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1 了解曲线与方程的关系，掌握求动点轨迹的基本思路和常用方法，并能灵活应用.培养用坐标法解题思想.22 A 1.BCD.xxyx方程表示的曲线是 一个点 一条直线 两条直线 一个点和一条直线C解析10010 x xyxxy 方程可变形为， 所以或，表示两条直线3 0,03,45 2. A B.C DABABAB到两定点，的距离之和为 的点的轨迹 是 椭圆所在的直线 线段无轨迹C解析5.ABAB ，所以动点的轨迹为线段4 2301,2 A 210 B 250 C 210 D 2503. PxyMQPMPMMQQxyxyxyxy 已知点 是直线上的一个动点，定点， 是线段延长线上的一点，且，则 点的轨 迹方程是 解析()2,4230250.Q xyPxyxyxy 设， ，则可得，代入，得D522 1() .4.mnmnP mnmn 已知实数 ， 满足，则，的轨迹方程是_222xy解析222212.mnxy又因为，得65.设P为双曲线 -y2=1上一动点,O为坐标原点，M为线段OP的中点，则点M的轨迹方程为 .24xx2-4y2=1解析22()2 ,241M xyPxyxy 设， ，则，代入双曲线方程得，即为所求7 1.曲线与方程的关系 一般的，在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下关系： ( 1 ) 曲 线 上 的 点 的 坐 标 都 是 这 个 ; (2)以这个方程的解为坐标的点均是 .那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线.方程的解曲线上的点82.求轨迹方程的基本思路(1)建立适当的直角坐标系，设曲线上的任意一点（动点）坐标为M(x,y).(2)写出动点M所满足的 .(3)将动点M的坐标 ,列出关于动点坐标的方程f(x,y)=0.(4)化简方程f(x,y)0为最简形式.(5)证明（或检验）所求方程表示的曲线上的所有点是否都满足已知条件.几何条件的集合代入几何条件9注意：第（2）步可以省略，如果化简过程都是等价交换，则第（5）可以省略；否则方程变形时，可能扩大（或缩小）x、y的取值范围，必须检查是否纯粹或完备（即去伪与补漏）.3.求轨迹方程的常用方法(1)直接法：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量(如距离与角)的等量关系，或这些几何条件简单明了且易于表达，我们只需把这种关系转化为x,y的等式就得到曲线的轨迹方程；10(2)定义法：某动点的轨迹符合某一基本轨迹(如直线、圆锥曲线)的 ,则可根据定义采用设方程求方程系数得到动点的轨迹方程；(3)代入法(相关点法)：当所求动点M是随着另一动点P(称之为相关点)而运动，如果相关点P满足某一曲线方程，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，再把相关点代入曲线方程，就把相关点所满足的方程转化为动点的轨迹方程；定义11(4)参数法：有时求动点应满足的几何条件不易得出，也无明显的相关点，但却较易发现这个动点的运动常常受到另一个变量(角度、斜率、比值、截距或时间等)的制约，即动点坐标(x,y)中的x,y分别随另一变量的变化而变化，我们可称这个变量为参数，建立轨迹的参数方程；(5)交轨法：在求两动曲线交点的轨迹问题时，通过引入参变量求出两曲线的轨迹方程，再联立方程，通过解方程组消去参变量，直接得到x,y的关系式.12题型一 直接法求轨迹方程例122241lxxyABPlPA PBP 设动直线 垂直于 轴，且与椭圆交于， 两点， 是 上满足的点，求点 的轨迹方程分析()PxyPxl 设 点的坐标为 ， ，用直接法求得 点的轨迹方程，要注意 的范围，通过直线 与椭圆相交获得13解析222222222222222()2424,4244() ()1( 22)22441(0)(0)1224112636223PxyxyyxxyxxABxxxxPA PByyxxyxyPxylx 设 点的坐标为 ， ，则由方程，得所以，所以 ， 两点的坐标分别为：，又，所以点 的轨迹方程为，即，所以，又直线 与椭圆交于两点，所以 ，所以14评析“”“”() 求动点的轨迹时应注意它的完备性与纯粹性化简过程破坏了方程的同解性，要注意补上遗漏的点或者挖去多余的点 轨迹 与 轨迹方程 是两个不同的概念，前者要指出曲线的形状、位置、大小等特征，后者指方程 包括范围15( 2)(0 )()_ .AyBC xyABACC 平面上有三点， ， ， ，若，则动点 的轨迹方程为素材1解析22(2)()22228048 .yyABACxyABACAB ACxyxCyx 根据题意， 因为，动点 的轨迹方程为所以，即故16 如图，已知圆A：(x+2)2+y2=1与点A(-2，0)，B(2，0)，分别求出满足下列条件的动点P的轨迹方程. (1)PAB的周长为10； (2)圆P与圆A外切(P为动 圆圆心)； (3)圆P与圆A外切且与直线x=1相切(P为动圆的圆心).题型二 定义法求轨迹方程例217 根据题意，先找出等价条件，再根据条件判定曲线类型，最后写出曲线的方程. (1)|PA|+|PB|=10-|AB|=6. (2)|PA|-|PB|=1. (3)P点到A点的距离比P点到直线x=1的距离长1，即P点到A点的距离等于P点到直线x=2的距离.分析18 (1)根据题意，知|PA|+|PB|+|AB|=10，即|PA|+|PB|=64=|AB|,故P点的轨迹是椭圆，且2a=6,2c=4,即a=3,c=2,则b= ,因此其方程为 =1(y0).(2)设圆P的半径为r，则|PA|=r+1，|PB|=r，因此|PA|-|PB|=1.52295xy解析19由双曲线的定义知，P点的轨迹为双曲线的右支,且2a=1,2c=4,即a= ,c=2,则b= ,因此其方程为4x2- y2=1(x ).(3)依题意知，动点P到定点A的距离等于到定直线x=2的距离，故其轨迹为抛物线，且开口向左，p=4.因此其方程为y2=-8x.121524151220 (1)本题为利用圆锥曲线的定义求动点轨迹方程的问题若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义，如圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可以直接根据定义求出动点的轨迹方程 (2)圆锥曲线的定义提示了其本质特征，而圆锥曲线的方程随坐标系的不同而不同，因而掌握定义是根本 评析21题型三 代入法(相关点法)求轨迹方程例31,02FMxPyMNMP PMPFPyN 设，点在 轴上， 点在 轴上，且，当点 在 轴上运动时，求点的轨迹方程分析 123MPNMP确定与 的坐标关系寻找动点 与点、 的关系用代入法求轨迹方程22解析0,00002000000000000020(0)()()(1)() (1)00.2()2()2,12204M xPyN xyNPMPF PMxyPFyxyyxyMNMPxxyxyxxxxxyyyyyx 设， ，点 为轨迹上任意一点因为，所以，所以由，得，所以即所以，24 .yx即评析 在某些较复杂的探求轨迹的过程中，可先确定一个较易于求得的点的轨迹方程，再以此点作为主动点，所求的轨迹上的点为相关点，求得轨迹方程23224,03690PxyABAPBAPBQQ 如图所示，已知是圆内的一点， 、 是圆上两动点，且满足，求矩形的顶点 的轨迹方程素材2分析.QABQABRRQ 动点 与 、 两点的变化有关，由圆的弦的性质知点 与的中点 有关，因此可先求出 点的轨迹方程，再转化为点 的轨迹方程24解析2222222222222()Rt364,4364100.ABR xyAROARAOORxyARPRxyxyxyxyxRRQ 设的中点为， ，则在中，又有即因此点 在一个圆上，而当 在此圆上运动时， 点即在所求的轨迹上运动25111122221112221125()4224100464()()410022256.Q xyxyRPQxyxyxyxxyyxQx设，由 为的中点，所以有，代入方程得，整理得，即点 的轨迹方程为26题型四 用参数法求轨迹方程例4240ypx pOABOAOBOMABMM 已知抛物线， 为顶点， ，为抛物线上的两动点，且满足，如果于点，求点的轨迹方程分析 (3)12M xyMABOAOB动点， 的坐标之间的关系不易找到动点与 、 的直接关系不明显，因此需引入参数由建立联系，消去参数得解27解析000022222122212121222000().4240.4440.444ABM xyABykxbxOMABkyypxykxbybk xxkbpbx xkpbxkypypby ykOAOBy yx xpbbbkpkkykxbk xp 直线斜率存在时，设，直线的方程为由，得，由，及，消去 ，得，所以消去 ，得，所以由，得，所以，故2822000000222240(0)4 ,040(0)40(0)xkxypxxyABxMpxypxxMxypxx 把代入，得，轴时，也符合，即点的轨迹方程为评析 ()()P xyxyttxtyxtyttxyP xy 在一些很难找到形成曲线的动点， 的坐标 ， 所满足的关系式的情况下，往往借助第三个变量 ，建立 和 ， 和 的关系式，再通过一些条件消掉 就间接找到了 和 所满足的方程，从而求出动点，所形成的曲线的普通方程291212()A ablllxMlyNMNP 过定点，任作互相垂直的两直线 与 ，且 与 轴交于点， 与 轴交于点 ，如图所示，求线段的中点 的轨迹方程素材3解析 11111221112110 1 1 lylkklllklybkxalybxak 当 不平行于 轴时，设 的斜率为 ， 则，因为，所以 的斜率为，的方程为，的方程为30 11211122111200()22,220(22)222().2 212.02byMxakaxNybkMNPxyabxkakaxbMNPaxbyabxbaykyaa blyMNb在中令，得点的横坐标为，在中令，得 点的纵坐标为，设的中点 的坐标为 ， ，则有消的中点 的轨迹方去 ，得当 平行 轴时，的中点为， ，其坐标满足方程综合程为知，31 22221221211121212102.3112xyababFFAAFF FOAFOFabQQOQOQOQQODDD 设椭圆的左、右焦点分别为、 ， 是椭圆上的一点，原点 到直线的距离为证明：；设，为椭圆上的两个动点，过原点 作直线的垂线，垂足为 ，求点 的轨迹方程32解析 21212222222222222122112422,0,0()0.11.()220.133114AFF FFcFcA cyycyabyAababbbyA caabAFyxcacb xacyb cOAFOFcb cba c由题设及，不 妨设点， ，其中 由点 在椭圆上，有，即 解得，从而得到， 直线的方程为， 整理得 由题设，原点 到直线的距离为，方 即法 ：， 将2222222 .cababab代入上式并化简得，即3321112211121221222221().|.|2 .13|13|2.2222bAcaOOBAFBF BOF F AF ABOOFF AAFAFaBOOFF AF AF AaF AbaF AF Aabaaba同方法 ，得到点 的坐标为 ， 过点 作，垂足为 ， 易知 故 由椭圆的定义得 又， 所以， 解得，而， 故得，即方法 ：34 001112220012120012000200000111222222()()()0.()().222DxyQ xyQxyyxODQQQQyxQQyxxyyxxykxmkmyyyQ xyQxyykxmxyb 设点 的坐标为， 当时， 由知，直线的斜率为， 所以直线的方程为或 ，其中， 点，的坐标满足方程组 35222222222121222121222121222222.124220422. 1212 22 12xkxmbkxkmxmbkmmbxxx xkky ykxmkxmk x xkm xxmmbk 将式代入式，得整理得，于是，由式得2222222121212222224122 . 120322012kmkmmkkmb kkOQOQx xy ymbb kk由知，将式和式代入得，3622220000022200012011122222001201,222212121222222000321.0.()()2,.2220220.23mbkxxkmyyyxybyQQxxQ xyQxyxxbxxxxyxybOQOQx xy ybxxxbD 即将，代入上式，整理得当时，直线的方程为点，的坐标满足方程组所以，由，知，即，解得这时，点 的22022220.23Dxybyxb点坐标仍满足综上，的轨迹方程为371.曲线与方程关系的理解.(1)曲线方程的实质就是曲线上任意一点的横、纵坐标之间的关系，这种关系同时满足两个条件：曲线上所有点的坐标均满足方程；适合方程的所有点均在曲线上.(2)如果曲线C的方程是f(x,y)=0,那么点P0(x0,y0)在曲线C上的充要条件是f(x0,y0)=0.38(3)视曲线为点集，曲线上的点应满足的条件转化为动点坐标所满足的方程，则曲线上的点集(x,y)与方程的解集之间建立了一一对应关系.2.求轨迹方程方法实质剖析.(1)轨迹问题的实质就是用动点的两坐标x,y一一对应的揭示曲线方程解的关系.在实际计算时，我们可以简单地认为，求曲线方程就是求曲线上动点的坐标之间的关系.当两坐标之间的关系为直接关系f(x,y)=0，就是曲线方程的普通形式;39 当x,y的关系用一个变量(如t变量)表示时，坐标之间的关系就是间接关系，这时的表示式就是曲线的参数方程.所以解决问题时，应该紧紧围绕寻找点的两坐标之间的关系展开探究. (2)定义法求轨迹是不同于其他求轨迹的思维方法，它从动点运动的规律出发，整体把握点在运动中不动的、不变的因素，从而得到了动点运动规律满足某一关系，简单地说，就是在思维的初期，先不用设点的坐标，而直接找动点所满足的几何性质(往往是距离的等量关系).40 由于解析几何研究的几何对象的局限性，直线、圆、圆锥曲线这些的定义都是用距离的关系来定义曲线的，所以利用定义法求轨迹问题时，往往应该先考虑动点满足的距离关系，判断它是否满足五种曲线的定义，从而使问题快速解答.414sinsin2sinABCBCACBAA 在中， 点为动点，满足，求 点的轨迹方程错解22288.28,241.1612cbaABACABCacxyA由正弦定理得，即故 点的轨迹为以 、 为焦点的椭圆因为，所以点 的轨迹方程为42错解分析ABCABCABC 没有建立恰当的直角坐标系，因为坐标系不同，轨迹方程也不同 因为 、 、 三点构成，故 、 、 不能共线，故应排除一些特殊点正解22221161228811612(0)cbaABACABCBCxBCxxyABCyAy由正弦定理得，即，故点 的轨迹为以 、 为焦点的椭圆以为 轴，的中点为原点建立直角坐标系，则椭圆方程为，又因为 、 、 三点点不能共线，所以的轨迹方程为
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