高考数学复习点拨 用导数求解生活中的问题

用导数求解生活中的问题导数是探讨数学乃至自然科学的重要的、最有效的工具，它也给出了我们生活中很多问题的答案。诸如用料最省、容量最大、亮度最强等，本文将介绍用导数求解生活中几个常见问题，供参考。1、容积最大问题例1用总长14.8m的钢条制成一个长方体容器的框架，如果所制做容器的底面的一边比另一边长0.5m，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积.解：设容器底面短边长为m，则另一边长为 m，高为由和，得，设容器的容积为，则有 即，令，有，即，解得，（不合题意，舍去）.当x1时，y取得最大值，即，这时，高为.答：容器的高为1.2m时容积最大，最大容积为点评：本小题主要考查应用所学导数的知识、思想和方法解决实际问题的能力，建立函数式、解方程、不等式、最大值等基础知识2、最大亮度问题例2、如图，设电灯可沿铅垂线移动，问灯与水平面的距离多大时，才能使水平面上的点处获得最大亮度？（根据物理学知识可知：亮度与成正比，与距离的平方成反比，即，其中为正常数）解析：由得，那么，令，得，时，；时，；所以，当时有最大值，即处获得最大亮度。点评：亮度问题是我们日常生活中最常遇到的，也是最有感受的。如何使亮度最大？本题先结合题目中的条件，得到亮度关于距离的函数关系，再用导数产生结论。3、用料最省问题例3、要建一个圆柱形无盖的粮仓，要求它的容积为，问如何选择它的直径和高，才能使所用材料最省？解析：欲使材料最省，实际上是使表面积最小，设直径为，高为，表面积为由，得又，而令，即，得，此时时，；时，；所以，当，时，用料最省。点评：用料最省、造价最低一般都是与表面积有关，此类问题的求解思路是找到变量之间的关系，借助关系产生函数式，然后通过导数予以求解。4、最大流量问题例4、用宽为，长为的三块木板，做成一个断面为梯形的水槽（如图），问斜角多大时？槽的流量最大？最大流量是多少？解析：槽的流量与槽的横截面面积有关，横截面面积越大槽的流量就越大，因此，求槽的流量最大，其实就是求横截面面积的最大值。设横截面面积为则，由于因此又，令即，得或，由于，得，那么，此时时，；时，；所以，当时，横截面的面积最大；此时，槽的流量最大；点评：流量最大、横梁的强度最大等都是与横截面的面积有关，而面积又往往与三角联系在一起，根据题目条件找出各量之间的关系是求解此类问题的关键。5、物理中的问题例5、已知电源电压为，内阻为，求负载电阻多大时，输出功率最大？解析：由电学知识知道，消耗在负载电阻上的功率为是回路中的电流而，于是又，令得时，；时， ；所以，当时，输出功率最大；点评：这是我们刚刚学过的电学知识，借助于导数可以轻松的求出输出功率的最大值。它告诉我们导数的应用是不分学科的。通过上述五例可以看出：在利用导数求解生活中的常见问题时，基本步骤都是：读题（认真分析各量之间的关系）；建立数学模型（产生函数关系）；求解（求导、分析导数零点两边的函数值的正、负）；产生结果（得到函数的最值）；回归实际问题；