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第34课时 平移与旋转一、平移一、平移( (平移变换平移变换) )1.1.定义：在平面内，把一个图形沿定义：在平面内，把一个图形沿_移动一定的距离移动一定的距离, ,这样的图形运动称为平移这样的图形运动称为平移. .2.2.性质：性质：(1)(1)平移后的新图形与原图形的平移后的新图形与原图形的_完全相同完全相同; ;(2)(2)对应点所连的线段平行对应点所连的线段平行( (或共线或共线) )且且_，对应线段平行且，对应线段平行且相等相等, ,对应角相等对应角相等. .3.3.坐标与平移：横坐标变化，图形坐标与平移：横坐标变化，图形_平移；纵坐标变化，平移；纵坐标变化，图形图形_平移平移. .某一方向某一方向形状和大小形状和大小相等相等左右左右上下上下二、旋转二、旋转1.1.定义：在平面内定义：在平面内, ,将一个图形绕将一个图形绕_沿某个方向转动一沿某个方向转动一个角度个角度, ,这样的图形运动叫做旋转这样的图形运动叫做旋转. .2.2.性质：性质：(1)(1)旋转前后的图形旋转前后的图形_._.(2)(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于对应点与旋转中心所连线段的夹角等于_._.(3)(3)对应点到旋转中心的距离对应点到旋转中心的距离_._.一个定点一个定点全等全等旋转角旋转角相等相等三、中心对称与中心对称图形三、中心对称与中心对称图形1.1.联系：都是把一个图形绕着某一个点旋转联系：都是把一个图形绕着某一个点旋转_._.2.2.区别：中心对称是旋转后的图形能与区别：中心对称是旋转后的图形能与_重合，中重合，中心对称图形旋转后的图形能与心对称图形旋转后的图形能与_重合重合. .3.3.性质：性质：(1)(1)对称点所连线段都经过对称点所连线段都经过_，而且被对称中，而且被对称中心所心所_._.(2)(2)中心对称的两个图形是中心对称的两个图形是_图形图形. .4.P(x,y)4.P(x,y)关于原点关于原点O O的对称点为的对称点为_._.180180另一个图形另一个图形原来的图形原来的图形对称中心对称中心平分平分全等全等P(-x,-yP(-x,-y) )【核心点拨【核心点拨】1.1.平移平移（1 1）平移只改变图形的位置）平移只改变图形的位置. .（2 2）图形上的每个点都沿同一个方向移动相同的距离）图形上的每个点都沿同一个方向移动相同的距离. .2.2.旋转旋转旋转明确三要素：旋转中心、旋转角、旋转的方向旋转明确三要素：旋转中心、旋转角、旋转的方向. .3.3.中心对称与中心对称图形中心对称与中心对称图形中心对称是就两个图形而言的，它表示两个图形之间的对称关中心对称是就两个图形而言的，它表示两个图形之间的对称关系，而中心对称图形是就一个图形而言的，它表示一个图形本系，而中心对称图形是就一个图形而言的，它表示一个图形本身的对称性身的对称性【即时检验【即时检验】一、一、1.1.如图，已知线段如图，已知线段DEDE由线段由线段ABAB平移而得，平移而得，AB=DC=4 cm,AB=DC=4 cm,EC=5 cmEC=5 cm，则，则DCEDCE的周长是的周长是_cm.cm.2.2.平面直角坐标系中点平面直角坐标系中点A A（-2-2，3 3），点），点B B（4 4，3 3），线段），线段ABAB平平移后点移后点A A的对应点的对应点AA的坐标为（的坐标为（0 0，-1-1），则），则ABAB的中点的中点C C平移后平移后对应点对应点CC的坐标为的坐标为_. .1313（3 3，-1-1）二、如图，在二、如图，在RtRtOABOAB中，中，OAB=90OAB=90,OA=AB=6,OA=AB=6，将，将OABOAB绕绕点点O O沿逆时针方向旋转沿逆时针方向旋转9090得到得到OAOA1 1B B1 1，线段，线段OAOA1 1的长是的长是_，AOBAOB1 1的度数是的度数是_. .三、矩形是中心对称图形，其对称中心是三、矩形是中心对称图形，其对称中心是_. .6 6135135对角线的交点对角线的交点 平移性质及作图平移性质及作图【例【例1 1】（】（20112011青岛中考）如图，将等腰青岛中考）如图，将等腰直角直角ABCABC沿沿BCBC方向平移得到方向平移得到A A1 1B B1 1C C1 1，若，若 则则BBBB1 1=_.=_.【思路点拨【思路点拨】重叠部分为等腰直角三角形，设重叠部分为等腰直角三角形，设B B1 1C=2x,C=2x,则则B B1 1C C边边上的高为上的高为x,x,根据重叠部分的面积列方程求根据重叠部分的面积列方程求x,x,再求再求BBBB1 1. .1PB CBC3 2S2，【自主解答【自主解答】设设B B1 1C=2x,C=2x,根据等腰三角形的性质可知，重叠部分为等腰直角三角形，则根据等腰三角形的性质可知，重叠部分为等腰直角三角形，则B B1 1C C边上的高为边上的高为x,x, x x2x=2,2x=2,解得解得 （舍去负值），（舍去负值），BBBB1 1=BC-B=BC-B1 1C=C=答案：答案：1212x2,x2 2.2【规律方法【规律方法】简单的平移作图的三种方法简单的平移作图的三种方法（1 1）平行线法：即利用）平行线法：即利用“平移图形的对应线段平行（或共线）平移图形的对应线段平行（或共线）且相等且相等”，找出各关键点的对应点再顺次连线作图，找出各关键点的对应点再顺次连线作图. .（2 2）对应点连线法：即利用）对应点连线法：即利用“平移图形的对应点连接的线段平平移图形的对应点连接的线段平行（或共线）且相等行（或共线）且相等”，找出各关键点的对应点，再顺次连线，找出各关键点的对应点，再顺次连线作图作图. .（3 3）全等图形法：即利用）全等图形法：即利用“平移图形必全等平移图形必全等”用尺规作图用尺规作图. .【对点训练【对点训练】1.1.（20122012义乌中考）如图，将周长为义乌中考）如图，将周长为8 8个单个单位的等边位的等边ABCABC沿沿BCBC方向平移方向平移1 1个单位得到个单位得到DEFDEF，则四边形，则四边形ABFDABFD的周长为的周长为( )( )（A A）6 6 （B B）8 8 （C C）10 10 （D D）1212【解析【解析】选选C C根据题意，将周长为根据题意，将周长为8 8个单位的等边个单位的等边ABCABC沿边沿边BCBC向右平移向右平移1 1个单位得到个单位得到DEFDEF，AD=1AD=1，BF=BC+CF=BC+1BF=BC+CF=BC+1，DF=AC.DF=AC.又又AB+BC+AC=8AB+BC+AC=8，四边形四边形ABFDABFD的周长的周长=AD+AB+BF+DF=1+AB+BC+1+AC=10=AD+AB+BF+DF=1+AB+BC+1+AC=10 2.2.（20122012宜昌中考）如图宜昌中考）如图, ,在在10106 6的网格中的网格中, ,每个小方格的每个小方格的边长都是边长都是1 1个单位个单位, ,将将ABCABC平移到平移到DEFDEF的位置的位置, ,下面正确的平下面正确的平移步骤是移步骤是( )( )（A A）先把）先把ABCABC向左平移向左平移5 5个单位个单位, ,再向下平移再向下平移2 2个单位个单位（B B）先把）先把ABCABC向右平移向右平移5 5个单位个单位, ,再向下平移再向下平移2 2个单位个单位（C C）先把）先把ABCABC向左平移向左平移5 5个单位个单位, ,再向上平移再向上平移2 2个单位个单位（D D）先把）先把ABCABC向右平移向右平移5 5个单位个单位, ,再向上平移再向上平移2 2个单位个单位【解析【解析】选选A.A.根据图中的两个三角形的位置关系，可知：先把根据图中的两个三角形的位置关系，可知：先把ABCABC向左平移向左平移5 5个单位个单位, ,再向下平移再向下平移2 2个单位或者先将个单位或者先将ABCABC向向下平移下平移2 2个单位，再向左平移个单位，再向左平移5 5个单位个单位. .3.3.（20122012绍兴中考）在如图所示的平绍兴中考）在如图所示的平面直角坐标系内，画在透明胶片上的面直角坐标系内，画在透明胶片上的ABCDABCD，点，点A A的坐标是（的坐标是（0 0，2 2）现将）现将这张胶片平移，使点这张胶片平移，使点A A落在点落在点AA（5 5，-1-1）处，则此平移可以是）处，则此平移可以是( )( )(A)(A)先向右平移先向右平移5 5个单位，再向下平移个单位，再向下平移1 1个单位个单位(B)(B)先向右平移先向右平移5 5个单位，再向下平移个单位，再向下平移3 3个单位个单位(C)(C)先向右平移先向右平移4 4个单位，再向下平移个单位，再向下平移1 1个单位个单位(D)(D)先向右平移先向右平移4 4个单位，再向下平移个单位，再向下平移3 3个单位个单位【解析【解析】选选B.B.根据根据A A的坐标是（的坐标是（0 0，2 2），点），点AA（5 5，-1-1），横），横坐标加坐标加5 5，纵坐标减，纵坐标减3 3得出先向右平移得出先向右平移5 5个单位，再向下平移个单位，再向下平移3 3个个单位，故选单位，故选B.B.【技巧点拨【技巧点拨】平移变换中的坐标变化的规律平移变换中的坐标变化的规律在平面直角坐标系中，图形向右（左）平移在平面直角坐标系中，图形向右（左）平移m m个单位，则图形上个单位，则图形上各点的纵坐标不变，横坐标加上（或减去）各点的纵坐标不变，横坐标加上（或减去）m m个单位（个单位（m m0 0）；）；图形向上（下）平移图形向上（下）平移n n个单位，则图形上各点的横坐标不变，纵个单位，则图形上各点的横坐标不变，纵坐标加上（或减去）坐标加上（或减去）n n个单位（个单位（n n0 0）. . 旋转及其性质旋转及其性质【例【例2 2】（】（9 9分）（分）（20112011珠海中考）珠海中考）如图，将一个钝角如图，将一个钝角ABCABC（其中（其中ABCABC=120=120）绕点）绕点B B顺时针旋转得顺时针旋转得A A1 1BCBC1 1，使得使得C C点落在点落在ABAB的延长线上的点的延长线上的点C C1 1处，处，连接连接AAAA1 1（1 1）写出旋转角的度数；）写出旋转角的度数；（2 2）求证：）求证：A A1 1AC=CAC=C1 1【规范解答【规范解答】（1 1）ABC=120ABC=120，CBCCBC1 1= =_-ABC-ABC= =_-120-120= =_，2 2分分旋转角为旋转角为_. .3 3分分（2 2）由题意可知：）由题意可知：ABCABCA A1 1BCBC1 1，A A1 1B=B=_，C=C=_，4 4分分由（由（1 1）知，）知，ABAABA1 1= =_，A A1 1ABAB是是_三角形，三角形，5 5分分BAABAA1 1= =_，BAABAA1 1= =_， AAAA1 1_BCBC，7 7分分A A1 1AC=AC=_，A A1 1AC=CAC=C1 19 9分分18018018018060606060ABABCC1 16060等边等边6060CBCCBC1 1C C【自主归纳【自主归纳】旋转的性质旋转的性质（1 1）旋转不改变图形的）旋转不改变图形的_与与_，旋转前后的两个图形，旋转前后的两个图形全等全等. .（2 2）经过旋转，图形上的每个点都绕旋转中心沿相同方向转）经过旋转，图形上的每个点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度动了相同的角度. .（3 3）任意一对对应点到旋转中心的距离）任意一对对应点到旋转中心的距离_. .（4 4）对应线段）对应线段_，对应角，对应角_. .形状形状大小大小相等相等相等相等相等相等【对点训练【对点训练】4.4.如图，将如图，将AOBAOB绕点绕点O O按逆时针方向旋转按逆时针方向旋转4545后得到后得到AOBAOB，若若AOB=15AOB=15，则，则AOBAOB的度数是的度数是( )( )（A A）2525 （B B）3030 （C C）3535 （D D）4040【解析【解析】选选B.B.由题意得由题意得AOA=45AOA=45，AOB=AOB=15AOB=AOB=15，AOB=30AOB=30. .5.5.（20122012宜宾中考）如图，在平面直角坐标系中，将宜宾中考）如图，在平面直角坐标系中，将ABCABC绕绕点点P P旋转旋转180180得到得到DEFDEF，则点，则点P P的坐标为的坐标为_._.【解析【解析】如图，连接如图，连接ADAD，将将ABCABC绕点绕点P P旋转旋转180180得到得到DEF,DEF,点点A A旋转后的对应点为旋转后的对应点为D.D.由题意可知由题意可知A(0,1),D(-2,-3),A(0,1),D(-2,-3),对应点到旋转中心的距离相等，对应点到旋转中心的距离相等，线段线段ADAD的中点坐标即为点的中点坐标即为点P P的坐标，的坐标，点点P P的坐标为的坐标为 即即P(-1,-1).P(-1,-1).2 1 3(,),22答案：答案：(-1,-1)(-1,-1)6.6.（20122012张家界中考）如图，在方格纸中，以格点连线为边张家界中考）如图，在方格纸中，以格点连线为边的三角形叫格点三角形，请按要求完成下列操作：先将格点的三角形叫格点三角形，请按要求完成下列操作：先将格点ABCABC向右平移向右平移4 4个单位得到个单位得到A A1 1B B1 1C C1 1，再将，再将A A1 1B B1 1C C1 1绕点绕点C C1 1旋转旋转180180得到得到A A2 2B B2 2C C2 2. .【解析【解析】如图所示如图所示. .【技巧点拨【技巧点拨】旋转作图的三个步骤旋转作图的三个步骤（1 1）连点：将原图中的一个关键点与旋转中心连接；）连点：将原图中的一个关键点与旋转中心连接；（2 2）旋转角：将（）旋转角：将（1 1）中所连接的线段绕旋转中心沿指定的方）中所连接的线段绕旋转中心沿指定的方向旋转一个旋转角，得到这个关键点的对应点向旋转一个旋转角，得到这个关键点的对应点. .（3 3）连接：重复（）连接：重复（1 1）（）（2 2），将原图中所有关键点的对应点找），将原图中所有关键点的对应点找出来，再按原图中的顺序，依次连接成图出来，再按原图中的顺序，依次连接成图. . 中心对称与中心对称图形中心对称与中心对称图形【例【例3 3】(2011(2011大理中考）如图，下列网格中，每个小方格的大理中考）如图，下列网格中，每个小方格的边长都是边长都是1 1（1 1）分别作出四边形）分别作出四边形ABCDABCD关于关于x x轴轴,y,y轴轴, ,原点的对称图形；原点的对称图形；（2 2）求出四边形）求出四边形ABCDABCD的面积的面积【思路点拨【思路点拨】【自主解答【自主解答】（1 1）（2 2）四边形）四边形ABCDABCD的面积为的面积为确定关键点按照要求找出关键点的对称点连接各个关键点求出面积112(3 13 11 1)2.22 【规律总结【规律总结】作关于原点对称的图形作关于原点对称的图形关于原点对称是以原点为对称中心的中心对称，作其对称图形关于原点对称是以原点为对称中心的中心对称，作其对称图形的方法是作每一个点关于原点的对称点（连接该点与原点的线的方法是作每一个点关于原点的对称点（连接该点与原点的线段，然后延长一倍得另一个端点，即对称点），最后顺次连接段，然后延长一倍得另一个端点，即对称点），最后顺次连接各对称点各对称点. .【对点训练【对点训练】7.7.（20122012淮安中考）下列图形中，中心对称图形是淮安中考）下列图形中，中心对称图形是( )( )【解析【解析】选选D.D.旋转旋转180180后能够与原来的图形重合后能够与原来的图形重合. .8.8.（20122012扬州中考）下列图形中，既是轴对称图形，又是中扬州中考）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是心对称图形的是( )( )（A A）平行四边形）平行四边形 （B B）等边三角形）等边三角形（C C）等腰梯形）等腰梯形 （D D）正方形）正方形【解析【解析】选选D.D.平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形；平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形；等边三角形和等腰梯形是轴对称图形，但不是中心对称图形；等边三角形和等腰梯形是轴对称图形，但不是中心对称图形；正方形既是轴对称图形又是中心对称图形正方形既是轴对称图形又是中心对称图形. .【技巧点拨【技巧点拨】判断中心对称图形的方法判断中心对称图形的方法(1)(1)若图形上的对应点的连线都经过同一个点，并且都被这个点若图形上的对应点的连线都经过同一个点，并且都被这个点平分，则这个图形就是中心对称图形；平分，则这个图形就是中心对称图形；(2)(2)在一个图形上存在一个点（对称中心），这个图形绕该点旋在一个图形上存在一个点（对称中心），这个图形绕该点旋转转180180能与自身重合，这样的图形是中心对称图形能与自身重合，这样的图形是中心对称图形. . 【创新命题【创新命题】旋转与探索题旋转与探索题【例】（【例】（20112011梅州中考）如图梅州中考）如图1 1，已知线段，已知线段ABAB的长为的长为2a2a，点，点P P是是ABAB上的动点（上的动点（P P不与不与A A，B B重合），分别以重合），分别以APAP，PBPB为边向线段为边向线段ABAB的同一侧作正的同一侧作正APCAPC和正和正PBDPBD （1 1）当）当APCAPC与与PBDPBD的面积之和取最小值时，的面积之和取最小值时，AP=_AP=_；（直接写结果）（直接写结果）（2 2）连接）连接AD,BCAD,BC，相交于点，相交于点Q Q，设，设AQC=AQC=，那么，那么的大小是的大小是否会随点否会随点P P的移动而变化？请说明理由；的移动而变化？请说明理由；（3 3）如图）如图2 2，若点，若点P P固定，将固定，将PBDPBD绕点绕点P P按顺时针方向旋转按顺时针方向旋转（旋转角小于（旋转角小于180180），此时），此时的大小是否发生变化？（只需直的大小是否发生变化？（只需直接写出你的猜想，不必证明）接写出你的猜想，不必证明）【思路点拨【思路点拨】（1 1）当）当P P是是ABAB的中点时，两个三角形的面积的和的中点时，两个三角形的面积的和最小最小. .可以设可以设APAP的长是的长是x x，然后利用，然后利用x x表示出两个三角形的面积表示出两个三角形的面积的和，利用二次函数的性质即可求得的和，利用二次函数的性质即可求得x x的值；的值；（2 2）首先证得）首先证得APDAPDCPBCPB，然后根据三角形的外角的性质，然后根据三角形的外角的性质即可求解；即可求解；（3 3）旋转的过程中，（）旋转的过程中，（2 2）中得两个三角形的全等关系不变，）中得两个三角形的全等关系不变，因而角度不会变化因而角度不会变化【自主解答【自主解答】（1 1）a a；（2 2）的大小不会随点的大小不会随点P P的移动而变化，的移动而变化，理由：理由：APCAPC是等边三角形，是等边三角形，PA=PCPA=PC，APC=60APC=60，BDPBDP是等边三角形，是等边三角形，PB=PDPB=PD，BPD=60BPD=60，APC=BPDAPC=BPD，APD=CPBAPD=CPB，APDAPDCPBCPB，PAD=PCB.PAD=PCB.QAP+QAC+ACP=120QAP+QAC+ACP=120，QCP+QAC+ACP=120QCP+QAC+ACP=120，AQC=180AQC=180-120-120=60=60. .（3 3）此时）此时的大小不会发生改变，始终等于的大小不会发生改变，始终等于6060【创新点拨【创新点拨】旋转探索题的类型旋转探索题的类型旋转与探索题的结合成为近年来中考的热点，一般情况下这类旋转与探索题的结合成为近年来中考的热点，一般情况下这类题目不少于两个过程，第一个过程是两图形在某一特殊位置下，题目不少于两个过程，第一个过程是两图形在某一特殊位置下，探索线段（角）的关系，第二个过程是指一个图形绕着某个点探索线段（角）的关系，第二个过程是指一个图形绕着某个点作旋转，然后再探讨第一个过程中线段（角）的关系是否发生作旋转，然后再探讨第一个过程中线段（角）的关系是否发生变化变化【即时训练【即时训练】（20122012南充中考）在南充中考）在RtRtPOQPOQ中，中，OP=OQ=4,MOP=OQ=4,M是是PQPQ的中点，把一三角尺的中点，把一三角尺的直角顶点放在点的直角顶点放在点M M处，以处，以M M为旋转中为旋转中心，旋转三角尺，三角尺的两直角边心，旋转三角尺，三角尺的两直角边与与POQPOQ的两直角边分别交于点的两直角边分别交于点A A，B B，(1)(1)求证：求证：MA=MBMA=MB；(2)(2)连接连接ABAB，探究：在旋转三角尺的过程中，探究：在旋转三角尺的过程中，AOBAOB的周长是否的周长是否存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由. .【解析【解析】(1)(1)连接连接MO.MO.在在RtRtPOQPOQ中，中，POPOOQ,PMOQ,PMMQ.MQ.MOMOMQMQPM,OMQPM,OMQ9090，方法一方法一:POM:POMQQ4545. .AMOAMOOMBOMBQMBQMBOMBOMB9090, ,AMOAMOBMQ,BMQ,OAMOAMQBM,MAQBM,MAMB.MB.方法二方法二:P:PMOBMOB4545. .PMAPMAAMOAMOOMBOMBAMOAMO9090, ,PMAPMAOMB,OMB,PMAPMAOMB,MAOMB,MAMB.MB.(2) (2) 由（由（1 1）知）知OAMOAMQBM, AO=QBQBM, AO=QB，设，设AOAO为为x x，则，则QB =xQB =x，BO=4-xBO=4-x，AOBAOB的周长的周长=x+4-x+=x+4-x+2x2x2 2-8x+16-8x+16有最小值，最小值为有最小值，最小值为AOBAOB的周长最小值为的周长最小值为222x(4x)42x8x16，24acb1286484a8 ，42 2.【备考建议【备考建议】解决旋转与探索题的方法解决旋转与探索题的方法旋转与探索题解决的方法是先探索特殊图形的情况，通过特殊旋转与探索题解决的方法是先探索特殊图形的情况，通过特殊图形的规律探索旋转后的图形的情况，它是一种由特殊到一般图形的规律探索旋转后的图形的情况，它是一种由特殊到一般的探索过程，在探索的过程中常见的有两种情况，一种是过程的探索过程，在探索的过程中常见的有两种情况，一种是过程性的模仿，一种是方法模仿性的模仿，一种是方法模仿. .
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