依赖机械的重复操作，要注重训练的实效性。教师应把握技能形成的阶段性，根据内容的要求和学生的实际，分层次地落实。4引导学生积累数学活动经验、感悟数学思想数学思想蕴涵在数学知识形成、发展和应用的过程中，是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括，如归纳、演绎、抽象、转化、分类、模型、数形结合、随机等。学生只有积极参与教学过程，独立思考、合作交流、积累数学活动经验，才能逐步感悟这些思想。（1）合理创设情境。教学中应当努力创设源于学生生活的现实情境。好的“现实情境”，应当是学生熟悉的、简明的、有利于引向数学本质的、真实或合理的。此外，教学中也可以根据具体内容创设其他类型的情境，包括根据已有数学知识创设的情境、根据已有其他学科知识创设的情境。 （2）引导学生自主探索。数学知识的形成以及逐渐完善的过程中往往蕴涵着一定的数学思想。在教学活动中，教师应选择适当的形式和素材组织学生进行自主探索。探索活动的价值不仅在于获得知识，还包括引导学生在探索的过程中积累基本的数学活动经验，感悟基本的数学思想。有效地开展探索活动，首先要选择合适的问题，还需要整体设计探索活动（参见例83、例84）。组织学生开展探索活动应当注意以下几点： 鼓励学生在独立思考的基础上，与他人合作交流。没有每个学生的独立思考，合作交流就缺乏基础；没有同伴间的合作交流，个人的思考有时难以深入。此外，适当的合作交流，也有利于学生逐渐形成良好的身心素质。 课堂教学的时间是有限的，教师必须把握好学生自主探索活动的时间，给最终的归纳总结留有余地。教师需要在实践中不断提高自己组织、引导学生开展探索活动的能力，提高探索活动的实效。 给学生自主探索适当的空间。探索过程中获得的结果固然重要，探索过程本身也是有价值的。 处理好学生自主探索与教师示范的关系。对于学生的探索活动，教师不仅要给予启发、引导，而且应适时地进行归纳，示范阶段性结论，明晰进一步探索的思路。 对于进行自主探索有困难的学生，教师应给以具体的帮助、鼓励和指导，努力使他们也能参与探索活动并积极地思考。5关注学生情感态度的发展根据课程目标，广大教师要把落实情感态度的目标作为己任，努力把情感态度目标有机地融合在数学教学过程之中。设计教学方案、进行课堂教学活动时，应当经常考虑如下问题：如何引导学生积极参与教学过程？如何组织学生探索，鼓励学生创新？如何引导学生感受数学的价值？如何使他们愿意学，喜欢学，对数学感兴趣？如何让学生体验成功的喜悦，从而增强自信心？如何引导学生善于与同伴合作交流，既能理解、尊重他人的意见，又能独立思考、大胆质疑？如何让学生做自己能做的事，并对自己做的事情负责？如何帮助学生锻炼克服困难的意志？如何培养学生良好的学习习惯？在教育教学活动中，教师要尊重学生，以强烈的责任心，严谨的治学态度，健全的人格感染和影响学生；要不断提高自身的数学素养，善于挖掘教学内容的教育价值；要在教学实践中善于用标准的理念分析各种现象，恰当地进行养成教育。例如，当学生知道自己课堂练习有误、能够改正却又不努力改正时，教师就应该对学生说：“你已经知道解题有错误，必须自己改正，相信你自己能够改正。”这里，“必须自己改正”就是要求学生“对自己能做的事负责任”，“相信你自己能够改正”则是给学生以鼓励，激发学生的自信心。又如，学生不能合适地回答教师的课堂提问时，教师不应随意地打断学生的回答，而应倾听学生的意见，也不要以自己预设的“标准”简单地否定学生的意见，而应机敏地判断学生的解答是否具有合理的成分并加以恰当的引导。6教学中应当注意的几个关系（1）“预设”与“生成”的关系。教学方案是教师对教学过程的“预设”，教学方案的形成依赖于教师对教材的理解、钻研和再创造。理解和钻研教材，应以标准为依据，把握好教材的编写意图和教学内容的教育价值；对教材的再创造，集中表现在：能根据所教班级学生的实际情况，选择贴切的教学素材和教学流程，准确地体现基本理念和内容标准规定的要求。实施教学方案，是把“预设”转化为实际的教学活动。在这个过程中，师生双方的互动往往会“生成”一些新的教学资源，这就需要教师能够及时把握，因势利导。例如，学生不能很好地理解教师“预设”问题的意图时，学生对教师的讲授提出“预设”没有想到的质疑时，学生的活动进展与教师的“预设”有差异时，这都需要教师适时调整预案，以使教学活动收到更好的效果。（2）面向全体学生与关注学生个体差异的关系。教学活动应努力使全体学生达到课程目标的基本要求，同时要关注学生的个体差异。对于学习有困难的学生，教师要给予及时的关注与帮助，鼓励他们主动参与数学学习活动，并尝试用自己的方式解决问题、发表自己的看法，要及时地肯定他们的点滴进步，耐心地引导他们分析产生困难或错误的原因，并鼓励他们自己去改正，从而增强他们学习数学的兴趣和信心。对于学有余力并对数学有兴趣的学生，教师要为他们提供足够的材料和思维空间，指导他们阅读，发展他们的数学才能。在教学活动中，要鼓励与提倡解决问题策略的多样化，恰当评价学生在解决问题过程中所表现出的不同水平；问题情境的设计、教学过程的展开、练习的安排等要尽可能地让所有学生都能主动参与，提出各自解决问题的策略，并引导学生通过与他人的交流选择合适的策略，丰富数学活动的经验，提高思维水平。（3）合情推理与演绎推理的关系。 推理贯穿于数学教学的始终，推理能力的形成和提高需要一个长期的、循序渐进的过程。义务教育阶段要注重学生思考的条理性，不要过分强调推理的形式。推理包括合情推理和演绎推理。教师在教学过程中，应该设计适当的学习活动，引导学生通过观察、尝试、估算、归纳、类比、画图等活动发现一些规律，猜测某些结论，发展合情推理能力；通过实例使学生逐步意识到，结论的正确性需要演绎推理的确认，可以根据学生的年龄特征提出不同程度的要求。 在第三学段中，应把证明作为探索活动的自然延续和必要发展，使学生知道合情推理与演绎推理是相辅相成的两种推理形式。“证明”的教学应关注学生对证明必要性的感受，对证明基本方法的掌握和证明过程的体验。证明命题时，应要求证明过程及其表述符合逻辑，清晰而有条理（参见例62、例64）。此外，还可以恰当地引导学生探索证明同一命题的不同思路和方法，进行比较和讨论，激发学生对数学证明的兴趣，发展学生思维的广阔性和灵活性。（4）使用现代信息技术与教学手段多样化的关系。合理地应用现代信息技术，注重信息技术与课程内容的整合，能有效地改变教学方式，提高课堂教学的效益。有条件的地区，教学中要尽可能地使用计算器、计算机以及有关软件；暂时没有这种条件的地区，一方面要积极创造条件改善教学设施，另一方面广大教师应努力自制教具以弥补教学设施的不足。用计算器完成较为繁杂的计算，要以学生理解并能正确应用公式、法则进行计算为基础。课堂教学、课外作业、实践活动中，应当根据内容标准的要求，允许学生使用计算器，还应当鼓励学生用计算器进行探索规律等活动（参见例27、例48）。现代信息技术的作用不能完全替代原有的教学手段，其真正价值在于实现原有的教学手段难以达到甚至达不到的效果。例如，利用计算机展示函数图象、几何图形的运动变化过程；从数据库中获得数据，绘制合适的统计图表；利用计算机的随机模拟结果，引导学生更好地理解随机事件以及随机事件发生的概率；等等。在应用现代信息技术的同时，教师还应注重课堂教学的板书设计。必要的板书有利于实现学生的思维与教学过程同步，有助于学生更好地把握教学内容的脉络。二、评价建议评价的主要目的是全面了解学生数学学习的过程和结果，激励学生学习和改进教师教学。评价应以课程目标和内容为依据，体现基本理念，全面评价学生在知识技能、数学思考、问题解决和情感态度等方面的表现。评价不仅要关注学生某一阶段的学习结果，更要关注学生在学习过程中的发展和变化。应采用多样化的评价方式，合理利用评价结果，发挥评价的激励作用，保护学生的自尊心和自信心。通过评价所得到的信息，可以了解学生达到的水平和存在的问题，帮助教师进行总结与反思，调整和改善教学内容和教学过程。1. 基础知识和基本技能的评价对基础知识和基本技能的评价，应以各学段的具体目标和要求为标准，考查学生对基础知识和基本技能的理解和掌握程度，以及在学习基础知识与基本技能过程中的表现。在对学生学习基础知识和基本技能的结果进行评价时，应该很好地把握“了解、理解、掌握、应用”不同层次的要求。在对学生基础知识与基本技能学习过程进行评价时，应依据“经历、体验、探索”几个层次的要求，采取灵活多样的方法，定性定量结合、定性评价为主。每一个学段的目标是该学段结束时学生应达到的要求，教师应根据实际确定阶段性目标。例如，下表是对第一学段有关计算技能的基本要求，这些要求是在学段结束时应达到的，评价时应注意把握尺度。表1 第一学段计算技能评价要求学习内容正确率速度要求20以内的加减法和表内乘除法口算95%8-10题/分三位数以内的加减法90%2-3题/分两位数乘两位数90%1-2题/分一位数除两位或三位数的除法90%1-2题/分教师应允许一部分学生经过一段时间的努力，随着数学知识与技能的积累逐步达到学段目标。例如，在实施评价时，可以对部分学生采取 “延迟评价”的方式，给学生再次提供机会，使他们看到自己的进步，树立学好数学的信心。 2. 数学思考和问题解决的评价数学思考和问题解决的评价要依据总体目标和学段目标的要求，体现在整个数学学习过程中。对数学思考和问题解决的评价应当采用多种形式和方法，要重视在平时教学和具体的问题情境中进行。例如，在第二学段，教师可以设计下面的活动，评价学生数学思考和问题解决的能力：用长为50厘米的细绳围成一个边长为整数厘米的长方形，怎样才能使面积达到最大？在对学生进行评价时，教师可以关注以下几个不同的层次：第一，学生是否能理解题目的意思，能否思考出解决问题的策略，如通过画图进行尝试；第二，学生能否列举若干满足条件的长方形，通过列表等形式将其进行有序排列；第三，在观察、比较的基础上，学生能否发现长和宽发生变化时，面积的变化规律，并猜测问题的结果；第四，对猜测的结果给予验证；第五，学生能否猜想当长和宽的变化不限于整数厘米时，面积何时最大。为此，教师可以根据实际情况，设计有层次的问题评价学生的不同水平。例如，设计下面的问题：（1）找出三个满足条件的长方形，记录下长方形的长、宽和面积，并依据长或宽的大小有序地排列出来。（2）观察排列的结果，探索长方形的长和宽发生变化时，面积相应的变化规律。猜测当长和宽各为多少厘米时，长方形的面积最大。（3）列举满足条件的长和宽的所有可能结果，验证猜测。（4）猜想：如果不限制长方形的长和宽为整数厘米，怎样才能使它的面积最大？教师可以预设目标：对于第二学段的学生，能够完成第（1）、（2）题就达到基本要求，对于能完成第（3）、（4）题的学生，应给予与充分的肯定。学生解决问题的策略可能与预设有所不同，教师应给予适当的评价。3. 情感态度的评价情感态度的评价应依据课程目标的要求，采用适当的方法进行。主要方式有课堂观察、活动记录、课后访谈等。情感态度的评价主要在平时教学过程中进行，注重考查和记录学生在不同阶段情感态度的状况和发生的变化。例如，可以设计下面的评价表，记录、整理和分析学生参与数学活动的情况。表2 参与数学活动情况的评价表学生姓名： 时间: 活动内容： 评价内容优秀良好一般参与的主动性愿意思考问题愿意与他人合作愿意表达与交流对于其他的教学活动，教师可以根据实际情况设计类似的评价表，也可以根据需要设计学生情感态度的综合评价表。4. 注重对学生数学学习过程的评价学生在知识技能、数学思考、问题解决和情感态度等方面的表现不是孤立的，是相互联系的整体，这些方面的发展综合体现在数学学习过程之中。在评价学生每一个方面表现的同时，要注重对学生学习过程的整体评价，分析学生在不同阶段的发展变化。评价时应注意记录、保留和分析学生在不同时期的学习表现和学业成就。例如，可以设计下面的课堂观察表用于记录学生在课堂中的表现，积累一定数量的课堂观察，可以综合了解学生的学习表现以及变化情况。表3 课堂观察表上课时间： 科目： 内容： 项目王涛李明陈虎课堂参与提出或回答问题合作与交流课堂练习知识技能的掌握思维与解题其他说明：纪录时，可以用3表示优，2表示良，1表示一般，等等。5. 评价主体的多元化和评价方式的多样性评价时，可以采取教师评价、学生自我评价、学生相互评价、家长评价等方式，可以综合应用这些评价，对学生的学习情况和教师的教学情况进行全面的考查。例如，每一个学习单元结束时，教师可以要求学生自我设计一个“学习小结”，用合适的形式（表、图、卡片、电子文本等）归纳学到的知识和方法，学习中的收获，遇到的问题，等等。教师可以通过学习小结对学生的学习情况进行评价，也可以组织学生将自己的学习小结在班级展示交流，通过这种形式总结自己的进步，反思自己的不足以及需要改进的地方，汲取他人值得借鉴的经验。条件允许时，可以请家长参与评价。评价方式多样化体现在多种评价方法的运用，包括书面测验、口头测验、活动报告、课堂观察、课后访谈、课内外作业、成长记录等等，在条件允许的地方，也可以采用网上交流的方式进行评价。每种评价方式都具有各自的特点，教师应结合学习内容及学生学习的特点，选择适当的评价方式。例如，可以通过课堂观察了解学生学习的过程与学习态度，从作业中了解学生基础知识与基本技能掌握的情况，从探究活动中了解学生独立思考的习惯和合作交流的意识，从成长记录中了解学生的发展变化。6. 恰当地呈现和利用评价结果评价结果的呈现应采用定性与定量相结合的方式。第一学段的评价应当以描述性评价为主，第二学段采用描述性评价和等级评价相结合的方式，第三学段可以采用描述性评价和等级（或百分制）评价相结合的方式。评价结果的呈现和利用应有利于增强学生学习数学的自信心，提高学生学习数学的兴趣，养成良好的学习习惯，促进学生的发展。应该更多地关注学生的进步，关注学生已经掌握了什么，获得了哪些提高，具备了什么能力，还有什么潜能，在哪些方面还存在不足，等等。例如，下面是对一个学生关于“统计与概率”学习的书面评语：本学期我们学习了收集、整理和表达数据。王小明同学通过自己的努力，能收集、记录数据，知道如何求平均数，了解统计图的特点，制作的统计图很出色，在这个方面是全班最好的。但你在使用语言解释统计结果方面有一定困难。继续努力，小明！ 评定等级：B。学生阅读了这个以定性为主的评语，实际上也是与教师的一次情感交流，他获得了成功的体验，树立了学好数学的自信心，也知道了哪些方面应该继续努力。教师要分析学生评价结果的变化，从而了解自己教学的成绩和问题，分析、反思教学过程中影响学生能力提高和素质发展的原因，寻求改善教学的对策。7. 合理设计与实施书面测验书面测验是考查学生课程目标达成状况的重要方式，合理地设计和实施书面测验有助于全面考查学生的数学学业成就，及时反馈教学成效，不断提高教学质量。（1）对于学生基础知识和基本技能达成情况的评价，应准确把握内容标准中的要求。例如，对于一元二次方程根与系数关系的考查，内容标准中的要求是“了解”，不要求应用这个关系解决其他问题，设计测试题目时应符合这个要求。对基础知识和基本技能的考查，要注重考查学生对其所蕴涵的数学本质的理解，考察学生能否在具体情境中合理应用。因此，在设计试题时不出偏题、怪题，淡化特殊的解题技巧。 （2）在设计试题时，应该关注并且体现标准的设计思路中提出的几个核心：数感、符号意识、运算能力、模型思想、空间观念、几何直观、推理能力、数据分析、随机现象。（3）根据评价的目的合理地设计试题的类型，有效地发挥各种类型题目的功能。例如，为考查学生从具体情境中获取信息的能力，可以设计阅读分析的问题；为考查学生的探究能力，可以设计探索规律的问题；为考查学生解决问题的能力，可以设计具有实际背景的问题；为了考查学生的创造能力，可以设计开放性问题。三、教材编写建议数学教材为学生的数学学习活动提供了学习主题、基本线索和知识结构，是实现数学课程目标、实施数学教学的重要资源。数学教材的编写应以标准为依据。教材所选择的学习素材应尽量与学生的生活现实、数学现实、其他学科现实相联系，应有利于加深学生对所要学习内容的数学理解。教材内容的呈现要体现数学知识的整体性，体现重要的数学知识和方法的产生、发展和应用过程；应引导学生进行自主探索与合作交流，并关注对学生人文精神的培养；教材的编写还要利于调动教师的主动性和积极性，利于教师进行创造性教学。内容标准是按照学段制订的，并未规定学习内容的呈现顺序。因此，教材可以在不违背数学知识体系的基础上，根据学生的数学学习认知规律、知识背景和活动经验，合理地安排学习内容，体现出自己的风格和特色，形成自己的编排体系。 1. 教材编写应体现科学性 科学性是对教材编写的基本要求。教材一方面要符合数学的学科特征，另一方面要符合学生的认知规律。 （1）全面体现标准提出的理念和目标。 教材的编写应以标准为依据，在准确理解的基础上，全面地体现和落实标准提出的基本理念和各项目标。 （2）体现课程内容的数学实质。教材中学习素材的选择，图片、情境、案例与栏目等的设置，拓展内容的编写，以及其他课程资源的利用，都应当与所安排的数学内容有实质性联系，有利于提高学生对数学实质的理解，有利于提高学生对于所学内容的兴趣。 （3）准确把握内容标准要求。 标准对于义务教育阶段的数学教学内容有明确和具体的目标要求，教材的编写应遵循学生的认知规律，准确地把握“过程目标”或“结果目标”要求的程度。例如，在义务教育阶段，对“概率”概念的要求是“了解”事件发生的概率，“知道”通过大量的重复试验，可以用频率来估计概率，在编写相关内容时要把握好“了解”和“知道”所要求的程度。再如，关于距离的概念，在第二学段要求“知道”两点间的距离，在第三学段要求“理解”两点间距离的意义，“能”度量两点之间的距离，在编写相关内容时，一方面要把握好“知道”“理解”“能”之间程度的差异，另一方面要注意内容之间的衔接。 （4）教材的编写要有一定的实验依据。 教材的内容、案例的设计、习题的配置等，要经过课堂教学的实践检验，特别是新增的内容要经过较大范围的实验，根据实践的结果推敲可行性，并不断改进与完善。 2. 教材编写应体现整体性 作为科学的数学知识具有很强的整体性，而作为教育任务的数学内容在反映这一基本特征的基础上，还应当体现作为课程内容的整体性。 （1）整体体现课程内容的核心。 教材的整体设计要体现内容领域的核心。标准在设计思路中指出了“数与代数”、“图形与几何”、“统计与概率”三个内容领域的核心：数感、符号意识、运算能力、模型思想；空间观念、几何直观、推理能力；数据分析、随机现象。它们是义务教育阶段数学课程内容的核心，也是教材的主线。因此，教材应当围绕这些核心内容进行整体设计和编排。 例如，在方程、不等式和函数的各部分内容编排中，应整体考虑模型思想的体现，突出体现建立模型、求解模型的过程。再如，推理能力包括合情推理和演绎推理，无论是“数与代数”、“图形与几何”还是“统计与概率”的内容编排中，都要尽可能地为学生提供观察、操作、归纳、类比、猜测、证明的机会，发展学生的推理能力。 （2）整体考虑知识之间的关联。教材的整体设计要呈现不同数学知识之间的关联。一些数学知识之间存在逻辑顺序，教材编写应有利于学生感悟这种顺序。一些知识之间存在着非常本质的内在联系，这种联系体现在相同的内容领域，也体现在不同的内容领域。例如在“数与代数”领域内，函数、方程、 不等式之间均存在着实质性联系；此外，代数与几何、统计之间也存在着一定的实质性联系。 帮助学生理解类似的实质性联系，是数学教学的重要任务。为此，教材在内容的素材选取、问题设计和编排体系等方面应体现这些实质性联系，展示数学知识的整体性和数学方法的一般性。 （3）重要的数学概念与数学思想要体现螺旋上升的原则。 数学中有一些重要内容、方法、思想是需要学生经历较长的认识过程，逐步理解和掌握的，如分数、函数、概率、数形结合、逻辑推理、模型思想等。因此，教材在呈现相应的数学内容与思想方法时，应根据学生的年龄特征与知识积累，在遵循科学性的前提下，采用逐级递进、螺旋上升的原则。螺旋上升是指在深度、广度等方面都要有实质性的变化，即体现出明显的阶段性要求。 例如，函数是“数与代数”的重要内容，也是义务教育阶段学生最难理