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第九第九节节离散离散型随型随机变机变量的量的均值均值与方与方差、差、正态正态分布分布( (理理) )抓抓 基基 础础明明 考考 向向提提 能能 力力教教 你你 一一 招招我我 来来 演演 练练第十第十章章概率概率( (文文科科) )计数计数原理、原理、 概率概率 ( (理理科科) ) 备考方向要明了备考方向要明了考考 什什 么么1.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念，理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念， 会求简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些会求简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些 实际问题实际问题2.利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲 线所表示的意义线所表示的意义.怎怎 么么 考考 从高考内容上来看，离散型随机变量的均值，正态从高考内容上来看，离散型随机变量的均值，正态分布是命题的热点，题型主要是解答题，主要通过设置分布是命题的热点，题型主要是解答题，主要通过设置密切贴近现实生活的情境，考查概率思想的应用意识和密切贴近现实生活的情境，考查概率思想的应用意识和创新意识，难度中等创新意识，难度中等.一、离散型随机变量的均值与方差一、离散型随机变量的均值与方差1设随机变量设随机变量X的可能取值为的可能取值为a1，a2，ar，取，取ai的概的概 率为率为pi(i1,2，r)，即，即X的分布列为的分布列为P(Xai)pi(i 1,2，r)3方差：方差： 设设X是一个离散型随机变量，是一个离散型随机变量， 是是(XEX)2的的 期望，称之为随机变量期望，称之为随机变量X的方差，记为的方差，记为DX.方差越小，方差越小， 则随机变量的取值就越则随机变量的取值就越 在其均值周围；反之，方在其均值周围；反之，方 差越大，则随机变量的取值就越差越大，则随机变量的取值就越 E(XEX)2集中集中分散分散xu 答案：答案： C2.设两个正态分布设两个正态分布N(1， )(10)和和N (2， )(20)的密度函数图像如图的密度函数图像如图 所示，则有所示，则有 () A12，12 B12，12 C12，12 D12，122122答案：答案： A答案：答案： A4有一批产品，其中有有一批产品，其中有12件正品和件正品和4件次件次品，有放回地任取品，有放回地任取3件，若件，若X表示取到次品表示取到次品的件数，则的件数，则DX_.5(教材习题改编教材习题改编)有有10件产品，其中件产品，其中3件是次品，从件是次品，从中任取两件若中任取两件若X表示取到次品的个数则表示取到次品的个数则E(X)_.1均值与方差的作用均值与方差的作用均值是随机变量取值的平均值，常用于对随机变量平均值是随机变量取值的平均值，常用于对随机变量平均水平的估计，方差反映了随机变量取值的稳定与波均水平的估计，方差反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度，常用于对随机变量稳定于均动、集中与离散的程度，常用于对随机变量稳定于均值情况的估计方差越大表明平均偏离程度越大，说值情况的估计方差越大表明平均偏离程度越大，说明随机变量取值越分散反之，方差越小，随机变量明随机变量取值越分散反之，方差越小，随机变量的取值越集中的取值越集中精析考题精析考题例例1(2011湖南高考湖南高考)某商店试销某种商品某商店试销某种商品20天，获天，获得如下数据：得如下数据：日销售量日销售量(件件)0123频数频数1595试销结束后试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至件，则当天进货补充至3件，否件，否则不进货，将频率视为概率则不进货，将频率视为概率(1)求当天商店不进货的概率；求当天商店不进货的概率；(2)记记X为第二天开始营业时该商品的件数，求为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列的分布列和数学期望和数学期望巧练模拟巧练模拟(课堂突破保分题，分分必保！课堂突破保分题，分分必保！)答案：答案： B2(2012郑州联考郑州联考)2011年深圳大运会，某运动项目年深圳大运会，某运动项目 设置了难度不同的甲、乙两个系列，每个系列都有设置了难度不同的甲、乙两个系列，每个系列都有K 和和D两个动作，比赛时每位运动员自选一个系列完两个动作，比赛时每位运动员自选一个系列完 成，两个动作得分之和为该运动员的成绩假设每成，两个动作得分之和为该运动员的成绩假设每 个运动员完成每个系列中的两个动作的得分是相互个运动员完成每个系列中的两个动作的得分是相互 独立的，根据赛前训练统计数据，某运动员完成甲独立的，根据赛前训练统计数据，某运动员完成甲 系列和乙系列的情况如下表：系列和乙系列的情况如下表：现该运动员最后一个出场，其之前运动员的最高得分为现该运动员最后一个出场，其之前运动员的最高得分为118分分(1)若该运动员希望获得该项目的第一名，应选择哪个系若该运动员希望获得该项目的第一名，应选择哪个系列，说明理由，并求其获得第一名的概率；列，说明理由，并求其获得第一名的概率；(2)若该运动员选择乙系列，求其成绩若该运动员选择乙系列，求其成绩X的分布列及其数的分布列及其数学期望学期望EX冲关锦囊冲关锦囊1求离散型随机变量的均值关键是先求出随机变量的分求离散型随机变量的均值关键是先求出随机变量的分布列，然后根据均值定义求解布列，然后根据均值定义求解2若随机变量服从二项分布，即若随机变量服从二项分布，即XB(n，p)可直接使可直接使用公式用公式EXnp求解，可不写出分布列求解，可不写出分布列3注意运用均值的线性运算性质即注意运用均值的线性运算性质即Yaxb则则E(Y)aEXb.精析考题精析考题例例2(2011贵阳模拟贵阳模拟)有甲、乙两个建材厂，都想投标有甲、乙两个建材厂，都想投标参加某重点建设，为了对重点建设负责，政府到两建材参加某重点建设，为了对重点建设负责，政府到两建材厂抽样检查，他们从中各抽取等量的样品检查它们的抗厂抽样检查，他们从中各抽取等量的样品检查它们的抗拉强度指标，其分布列如下：拉强度指标，其分布列如下：X8910P0.20.60.2Y8910P0.40.20.4其中其中X和和Y分别表示甲、乙两厂材料的抗拉强度，在使用分别表示甲、乙两厂材料的抗拉强度，在使用时要求选择较高抗拉强度指数的材料，越稳定越好试时要求选择较高抗拉强度指数的材料，越稳定越好试从期望与方差的指标分析该用哪个厂的材料从期望与方差的指标分析该用哪个厂的材料自主解答自主解答E(X)80.290.6100.29，D(X)(89)20.2(99)20.6(109)20.20.4；E(Y)80.490.2100.49；D(Y)(89)20.4(99)20.2(109)20.40.8.由此可知，由此可知，E(X)E(Y)9，D(X)D(Y)，从而两厂材料，从而两厂材料的抗拉强度指数平均水平相同，但甲厂材料相对稳定，应的抗拉强度指数平均水平相同，但甲厂材料相对稳定，应选甲厂的材料选甲厂的材料3(2011衢州模拟衢州模拟)已知随机变量已知随机变量XY8，若，若XB(10， 0.6)，则，则EY，DY分别是分别是 () A6和和2.4B2和和2.4 C2和和5.6 D6和和5.6解析：解析：由已知随机变量由已知随机变量XY8，所以有，所以有Y8X.因此，求得因此，求得EY8EX8100.62，DY(1)2DX100.60.42.4.答案：答案：B4(2011盐城月考盐城月考)袋中有相同的袋中有相同的5个球，其中个球，其中3个红个红 球，球，2个黄球，现从中随机且不放回地摸球，每次摸个黄球，现从中随机且不放回地摸球，每次摸 1个，当两种颜色的球都被摸到时，即停止摸球，记个，当两种颜色的球都被摸到时，即停止摸球，记 随机变量随机变量X为此时已摸球的次数，求：为此时已摸球的次数，求： (1)随机变量随机变量X的概率分布列：的概率分布列： (2)随机变量随机变量X的数学期望与方差的数学期望与方差冲关锦囊冲关锦囊1DX表示随机变量表示随机变量X对对EX的平均偏离程度；的平均偏离程度； DX越大表明平均偏离程度越大，说明越大表明平均偏离程度越大，说明X的取值越分的取值越分 散，反之散，反之DX越小，越小，X的取值越集中的取值越集中2若若XB(n，p)，则，则DXnp(1p)可直接用不必求可直接用不必求EX 与分布列与分布列.精析考题精析考题例例3 (2011湖北高考湖北高考)已知随机变量已知随机变量X服从正态分布服从正态分布N(2，2)，则，则P(X4)0.8，则，则P(0X2)()A0.6 B0.4C0.3 D0.2答案答案C巧练模拟巧练模拟(课堂突破保分题，分分必保！课堂突破保分题，分分必保！)5(2011郑州第二次质检郑州第二次质检)已知随机变量已知随机变量X服从正态分布服从正态分布 N(1，2)，P(X4)0.84，则，则P(X2)() A0.16 B0.32 C0.68 D0.84解析：解析：X服从正态分布服从正态分布N(1，2)，P(X4)0.84，P(X2)P(X4)1P(X4)0.16.答案：答案：A6(2012抚顺模拟抚顺模拟)设随机变量设随机变量XN(1,4)，若，若P(Xab) P(Xab)，则实数，则实数a的值为的值为_冲关锦囊冲关锦囊 关于正态总体在某个区间内取值的概率求法关于正态总体在某个区间内取值的概率求法(1)熟记熟记P(X)，P(2X2)， P(3X3)的值；的值；(2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为轴之间面积为1. 正态曲线关于直线正态曲线关于直线x对称，从而在关于对称，从而在关于x对称的对称的 区间上概率相等区间上概率相等 P(Xa)1P(Xa)，P(Xa)P(Xa)解题样板解题样板概率统计解答题的规范指概率统计解答题的规范指导导考题范例考题范例(12分分)(2011重庆高考重庆高考)某市公租房的房源位于某市公租房的房源位于A、B、C三个片区设每位申请人只申请其中一个片区的房源，三个片区设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的求该市的任且申请其中任一个片区的房源是等可能的求该市的任4位申请人中：位申请人中：(1)恰有恰有2人申请人申请A片区房源的概率；片区房源的概率；(2)申请的房源所在片区的个数申请的房源所在片区的个数X的分布列与期望的分布列与期望高手点拨高手点拨 本题主要考查了独立重复试验事件的概率及随机变量的本题主要考查了独立重复试验事件的概率及随机变量的期望求法，解答本题时易忽视以下几点：期望求法，解答本题时易忽视以下几点： 一是第一是第(1)问分析不出是独立重复试验，而失误；二是第问分析不出是独立重复试验，而失误；二是第(2)问中问中X2时要分类去求或用排除法若要避免可先求时要分类去求或用排除法若要避免可先求X1和和X3时的概率利用时的概率利用P1P2P31去求去求P2，但要保证，但要保证X1,3时概率正确；三是在解答步骤过程中只画出分布列不去时概率正确；三是在解答步骤过程中只画出分布列不去详细写明详细写明X每个值对应的概率导致步骤不完整而丢分每个值对应的概率导致步骤不完整而丢分解答此类问题的模板可参考如下：解答此类问题的模板可参考如下：第一步：确定随机变量的所有可能值第一步：确定随机变量的所有可能值第二步：求每一个可能值所对应的概率第二步：求每一个可能值所对应的概率第三步：列出离散型随机变量的分布列第三步：列出离散型随机变量的分布列第四步：求均值和方差第四步：求均值和方差第五步：反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范第五步：反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范 点击此图进入点击此图进入
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