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同学们，我们人个体学习知识的过程是重复人类历史上人类如同学们，我们人个体学习知识的过程是重复人类历史上人类如何学习认识知识的过程。比如我们学习数学遇到的问题就是人类历何学习认识知识的过程。比如我们学习数学遇到的问题就是人类历史上数学家认识研究数学所遇到的问题。史上数学家认识研究数学所遇到的问题。 历史上数学家如何学习认识研究导数，为什么要发明导数，我历史上数学家如何学习认识研究导数，为什么要发明导数，我们从两个数学家说起。们从两个数学家说起。 笑话 许超许超: 高考数学卷子我看了！其实也没多难，导数那一题运用高考数学卷子我看了！其实也没多难，导数那一题运用拉格朗日中值定理和佩亚诺余项的泰勒公式就可以解决！解析几何拉格朗日中值定理和佩亚诺余项的泰勒公式就可以解决！解析几何那题只要在椭圆上求曲线积分，然后再椭圆包括的区域内求二重积那题只要在椭圆上求曲线积分，然后再椭圆包括的区域内求二重积分就可以解决！立体几何就更简单了！直接求三重积分，立刻解决！分就可以解决！立体几何就更简单了！直接求三重积分，立刻解决！至于数列那一题，先用狄利克雷充分条件证明通项公式再间断点收至于数列那一题，先用狄利克雷充分条件证明通项公式再间断点收敛于左极限和右极限和的一半，再进行傅里叶变换，利用拉普拉斯敛于左极限和右极限和的一半，再进行傅里叶变换，利用拉普拉斯方程，求出方程，求出N阶导数，再求和，取极限就可以解决了！阶导数，再求和，取极限就可以解决了！ 牛顿：影响人类历史的牛顿：影响人类历史的100位伟人，牛顿排名第二。位伟人，牛顿排名第二。 艾萨克艾萨克牛顿爵士是人类历史上出现过的最伟大、最有影响的科牛顿爵士是人类历史上出现过的最伟大、最有影响的科学家，同时也是物理学家、数学家和哲学家，晚年醉心于炼金术和学家，同时也是物理学家、数学家和哲学家，晚年醉心于炼金术和神学。他在神学。他在1687年年7月月5日发表的不朽著作日发表的不朽著作自然哲学的数学原理自然哲学的数学原理里用数学方法阐明了宇宙中最基本的法则里用数学方法阐明了宇宙中最基本的法则万有引力定律和三大万有引力定律和三大运动定律。这四条定律构成了一个统一的体系，被认为是运动定律。这四条定律构成了一个统一的体系，被认为是“人类智人类智慧史上最伟大的一个成就慧史上最伟大的一个成就”，由此奠定了之后三个世纪中物理界的，由此奠定了之后三个世纪中物理界的科学观点，并成为现代工程学的基础。牛顿为人类建立起科学观点，并成为现代工程学的基础。牛顿为人类建立起“理性主理性主义义”的旗帜，开启工业革命的大门。牛顿逝世后被安葬于威斯敏斯的旗帜，开启工业革命的大门。牛顿逝世后被安葬于威斯敏斯特大教堂，成为在此长眠的第一个科学家。特大教堂，成为在此长眠的第一个科学家。 莱布尼兹：影响人类的莱布尼兹：影响人类的100位伟人中，无莱布尼兹排名，但是：位伟人中，无莱布尼兹排名，但是： 戈特弗里德戈特弗里德威廉威廉莱布尼茨（莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz，1646年年1716年），德国哲学家、数学家。涉及的领域及法学、力学、光年），德国哲学家、数学家。涉及的领域及法学、力学、光学、语言学等学、语言学等40多个范畴，被誉为十七世纪的亚里士多德。和牛顿多个范畴，被誉为十七世纪的亚里士多德。和牛顿先后独立发明了微积分。先后独立发明了微积分。 历史上牛顿与莱布尼兹争论谁是微积分的发明人，牛顿赢，但历史上牛顿与莱布尼兹争论谁是微积分的发明人，牛顿赢，但历史上是两人同时发明。这次争论让英国的数学倒退一个世纪。历史上是两人同时发明。这次争论让英国的数学倒退一个世纪。 牛顿、爱因斯坦有自闭症即阿斯伯格症。牛顿、爱因斯坦有自闭症即阿斯伯格症。 在发明微积分前已经有笛卡尔的解析几何。但在生活生产在发明微积分前已经有笛卡尔的解析几何。但在生活生产实践中遇到一些问题，以往的数学知识无法解决，必须要有新实践中遇到一些问题，以往的数学知识无法解决，必须要有新方法来解决。比如：方法来解决。比如： 1 1、已知物体运动的位移是关于时间的函数、已知物体运动的位移是关于时间的函数, ,求物体在求物体在任意时刻的速度与加速度等任意时刻的速度与加速度等; ; 2 2、求曲线的切线、求曲线的切线; ; 3 3、求已知函数的最大值与最小值、求已知函数的最大值与最小值; ; 4 4、求长度、面积、体积和重心等。、求长度、面积、体积和重心等。以上有物理问题和几何问题，牛顿从物理角度发明微积分，莱以上有物理问题和几何问题，牛顿从物理角度发明微积分，莱布尼兹从几何角度发明微积分。布尼兹从几何角度发明微积分。 学习微积分先从哪里开始？学习微积分先从哪里开始？ 先学习导数，要学习导数先学习什先学习导数，要学习导数先学习什么？那就是平均变化率。从平均变化率我们知道导数是个什么东西。么？那就是平均变化率。从平均变化率我们知道导数是个什么东西。 对于四个问题通过具体例子来说明如果函数是二次那可以求最对于四个问题通过具体例子来说明如果函数是二次那可以求最大值、最小值、切线、面积（旧方法只可以求直线围成的面积，二大值、最小值、切线、面积（旧方法只可以求直线围成的面积，二次曲线围成的面积原来方法就不行），如果大于二次那原来方法就次曲线围成的面积原来方法就不行），如果大于二次那原来方法就力不从心要发明新方法，于是牛顿、莱布尼兹发明了微积分。力不从心要发明新方法，于是牛顿、莱布尼兹发明了微积分。导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。 导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度问题问题2 高台跳水高台跳水 在在高台跳水运动中高台跳水运动中,运动员相对于水面的高运动员相对于水面的高度度h(h(单位：米单位：米) )与起跳后的时间与起跳后的时间t t（单位：秒）存（单位：秒）存在函数关系在函数关系 h(th(t)=-4.9t)=-4.9t2 2+6.5t+10.+6.5t+10. 如何用运动员在某些时如何用运动员在某些时 间段内的平均速度粗略间段内的平均速度粗略 地描述其运动状态地描述其运动状态? ?hto请计算00.52:ttv 和1时的平均速度htoh(t)=-4.9t2+6.5t+10(0.5)(0)00.54.05( / )0.5 0(2)(1)28.2( / )2 1hhtvm shhtvm s 在这段时间里，在1这段时间里， 计算运动员在计算运动员在 这段时间里的平均速度这段时间里的平均速度,并思考下面的问题并思考下面的问题:65049t 探究探究:(1) 运动员在这段时间里是静止的吗运动员在这段时间里是静止的吗?(2) 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?65()(0)1049hh0hvt 在高台跳水运动中在高台跳水运动中,平均速度不能准确反映平均速度不能准确反映他在这段时间里运动状态他在这段时间里运动状态.平均变化率定义平均变化率定义: 若设若设x=x2-x1, f=f(x2)-f(x1) 则平均变化率为则平均变化率为121)()f xxx2f(xfx121)()f xxx2f(x这里这里x看作是对于看作是对于x1的一个的一个“增量增量”可用可用x1+x代替代替x2同样同样f=y=f(x2)-f(x1)l上述问题中的变化率可用式子上述问题中的变化率可用式子 表示表示称为函数称为函数f(x)从从x1到到x2的的平均变化率平均变化率思考思考? 观察函数观察函数f(x)的图象的图象平均变化率平均变化率表示什么表示什么?121)()f xyxxx2f(xOABxyY=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1=xf(x2)-f(x1)=y直线直线AB的的斜率斜率 有的同学学到这里可能会疑问，觉得学习平均变化率好像什么有的同学学到这里可能会疑问，觉得学习平均变化率好像什么也没学就是以前的直线的斜率且仿佛回到了以前且觉得还把简单问也没学就是以前的直线的斜率且仿佛回到了以前且觉得还把简单问题复杂化。题复杂化。 其实如果再学下去，就会峰回路转，焕然一新，出现新东西就其实如果再学下去，就会峰回路转，焕然一新，出现新东西就是导数。是导数。小结：小结： 1.函数的平均变化率函数的平均变化率( )f xx121)()f xxx2f(xv2.求函数的平均变化率的步骤求函数的平均变化率的步骤:(1)求函数的增量求函数的增量f=y=f(x2)-f(x1);(2)计算计算平均变化率平均变化率fx121)()f xxx2f(x3.平均变化率是曲线陡峭程度的平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化数量化”，是一种粗略，是一种粗略的刻画的刻画-导数导数导数的定义导数的定义:函数函数 y = f (x) 在在 x = x0 处的瞬时变化率是处的瞬时变化率是xyxxfxxfxx lim )()(lim0000称为函数称为函数 y = f (x) 在在 x = x0 处的处的导数导数, 记作记作. )()(lim)(0000 xxfxxfxfx)(0 xf 或或 , 即即0|xxy;)().1 (000其导数值一般也不相同的值有关，不同的与xxxf 的具体取值无关。与 xxf)(0一概念的两个名称。瞬时变化率与导数是同).2( 导数的具体模型就是已知位移与时间的函数关系求瞬时速度。导数的具体模型就是已知位移与时间的函数关系求瞬时速度。P1P2P3P4PTTTTPP xfy xfy xfy xfy OyxOyxOyxOyx211 .图图 1 2 3 4 ?,.什么什么是是趋势趋势化化变变的的割线割线时时趋近于点趋近于点沿着曲线沿着曲线当点当点图图如如察察观观nnnnPPxfxPxfnxfxP004321211 yxo)(xfy P相切相交再来一次PPnoxyy=f(x)割割线线切线切线T当点当点Pn沿着曲线无限接近点沿着曲线无限接近点P即即x0时时,割线割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位趋近于确定的位置，这个确定位置的直线置的直线PT称为点称为点P处的处的切线切线.?同同过过的的切切线线定定义义有有什什么么不不此此处处切切线线定定义义与与以以前前学学切线切线Pl 能否将圆的切线的概念推广为一般曲线的切线：能否将圆的切线的概念推广为一般曲线的切线：直线与曲线有唯一公共点时，直线叫曲线过该点的直线与曲线有唯一公共点时，直线叫曲线过该点的切线？如果能，请说明理由；如果不能，请举出反切线？如果能，请说明理由；如果不能，请举出反例。例。不能不能xyo直线与圆有惟一公共点时，直线与圆有惟一公共点时，直线叫做圆的切线。直线叫做圆的切线。所以，不能用直线与曲线的公共点的个所以，不能用直线与曲线的公共点的个数来定义曲线的切线。数来定义曲线的切线。 圆的切线定义并不适圆的切线定义并不适用于一般的曲线。用于一般的曲线。 通过通过逼近逼近的方法，将的方法，将割线趋于的确定位置的割线趋于的确定位置的直线直线定义为切线定义为切线（交点（交点可能不惟一）可能不惟一）适用于各适用于各种曲线。所以，这种定种曲线。所以，这种定义才真正反映了切线的义才真正反映了切线的直观本质。直观本质。 2l1lxyABCxoyy=f(x)P(x0,y0)Q(x1,y1)Mxy割线与切线的斜率有何关系呢？割线与切线的斜率有何关系呢？xxfxxfkPQ)()(xy00 即：当即：当x0时，割线时，割线PQ的的斜率的极限斜率的极限，就是曲线，就是曲线在点在点P处的处的切线的斜率切线的斜率，xxfxxfxyxx)()(k0000limlim所以： 0 xf 函数函数 y=f(x)在点在点x0处的导数的几何意义，就是曲线处的导数的几何意义，就是曲线 y=f(x)在点在点P(x0 ,f(x0)处的切线的斜率，即曲线处的切线的斜率，即曲线y=f(x)在点在点P(x0 ,f(x0) 处的切线的斜率是处的切线的斜率是 .)(0 xf 故曲线故曲线y=f(x)在点在点P(x0 ,f(x0)处的切线方程是处的切线方程是:)()(000 xxxfxfy 导数的几何意义导数的几何意义 结论：根据导数的几何意义，结论：根据导数的几何意义， 当某点处导数大于零时，说明在这点的附近曲线当某点处导数大于零时，说明在这点的附近曲线是上升的，即函数在这点附近是单调递增；是上升的，即函数在这点附近是单调递增； 当某点处导数小于零时，说明在这点的附近曲线当某点处导数小于零时，说明在这点的附近曲线是下降的，即函数在这点附近是单调递减；是下降的，即函数在这点附近是单调递减； 当某点处导数等于零时，说明是函数的最值点。当某点处导数等于零时，说明是函数的最值点。 这是导数又一个非常重要的应用，用导数判断函数的单调性结这是导数又一个非常重要的应用，用导数判断函数的单调性结论是简单明了通俗易懂，这就是导数的伟大魅力。比如判断论是简单明了通俗易懂，这就是导数的伟大魅力。比如判断y=x2 、y=x3 的单调性的单调性,要复习高一的证法，再讲解导数的证法，高一证法同要复习高一的证法，再讲解导数的证法，高一证法同学早已忘光。通过比较知道导数的巨大魅力，导数是项伟大的发明，学早已忘光。通过比较知道导数的巨大魅力，导数是项伟大的发明，如爱因斯坦的狭义、广义相对论。证明如爱因斯坦的狭义、广义相对论。证明y=x3 的单调性是某年的高考的单调性是某年的高考题，得分很低。题，得分很低。 有的同学可能觉得求导数每次按定义求运算量很大，其实同学有的同学可能觉得求导数每次按定义求运算量很大，其实同学们学到以后会发现这些有共同的公式去套，有人专门解出具有普遍们学到以后会发现这些有共同的公式去套，有人专门解出具有普遍意义的函数的导数，让人们只是套一下解题。意义的函数的导数，让人们只是套一下解题。例例1:2210(1)1 (11)|limxxxyx 解：22(1)yx切线方程：20 xy即：求曲线求曲线y=f(x)=x2+1在点在点P(1,2)处的切线方程处的切线方程.导数的几何意义的应用导数的几何意义的应用202lim2xxxx 注：旧方法也可以求，且新方法与旧方法相比还不显示出导数注：旧方法也可以求，且新方法与旧方法相比还不显示出导数的优越性。但以下一题就可以显示出导数的优越性，这一题旧方法的优越性。但以下一题就可以显示出导数的优越性，这一题旧方法已经是力不从心无可救药了，必须要发明新方法即导数的方法。已经是力不从心无可救药了，必须要发明新方法即导数的方法。练习练习:如图如图,已知曲线已知曲线 , 求求: (1)点点P处的切线的斜率处的切线的斜率; (2)点点P处的切线方程处的切线方程.)38, 2(313Pxy上一点 yx-2-112-2-11234OP313yx31(1),3yx解：. 42|22 xy即点即点P处的切线的斜率等于处的切线的斜率等于4. (2)在点在点P处的切线方程是处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即即12x-3y-16=0.330011()33limlimxxxxxyyxx 2230133 ()()lim3xxxxxxx 22201lim33() .3xxx xxx 这是导数这是导数非常非常非常非常小的应用。小的应用。原来方法原来方法没有效果没有效果了，必须了，必须发明新方发明新方法，那就法，那就是导数是导数11.( ),( )0;2.( ),( );3.( )sin,( )cos;4.( )cos,( )sin;5.( ),( )ln(0);6.( ),( );17.( )log,( )(0,1);ln8.nnxxxxafxcfxfxxfxnxfxxfxxfxxfxxfxafxaa afxefxefxxfxaaxa 公 式若则公 式若则公 式若则公 式若则公 式若则公 式若则公 式若则且公 式若1( )ln,( );fxxfxx则基本初等函数的导数公式注意：几个其他的公式只须知道结论，推导过程超标不做要求，注意：几个其他的公式只须知道结论，推导过程超标不做要求，大学里有学。有了公式我们求函数导数时不必每次都根据定义大学里有学。有了公式我们求函数导数时不必每次都根据定义来求，根据定义运算量大，我们只须根据公式套一下就可求出来求，根据定义运算量大，我们只须根据公式套一下就可求出
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