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.1.给出下列命题：若 与 共线， 与 共线，则 与 共线；向量 ， 共线就是它们所在的直线重合；零向量没有确定的方向；若，则存在唯一的实数 使得其中错误命题的序号是abbcacabababP.中向量 为零向量时结论不一定成立，所以错误；中向量的共线与直线的共线、不一样，所以错误；正确；中需保证 不为零向量才成立，所以错误所以错误命题序号为解析:bbANuuu r2.1()2ABCDMNBCCDABBDBC在四面体中，、 分别是、的中点，则uuu ruuu ruuu r1()2ABBDBCABBNANuuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu r解析：33.GABCOOAOBOCOGVuuvuuu vuuu vuuu v已知点 是的重心， 是空间任意一点若则 的值是+=33BCDOA ODOAOBOCOG设的中点为 ，则故 =3解析：uur uuu ruuvuuu vuuu vuuu r657(21,3)( 1,42)(7,5.)4 已知向量，若 ， ， 三向量共面，则实数 等于abcabc(7,5)2,4,32177273345.732657ukukukkuukkukkuuuk解依题意，存在实数 ， ，使得，即，所以，解:得析cab60(25,1)(22,4)(14,15).ABCABACuuu ruuu r已知点，则向量与的夹角为0,3,31,1,031cos.23 22060 .ABAB ACAB ACAB ACAB ACAB AC uuu ruuu r uuu ruuu ruuu ruuu r uuu ruuu ruuu ruuu ruuu r因为，所以， 又， ，所以， 解析:向量的线性运算向量的线性运算111111122.ABC DABCDMACCMMANADA NNDABADAAMN 在平行六面体中，在上，且， 在上，且设，试用 ， ， 表示abbabc【例1】1.,11331 = 3 ANMNMAANACABADMAACANADDNADNDADAD 连结，则又所以由已知，abab 2112331 3MNMAAN 于是cbabcbabc【解析】 用已知向量表示未知向量，要结合图形，以图形为指导是解题的关键根据图形，联想相关的运算法则和公式，就近表示所需向量对照目标，对不符合目标要求的向量进行适当调整，直到所有向量都符合目标要求111111.ABC DABCDACBDMABADAAB M 在长方体中，与的交点为设，试用 ， ，表示abcabc111 21 ()21 211 .22B MB BBMBDADAB ccbacabc1【变式练习 】【解析】空间向量的数量积空间向量的数量积60123r 已知向量 ， ， 两两夹角都是，且，求向量的长和 与 ， ， 的夹角的余弦值abcabcabcrabc2222222 | 222601332525.，因为向量 ， ， 两两夹角都是，所以，所以，即的长度为rabcabcabcabacbcabcabacbcrrabc【例2】【解析】222728272772cos51084cos,1052792cos1510又，所以 ， ， ， ， raabcaaabacrbabcbabbbcrcabccacbccr arar ar brbr br crcr c 向量数量积定义、定义的变形式和基本性质是求向量模和夹角的计算公式，要理解记忆并且正确运用.OABCOABCOBACOCAB 已知空间四边形中，求证：00()0,()0,0.OABC OBACOABCOBACOAOCOBOBOCOAOAOCOBOCOCABOCOBOAOC 由已知,得，所以， ，所以所以所以0.,.OBOCOAOCABOCAB 所以所以2【变式练习 】【解析】 【例3】 在空间直角坐标系中，BC=2，原点O是BC的中点, 设点A( , ,0 )，点D在平面yOz内，且BDC=90,DCB=30. (1)求向量OD的坐标； (2)设向量AD与BC的夹角为, 求cos的值.向量的坐标运算向量的坐标运算1232 1.9030213.3sin30211cos6012213(0)22DDEBCEBDCBDCDCBBCBDCDDECDOEOBBDD V如图，过 作，垂足为在中，由， 得，所以， ， 所以 点的坐标为 ，解析：， 13(0)223 12(0)(01,0)0,1,022(1 )0,2,010cos.5ODOAOBOCADODOABCOCOBAD BCADBC uuu ruuruuu ruuu ruuu ruuu ruuruuu ruuu ruuu ruuu r uuu ruuu ruuu r即向量，因为，所以， ， ，故 向量的坐标运算为向量的运算及夹角、距离的研究提供了运算基础，关键是确定点和向量的坐标.本题(1)利用向量的坐标的定义，求D点的坐标；(2)利用数向量的量积，求两向量的夹角. 2,0,21,1,23,0,4.122ABCABACkkk 已知空间三点、，设，求 ， 的夹角 的余弦值；若向量，求 的值abababab3【变式练习 】 2211,1,22,0,21,1,03,0,42,0,21,0,2110cos10252(,0)1,0,2(1,2)2(,0)2,0,4(24)(1,2) (24)12802ABACa babkkkkkkkkkkkkkkkkkk 因为，所以因为， ，解析：，所以， ，即ababab51002.2kkk ，解得或31113.313aba ba bb ca cOAOBOCODOAOBOCABCD 有下列命题：若向量 ， 与空间任意向量不能构成基底，则；若，则；若， ， 是空间的一个基底，且，则 ， ， ， 四点共线；若向量，是空间的一个基底，则向量 ， ， 也是空间的一个基底其中正确命题有个abbccaabc32162 ,1,3(12 ,9).2.xyxy已知向量，若，则，abab 234,234_ 3_ . OABCDOAxBOyCOzDOxyz 已知 是空间任意一点， 、 、 、 四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且则2x3y4z23412341.OAOBOCODxyzxyz 因为，所以，所以1【解析】2.4OABCMNOABCGMNMGGNOAa OBb OCc 三棱锥中，、 分别是、的中点，点 在线段上，且设，试用 ， ， 表示向量abc122312()2312 11 (C)23 22111111.233633OGOMMGOAMNONOMOBOOA 解析：aaabcaabc 0,2,32,1,6(11,5)12.35ABCAB ACAB AC 已知点，为空间三点求以， 为邻边的平行四边形的面积；若 分别与向量， 垂直，且，求向量 的坐标nnn 1( 21,3)(13,2)|14 |142361cos21414+3sin.2| |sin7 37 3.ABACABACAB ACCABABACCABSABACCABAB AC 由题意，得，则，所以，故所以，即以， 为邻边的平行四边形的面积为解析：22223032031111.111,1,1( 111)xyzxyzxyzxxyyzz 由已知得，解得或所以或， ， nn 1.空间向量的运算 空间向量的运算是空间向量的坐标运算的基础，如证明直线与平面平行时，先在平面内找到两个向量，通过这两个向量根据向量垂直的数量积运算关系求出平面的法向量，再证法向量与已知直线的方向向量垂直. 2.空间向量的坐标运算 根据几何条件，分析要研究的问题需要用什么向量知识来解决，如是平行或垂直或求角，同时，针对目标建立空间直角坐标系，并明确哪些向量是可用的，把需要的向量的坐标找出来；可用向量是否是已知向量，若不是，看它们最易用哪些已知向量去表示；对表示出来的所有向量进行合理的运算，最终得到所需要的结论.
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