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第第2 2章章 一元二次方程一元二次方程2 2。2 2 一元二次方程的解法（第一元二次方程的解法（第3 3课时）课时）用配方法解一元二次方程用配方法解一元二次方程例例1 1 用配方法解下列方程：用配方法解下列方程：（1 1）x x2 2-x-6=0-x-6=0； （2 2）3y3y2 2+1=2+1=2 y y；（3 3）2x2x2 2+4x-9=0+4x-9=0； （4 4）3x3x2 2-2x+3=0-2x+3=0。分析：先将方程左边配方成完全平方式分析：先将方程左边配方成完全平方式, ,方程右方程右边化成非负数的形式边化成非负数的形式, ,然后用直接开平方法求解然后用直接开平方法求解。3解：（解：（1 1）移项）移项, ,得得x x2 2-x=6-x=6。 配方配方, ,得得x x2 2-x+-x+ =6+=6+ , ,即即 。 直接开平方直接开平方, ,得得 , ,或或 。 解得解得x x1 1=3=3, ,x x2 2=-2=-2。（2 2）移项）移项, ,得得3y3y2 2-2-2 y+1=0y+1=0, ,即即( ( y-1y-1) )2 2=0=0。 直接开平方直接开平方, ,得得 y-1=0y-1=0。 解得解得y y1 1=y=y2 2= = 。221221425212x2521x2521x33333（4 4）二次项系数化为）二次项系数化为1 1, ,得得x x2 2- - x+1=0 x+1=0。 移项移项, ,得得x x2 2- - x=-1x=-1。 配方得配方得( (x-x- ) )2 2=-=- 。 方程无解方程无解。（3 3）二次项系数化为）二次项系数化为1 1, ,得得x x2 2+2x-+2x- =0=0。 移项移项, ,得得x x2 2+2x=+2x= 。 配方配方, ,得得x x2 2+2x+1=+2x+1= , ,即即( (x+1x+1) )2 2= = 。直接开平方直接开平方, ,得得, ,x+1=x+1= , ,或或x+1=-x+1=- 。 解得解得x x1 1= = -1-1, ,x x2 2=-=- -1-1。292921121122222222222232323198注意点：运用配方法解一元二次方程时注意点：运用配方法解一元二次方程时, ,先移项先移项, ,把含有未知数的项移到方程的左边把含有未知数的项移到方程的左边, ,常数项移到常数项移到方程的右边方程的右边, ,然后把二次项系数化为然后把二次项系数化为1 1, ,再在方程再在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方的左右两边同时加上一次项系数一半的平方, ,把把方程化为方程化为( (x xa a) )2 2=b=b（b b0 0）的形式）的形式, ,再用直接再用直接开平方法求解开平方法求解。有关配方法的应用有关配方法的应用例例2 2 若若x x2 2-4x+y-4x+y2 2+6y+6y+ +13=0+13=0, ,求求( (xyxy) )z z的值的值。分析：可将分析：可将x x2 2-4x-4x, ,y y2 2+6y+6y通过配方法配成完全平方通过配方法配成完全平方的形式的形式, ,将已知条件的左边化成三个非负数的和的将已知条件的左边化成三个非负数的和的形式形式, ,分别求出分别求出x x, ,y y, ,z z的值的值, ,再代入再代入( (xyxy) )z z中即可求中即可求解解。解：解：x x2 2-4x+y-4x+y2 2+6y+6y+ +13=0+13=0, ,x x2 2-4x+4+y-4x+4+y2 2+6y+9+6y+9+ =0=0, ,(x-2x-2) )2 2+(y+3+(y+3) )2 2+ + =0=0, ,x-2=0 x-2=0, ,y+3=0y+3=0, ,z-2=0z-2=0, ,x=2x=2, ,y=-y=-3 3, ,z=2z=2, ,(xyxy) )z z= =( (-6-6) )2 2=36=36。2z2z2z2z注意点：当一个方程出现多个未知数注意点：当一个方程出现多个未知数, ,且方程中且方程中具备完全平方的雏形时具备完全平方的雏形时, ,可以考虑凑完全平方式可以考虑凑完全平方式, ,将方程化成几个非负数和为零的情形将方程化成几个非负数和为零的情形, ,从而将一从而将一个方程化成多个方程来分别求解个方程化成多个方程来分别求解。变式：对于任何实数变式：对于任何实数x x, ,二次三项式二次三项式x x2 2-2-2 x+5-x+5-的值恒大于零吗？为什么？的值恒大于零吗？为什么？答案：恒大于零答案：恒大于零。 理由如下：理由如下：x x2 2-2-2 x+5-x+5- =x=x2 2-2-2 x+x+ - - +5-+5- =(x- =(x- ) )2 2+3-+3- , ,而而( (x-x- ) )2 20 0, ,3 3 , ,x x2 2-2-2 x+5-x+5- 的值恒大于零的值恒大于零。222222)2(2)2(2222222例例 解方程：解方程：4x4x2 2+8x+1=0+8x+1=0。正答：方程两边都除以正答：方程两边都除以4 4, ,得得x x2 2+2x+2x+ =0=0。 移项移项, ,得得x x2 2+2x=-+2x=- 。配方配方, ,得得x x2 2+2x+1=-+2x+1=- +1+1, ,即即( (x+1x+1) )2 2= =所以所以x+1=x+1= 。 所以所以x x1 1= = -1-1, ,x x2 2=-=- -1-1错答：原方程可变为错答：原方程可变为4x4x2 2+8x=-1+8x=-1, ,两边同时加上两边同时加上一次项系数一半的平方一次项系数一半的平方, ,得：得：4x4x2 2+8x+8x+ =-1+ =-1+ 。 即即( (2x+42x+4) )2 2=15=15。 解得解得x x1 1= = , ,x x2 2= = 。2282282415 2415 414141.43232323错因：运用配方法解方程的关键是先把二次项系错因：运用配方法解方程的关键是先把二次项系数化为数化为1 1, ,然后在方程两边加上一次项系数一半然后在方程两边加上一次项系数一半的平方的平方, ,最后配成最后配成( (x+mx+m) )2 2=n=n的形式的形式。
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