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本章优化总结本章优化总结专题探究精讲专题探究精讲章末综合检测章末综合检测本本章章优优化化总总结结知识体系网络知识体系网络知识体系网络知识体系网络专题探究精讲专题探究精讲直线的倾斜角与斜率直线的倾斜角与斜率 过点过点M(0,3)的直线的直线l与以点与以点A(3,0),B(4,1)为端点的线段为端点的线段AB有公共点,求直线有公共点,求直线l的斜率的斜率k的取值范围及倾斜角的范围的取值范围及倾斜角的范围【思路点拨】【思路点拨】直线直线l过点过点M,斜率变化时,可以,斜率变化时,可以理解为直线理解为直线l绕定点绕定点M旋转,数形结合进行分析旋转,数形结合进行分析【名师点评】【名师点评】当直线绕定点旋转时,若倾斜角当直线绕定点旋转时,若倾斜角为锐角,逆时针旋转,倾斜角越来越大,斜率越为锐角,逆时针旋转,倾斜角越来越大,斜率越来越大,顺时针旋转,倾斜角越来越小,斜率也来越大,顺时针旋转,倾斜角越来越小,斜率也越来越小;若倾斜角为钝角,也具有同样的规越来越小;若倾斜角为钝角,也具有同样的规律但倾斜角不确定是锐角或钝角时,逆时针旋律但倾斜角不确定是锐角或钝角时,逆时针旋转,倾斜角越来越大,但斜率并不一定随倾斜角转,倾斜角越来越大,但斜率并不一定随倾斜角的增大而增大的增大而增大求直线方程求直线方程 直线的方程有五种形式,在求直线方程时要选择直线的方程有五种形式,在求直线方程时要选择恰当的形式,其中以点斜式,斜截式最为常用,恰当的形式,其中以点斜式,斜截式最为常用,通常采用待定系数法求直线的方程通常采用待定系数法求直线的方程 过定点过定点P(2,1)且与坐标轴围成的三角形的且与坐标轴围成的三角形的面积为面积为4的直线方程是的直线方程是_【思路点拨】【思路点拨】根据已知条件,可以使用直线的根据已知条件,可以使用直线的截距式,通过直线过定点和与坐标轴所围成的三截距式,通过直线过定点和与坐标轴所围成的三角形面积列方程组角形面积列方程组直线与直线的位置关系直线与直线的位置关系两条直线的位置关系有相交、平行、重合三种,两条直线的位置关系有相交、平行、重合三种,主要考查两条直线的平行和垂直通常借助直线主要考查两条直线的平行和垂直通常借助直线的斜截式方程来判断两条直线的位置关系,解题的斜截式方程来判断两条直线的位置关系,解题时要注意分析斜率是否存在,用一般式方程来判时要注意分析斜率是否存在,用一般式方程来判断,可以避免讨论斜率不存在的情况断,可以避免讨论斜率不存在的情况 a为何值时,为何值时,(1)直线直线x2ay10与直线与直线(3a1)xay10平行?平行?(2)直线直线ax(1a)y3与直线与直线(a1)x(2a3)y2互相垂直?互相垂直?【思路点拨】【思路点拨】根据两直线垂直、平行满足的条根据两直线垂直、平行满足的条件列方程求解即可件列方程求解即可【名师点评】【名师点评】所给直线方程是一般式,且直线所给直线方程是一般式,且直线斜率可能不存在时,利用斜率可能不存在时,利用l1l2A1A2B1B20和和l1l2A1B2A2B10且且A1C2A2C10来判定两来判定两条直线是否垂直和平行,比用斜率来判定更简便,条直线是否垂直和平行,比用斜率来判定更简便,它不需要讨论斜率不存在的情况它不需要讨论斜率不存在的情况直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系判断直线与圆的位置关系以几何法为主,解题判断直线与圆的位置关系以几何法为主,解题时应充分利用圆的几何性质以简化解题过程时应充分利用圆的几何性质以简化解题过程【思路点拨】【思路点拨】根据圆的对称性可知圆心在直线根据圆的对称性可知圆心在直线x2y0上,设出圆心坐标根据直线被圆所截得的上,设出圆心坐标根据直线被圆所截得的弦长公式列方程弦长公式列方程【答案】【答案】(x6)2(y3)252或或(x14)2(y7)2244圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系在两圆的位置关系中一般有两个主要问题一个是在两圆的位置关系中一般有两个主要问题一个是判断两圆的位置关系,其关键就是抓住两圆的圆心判断两圆的位置关系,其关键就是抓住两圆的圆心和半径,根据圆心距和半径的和差大小关系作出判和半径,根据圆心距和半径的和差大小关系作出判断;二是当两圆相交时求其公共弦所在的直线方程断;二是当两圆相交时求其公共弦所在的直线方程或是公共弦长,只要把两圆方程相减消掉二次项所或是公共弦长,只要把两圆方程相减消掉二次项所得方程就是公共弦所在的直线方程,再根据其中一得方程就是公共弦所在的直线方程,再根据其中一个圆和这条直线就可以求出公共弦长个圆和这条直线就可以求出公共弦长 实数实数k为何值时,两圆为何值时,两圆C1:x2y24x6y120,C2:x2y22x14yk0相交、相切、相交、相切、外离外离【思路点拨】【思路点拨】根据圆心的距离与两圆半径的和、根据圆心的距离与两圆半径的和、差的大小关系进行求解差的大小关系进行求解【名师点评】【名师点评】判断两圆的位置关系时,首先确判断两圆的位置关系时,首先确定圆心之间的距离,其次确定半径之和或差,再定圆心之间的距离,其次确定半径之和或差,再分类比较,作出判断分类比较,作出判断圆的切线问题圆的切线问题相切是直线与圆的一种重要位置关系,其主要问题相切是直线与圆的一种重要位置关系,其主要问题有两个,一是求圆的切线方程和切点弦所在的直线有两个,一是求圆的切线方程和切点弦所在的直线方程方程,主要难点是圆的切点弦所在直线方程的求解主要难点是圆的切点弦所在直线方程的求解,最基本的方法是通过圆的切线性质转化为两圆的公最基本的方法是通过圆的切线性质转化为两圆的公共弦解决;二是与圆的切线相关的一些取值范围、共弦解决;二是与圆的切线相关的一些取值范围、最值等问题,主要难点是如何利用圆的切线性质对最值等问题,主要难点是如何利用圆的切线性质对问题进行转化,解决难点的方法是充分研究题目中问题进行转化,解决难点的方法是充分研究题目中所涉及的圆的切线和所要解决问题的关系圆的切所涉及的圆的切线和所要解决问题的关系圆的切线问题的关键就是切线的性质线问题的关键就是切线的性质 过圆过圆C:x2y24x2y40外的点外的点P(1,2)的切线的切线l的方程是的方程是_,若切点分别为,若切点分别为A,B,则直线,则直线AB的方程是的方程是_【思路点拨】【思路点拨】对于第对于第(1)问,点在圆外,不能根问,点在圆外,不能根据圆的切线性质直接解答,可以设出切线方程,据圆的切线性质直接解答,可以设出切线方程,利用圆心到直线的距离等于圆的半径解决;对于利用圆心到直线的距离等于圆的半径解决;对于第第(2)问,点问,点P,A,C,B四点共圆,四点共圆,AB为该圆与为该圆与圆圆C的公共弦所在的直线的公共弦所在的直线【答案】【答案】y2或或x1xy0【名师点评】【名师点评】过圆外一点的圆的切线方程一定过圆外一点的圆的切线方程一定有两条,一定不要出现遗漏现象特别当求出的有两条,一定不要出现遗漏现象特别当求出的斜率只有一个时,结合图形知识,当斜率不存在斜率只有一个时,结合图形知识,当斜率不存在时,不在题设的范围之内,但其也满足条件,也时,不在题设的范围之内,但其也满足条件,也是圆的一条切线本题的第是圆的一条切线本题的第(2)问中的直线通常称问中的直线通常称为圆的切点弦所在的直线,求解其方程的基本方为圆的切点弦所在的直线,求解其方程的基本方法就是根据圆的切线的性质将其转化为求两个圆法就是根据圆的切线的性质将其转化为求两个圆的公共弦所在的直线方程的公共弦所在的直线方程对称问题对称问题在解析几何中,经常遇到对称问题,本章的对称在解析几何中,经常遇到对称问题,本章的对称主要有以下四种:主要有以下四种:(1)点关于点的对称问题通常利用中点坐标公点关于点的对称问题通常利用中点坐标公式点式点P(x,y)关于关于Q(a,b)的对称点为的对称点为P(2ax,2by)(2)直线关于点的对称直线通常用转移法或取特殊直线关于点的对称直线通常用转移法或取特殊点来求点来求设设l的方程为的方程为AxByC0(A2B20)和点和点P(x0,y0),求,求l关于关于P点的对称直线方程点的对称直线方程设设P(x,y)是对称直线是对称直线l上任意一点,它关上任意一点,它关于于P(x0,y0)的对称点的对称点(2x0 x,2y0y)在直线在直线l上,代入得上,代入得A(2x0 x)B(2y0y)C0. 已知直线已知直线l:y3x3,求:,求:(1)点点P(4,5)关于关于l的对称点坐标;的对称点坐标;(2)直线直线yx2关于关于l的对称直线的方程;的对称直线的方程;(3)直线直线l关于点关于点A(3,2)的对称直线的方程的对称直线的方程【思路点拨】【思路点拨】(1)为求点关于直线的对称点问题;为求点关于直线的对称点问题;(2)为直线关于直线对称问题;为直线关于直线对称问题;(3)为直线关于点对为直线关于点对称问题称问题【名师点评】【名师点评】本题体现了处理对称问题的几种本题体现了处理对称问题的几种途径,综合性强只有对坐标法有深刻理解,对途径,综合性强只有对坐标法有深刻理解,对对称有深刻认识,同时具有较强的数形结合的能对称有深刻认识,同时具有较强的数形结合的能力才能较好地完成此题力才能较好地完成此题与直线、圆有关的最值问题与直线、圆有关的最值问题(1)最值问题是高中数学中非常重要的一种题型,最值问题是高中数学中非常重要的一种题型,对于函数的最值问题我们非常熟悉,与直线有关对于函数的最值问题我们非常熟悉,与直线有关的问题有时也涉及到最值问题,在解决这类问题的问题有时也涉及到最值问题,在解决这类问题时经常转化为函数求最值问题来解决时经常转化为函数求最值问题来解决 若若x,y满足满足x2y26x4y120,求,求x2y2的最值的最值【思路点拨】【思路点拨】若令若令P(x,y),且点,且点P(x,y)在圆在圆x2y26x4y120上运动,则已知条件都有了上运动,则已知条件都有了几何背景,而几何背景,而x2y2可变形为可变形为(x0)2(y0)2,看,看作是点作是点P到原点到原点O的距离的平方,所以只要求出的距离的平方,所以只要求出PO2的最大值、最小值即可的最大值、最小值即可【名师点评】【名师点评】此类最值问题从图形上来考虑更此类最值问题从图形上来考虑更直观直观
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