高考数学一轮复习精讲课件 第9单元第50讲 空间中的垂直关系 湘教版

以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理；能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的垂直关系的简单命题 AB1.CDlmnmnllmln 设 、 、 均为直线，其中 、在平面 内，则“”是“且”的充分不必要条件必要不充分条件充要条件既不充分也不必要条件A A.B.C.D2.(201.0)在空间，下列命题正确的是平行直线的平行投影重合平行于同一直线的两个平面平行垂直于同一平面的两个平面平行垂直于同一平面的两条山东卷直线平行C D.AB选项平行直线的平行投影也可能是平行的； 选项中的两个平面也可以相交；选项的两个平面也可以解相交，析：故选/ . A. BC .D3mnmnm nmnmnmnmnmnm n 关于直线 ， 与平面 ， ，有以下四个命题：若，且，则；若，且，则；若，且，则；若，且，则其中真命题的序号是.D. .4.mnmnnm已知 ， 是两个不同的平面， ， 是平面及 之外的两条不同直线，给出四个论断：；以其中三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：或 5. PABCPOPAPBPCOABCPAPBPCOABC三棱锥的顶点 在底面的射影为 ，若，则点 为的，若、两两垂直，则 为的垂心外心 1_.2_.3_.1llllllbabla 定义定义：如果直线 与平面 内的每一条直线都垂直，就说直线 与平面 互相垂直，记作特别提醒：若已知，则 垂直于平面 内的所有直线，即“线面线线”判定定理：一条直线与一个平面内的直线都垂直，则该直线与此平面垂直用符号表示为：，性质定理：垂直于同一平面的两条直线用符号直线与平面表示：垂直_.b， 1_2.2定义：如果两个平面相交，且它们所成的二面角是，就说这两个平面互相垂直画法：记作平面与平面垂直 _. _._34_.alaall 若一个平面过另一个平面的，则这两个平面垂直符号表示：两个平面垂直，则一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面用符号表示为：，归纳拓展：两个平面 、 都垂直于平面 ，则 与可能平行也面面垂直的判定定理面面垂直的性质可定理能相交，若：，则.l/lAaa ；两条相交；互相平行【；要点指南】；直角；垂线；垂直；41.5.PAABCDMNABPCPDAMNPCD如图，已知垂直于矩形所在的平面，、 分别是、的中点，若，求证：平面例题型一题型一 直线和平面垂直的判定和性质直线和平面垂直的判定和性质 可考虑用线面垂直的判定定理分析：来证明- . . ./.PDEAENEENPDPCENCDMABAMCDENAMAMNEMN AE如图，取的中点 ，连接、因为 、 分别为、的中点，所以又因为为的中点，所以，所以所以四边形为平行四边形，所以解析：/=/=/=-/.45.AMNEMN AEPAABCDPDAADAEPDCDADCDPAADAACDPADAEPADCDAECDPDDAEMNPCDPCD所以四边形为平行四边形，所以因为平面，所以为等腰直角三角形，所以又因为，所以平面，而平面，所以又所以平面，所以平面， a证明线面垂直，常用证法有两种：一是利用面面垂直的性质，二是利用线面垂直的判定定理，即证明直线 与平面 内的两条相交直评析：线都垂直1?PAABCDABCDPCBD已知垂直于矩形所在的平面，当矩形满足什么条件时，有素材 ： . PCBDPABDPAPCPBDPACBABCDPDACABCDABCDCBD若又，所以平面，所以，即矩形的对角线互相垂直解析：即当矩形为正方形时，所以矩形为正方形， 11111111111112.2.(2010)ABCA BCABBCBCBCABBCEFGACACBBABCABCFGABC例苏北四市调研 如图，在三棱柱中， 、 、 分别为线段、的中点，求证： 平面平面；平面题型二题型二 平面与平面垂直的判定与性质平面与平面垂直的判定与性质 111111111112/FGACBC BCBCBEBCABCFGBC由面面垂直判定定理易证；分先证，再证明，析： ，平面，可得，则结论得证 111111111111111 .112/.2 .ABBCBCBCABBCBBCABCBCABCAACEFACACEF AAEFAAABCDABCABCABCGBB因为，所以平面又因为平面，在中，因为 、 分别为、的中点，所以，在三棱柱中，为解析：所以平面平面的中点，111111111111111111111111/2/././. BG AABGAAEF BGEFBGBEFGFG EBABBCEACBEACFGACBCABBCBCBCBCBCABBCBCABBCBBCABCBEABCBCBEBCFGAC所以，所以，且所以四边形为平行四边形，所以因为， 为的中点，所以，则因为，所以，又，所以平面，又平面，所以，则解因为析：111111.FGBCBACC所以平面， 证明面面垂直的关键是证明线面垂直，证明线面垂直的关键是证明线评析：线垂直.2aa已知，求证：素材 . .bcPPAbAPBcBPAaPAaPBaPBPAPPAPBa如图所示，设，过平面 内一点 作于点 ，作于点因为，所以又，所以同理可证解析：所以因为， /28234 5.12PABCDPADABCDAB DCPADBDADABDCMPCMBDPADPABCD如图，在四棱锥中，平面平面，是等边三角形已知，设是上一点，证明：平面平面；求四棱锥例的体积题型三题型三 垂直的综合应用垂直的综合应用 1.2MMBDPADMBDBDPADPABCD因为两平面垂直与点位置无关，所以在平面内一定有一条直线垂直于平面，当运动时，不动，考虑证明平面四棱锥底面为一梯形分析： ，高为 到面的距离 222484 5.1.ABDADBDABADBDABADBDPADABCDPADABCDADBDABCDBDPADBDMBDMBDPAD证明：在中，因为，所以，故又平面平面，平面平面，平面，所以平面又平面，故平面平面证明： .4342 3.22PPOADADOPADABCDPOABCDPOPABCDPADPO过点 作交于 ，由于平面平面，所以平面因此为四棱锥的高又是边长为的等边三角形，因此解析： /24 88 554 52 54 58 524.2516 32 3.1243P ABCDABCDAB DCABDCABCDRt ADBABABCDABCDSV在底面四边形中，所以四边形是梯形在中，斜边边上的高为，此即为梯形的高，所以四边形的面积为故解析： 当两个平面垂直时，常作的辅助线是在其中一个面内作交线的垂直线，把面面垂直转化为线面垂直，进而可以证明线线垂直，构造二面角的平面角或得到点到面的评析：距离等 111111111111113.12.ABCABCABACBBC CABCDBCADCCBBC CBCAAMAMMAMBCBBC C在斜三棱柱中，底面是等腰三角形，侧面底面若 是的中点，求证：；过侧面的对角线的平面交侧棱于，若，求证：截面侧面素材 1111111111 . 1. ABACDBCADBCABCBBC CABCBBC CBCADBBAC CCCBBC CDCC证明：因为，是的中点，所以因为底面侧面，平面平面解析：所以，所以侧面因为平面， 1111111111111111111111111111111111111111. . . 2.B ABMNC NAMMANAABABACACA NABC NC BNBCBBC CNBCBBC CC BC NBBC CC NC NBC NBBBCMBCBCCBC证明：延长与交于 ，连接因为，所以因为，所以，所以因为平面侧面，解析：所以截面且平面平面，所侧面以侧面而平面，所以截面侧面， 1245 .ABCDPAABCDMNABPCABMNPDCABCDACACOMNOPDC如图，四边形为矩形，平面，、 分别为、的中点证明：；若平面与平面成角，连接，取的中点 ，证明平面平面备选例题 /.1/.NPCON PAPAABCDONABCDONABABCDMABOMABABOMNABMN因为 为的中点，所以而平面，所以平面所以又四边形为矩形，为的中点，所以，所以平面，所以解析： .45.2. .MNOPCDPAABCDADDCPDDCPDAPDCABCDPDAPAADBCMCRt BCMRtAPMMCMPMNPCABMNMNCDMNPCD平面，则故为平面与平面所成锐二面角的平面角，即，所以连接解析： 所以平面，由知，所以平面因为，所以，所以平面， 1213251.4aamnmnAllmlnaalaala 线面垂直的定义： 与 内任何直线都垂直；、，判定定理 ：；，判定定理 ：，；面面平行的性质：，；证明线面垂直的方法面面垂直的性质：， 12233/.ababababaa平面几何中证明线线垂直的方法；线面垂直的性质：，；线面垂直的性质：，判定定理：证明线线垂直的方法证明面面垂直，的方法在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决如有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直，故熟练掌握“线线垂直”、“面面垂直”间的转化条件是解决这类问题的关键4垂直关系的转化线线垂直线面垂直面面垂直5面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据，我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可/ .aabba已知直线平面 ，求证：()/ ./ .bbQaQQaaabbaaba aaaa 由题设知直线 与平面 有交点，设交点为 ，过直线 和点 作平面 交平面于过点 的一条直线 ，则如图所示 因为，所以，又因为，所以因为，所以错解： /a aaab在错解中，应用平面几何中的定理“同垂直于一条直线的两条直线平行”，得导致错误，该定理要求涉及的三条直线都在同一平面内，而现在仅有 和 在平面 内，直线不能保证也在平面 内，因而不能满足使用定理的条件，从而给出了错错解误分析： 的证明/././ .:/ .bOOaaabblbbla abababala lala 在直线 上任取一点 ，过 作，则 与 确定一平面设，因为，所以，又，所以在平面 内有，所以因为平面 ，平面 ，所以正解