导数应用论文

导数的应用吴泽国目录摘要21 .引言22 .导数的概念23 .导数的求法31 .显函数导数31. 1导数的四则运算：32. 2复合函数与反函数求导法则 33. 3基本初等函数求导公式 32 .隐函数导数43 .由参数方程所确定的函数求导法 44 .分段函数的导数44 .导数的性质45 .导数的应用51 .导数在函数中的应用 51. 1利用导数判断函数的单调性 62. 2利用导数判断函数凹凸性及拐点 73. 3利用导数求函数白极值和最值 84. 4利用导数知识描绘函数图形 135. 5利用导数求参数问题 152 .导数在曲线中的应用 163 .利用导数研究方程的根 174 .应用导数证明不等式 175 .导数在数列中的应用 186 .利用导数求极限一一洛必达法则 196. 1 0” 型和“一”型197. 2其他形式207 .物理学中的导数 208 .经济学中的导数应用 21结束语：22参考文献：22（版权所有）摘要导数是新教材的一个亮点，它是连接初等数学与高等数学的桥梁， 用它可以 解决许多数学问题，它是近年高考的的热点。它不仅帮助即将进入大学的高三学 生奠定进一步学习的基础，而且在解决有关问题已经成为必用工具。 由于导数的 广泛应用，现已成为高考的热点知识本文拟对导数知识的全面归纳，然后通过一些实例全面介绍导数在实际数学 中的应用，让人们全面了解导数这一工具的利用关键字导数初等数学高等数学应用二引百导数是初等数学与高等数学的重要衔接点， 是高考的热点，高考对导数的考 查定位于作为解决初等数学问题的工具出现，高考对这部分内容的考查将仍会以 导数的应用题为主，如利用导数处理函数的极值、最值和单调性问题和曲线的问 题等，考题不难，侧重知识之意。高考考查导数应用主要有以下三个方面：运用导数的有关知识研究函数的单调性和最值问题，利用导数的几何意义，研究曲线的切线斜率。函数 y=f(x)在x=xo处的导 数，表示曲线在点p (x0 , y0)处的切线斜率。导数在其它数学分支的应用，如在数列、不等式、排列组合等知识的综合.导数的概念y f (xx)f (x) f (x)f(x(o)1、止义： f (x)lim lim -1-lim 0-x 0 x x 0 xxx0x x0上巳珈ry. f (xx) f (x). f (x)f(xo)左导数：f(x) lim lim -lim x 0 x x 0xx xoxm户县用.f yf(x x) f(x)f(x)f(x0)石号怎：f (x) lim lim lim x 0 x x 0xxx0x x0f (x) A f (x) f (x) A可以证明：可导 连续 即：可导是连续的充分条件连续是可导的必要条件导函数：f (x) y lim ylim f(xx)-f-(x)x 0 x x 0x2.导数的几何意义(图1)曲线y f(x)在点X0处的导数f(Xo)在几何上 fWI /表示为：曲线y f(x)在点A(Xo,yo)处切线的斜率。即f(xo) tan ( 是过 A点的切线的倾斜角)(如4r0X图1)则，曲线y f(x)在点A(xo, y)处切线方程为：y y。 f (x)(x xo)三.导数的求法1 .显函数导数1. 1导数的四则运算:,/ 、,/U uv vu(u v) u v(uv) uv vu(-) 2v v1. 2复合函数与反函数求导法则 . yx yuux(y u x)复合函数求导法则,1一一一,一 ，一yx二(反函数求导法则)xy1 . 3基本初等函数求导公式(c)0(c为常数)；八、，1 八 、,1(log ax) ,(ln x) 一 ； xln ax，,、，1(tan x);cos x.1. Y . V . V . V(x ) x ; (a ) a In a,(e ) e ;(sin x) cosx ;,.、，1(cot x) sin x(cos x) sin x ;1(arcsin x),/2 ；-1 x(arccos x)1(arctan x)(arccot x)2 .隐函数导数如方程F(x,y) 0,能确定y y(x),只需对方程两边对x求导即可。注意 y y( x)3 .由参数方程所确定的函数求导法参数方程x ,(t) 0,x存在反函数t1(x),则：y为x的复y (t)合函数，y 1(x),所以：yxyttxnxt(t)4 .分段函数的导数对分段函数求导时，在分段点处必须用导数定义来求导， 而在每段内仍可用 初等函数求导法则来求导。分段函数点处极限问题，归纳为该点处在左、右两侧的导数是否一致以及该 点处是否连续的问题。四.导数的性质前面介绍了导数的基本知识，现将用导函数自身的定义来探讨与导数之间的 联系性质1：若函数y f(x)是偶函数且可导，则其导函数y f(x)是奇函数。证明：由y f(x)是偶函数，有f( x) f(x)则： f( x) lim y lim f( x x)-f( x)x 0 x x 0xlim f(x x) f(x) lim f(x x) f(x) f(x)x 0xx 0x所以，y f(x)是奇函数同理：若函数y f(x)是奇函数且可导，则其导函数 y f(x)是偶函数性质2:若函数y f(x)是周期函数且可导，则其导函数 y f(x)也是周期函数。证明：y f(x)是周期，有f(x T) f(x),y f(x T x) f(x T)f (x T) lim limx 0 x x 0xf (xx)f (x)flim -2f(x)x 0x所以，y f(x)是周期函数性质3:若函数y f(x)可导且图象关于直线x a对称，则其导函数y f(x)图象关于点(a, f(a)对称证明：函数y f(x)图象关于x a对称，有f (x) f (2a x)ff(2a x x) f(2a x)f (2a x) lim -x 0xf (x x) f (x)院lim - f (x)x 0 x且点(a, f (a)在y f (x)的图象上，所以y f (x)图象关于点(a, f (a)对称同理：若函数y f(x)可导且图象关于点(a,f(a)对称，则其导函数y f(x)图象关于直线x a对称五.导数的应用1 .导数在函数中的应用导数是对函数的图像与性质的总结与拓展，导数是研究函数单调性极佳、最 佳的重要工具，广泛运用在讨论函数图像的变化趋势及证明不等式等方面。在掌握求函数的极值和最值的基础上学习用导数解决生产生活中的有关最大最小最 有效等类似的应用问题1.1 利用导数判断函数的单调性一个函数在某个区间内的单调增减性的变化规律， 是在研究函数图形时首先 考虑的问题。在中学，已经知道函数在某个区间内单调增减性的定义。 下面利用 导数这一工具来判断函数增减性及其确定单调区问从图形直观分析：若在(a,b)内，曲线上每一点的导数都大于0,即f(x) 0,利用导数的几何意义知，在(a,b)内，曲线上每一点的切线斜率都为正，*这时曲线是上升的，即函数y f (x)是单调递 增的(如图2)。反之, 若在(a,b)内，曲线上每一点的导数都小于 0 (即曲 线上每一点的切线斜率都为负)，这时曲线是下降 的，即函数y f(x)是单调递减的(如图3)对于上 升或者下降的曲线，它的切线在个别点可能平行于x 轴(此点的导数值为 0,即f(x) 0)。因此，函数的增减性反映在导数上，有 如下定理：定理1:设函数f(x)在区间(a,b)内可导，则：若x (a,b)时恒有f(x)若x (a,b)时恒有f(x)例1:求函数f(x) xcosx解：因 f (x) cosx xsin x得 x (2k,2k20 ,则f(x)在(a,b)单调增力口;0 ,则f(x)在(a,b)单调减少。sin x(x 0)单调递增区问cosx xsin x ,由 f (x) 0)(k Z )所以 ， f (x) xcosx sin x(x 0) 单调递增区间为x (2k,2k2 )(k Z )例2:已知函数f(x) x2eax(a 0,e为自然对数的底数)，试讨论函数f(x)单调性。分析：引进导数这一工具之前，判断函数单调性的一般方法是定义法。 此题 利用定义法就无法的出答案，而有了导数之后，问题就易解决了。(此题是04年湖南高考题)解：因 f (x) 2xeax ax2eax x(ax 2)eax,所以(1)当 a 0时，令 f(x) 0得 x 0 ;若x 0,则f(x) 0,从而f(x)在(0,)上单调递增；若x 0,则f(x) 0,从而“*)在(，0)上单调递减；2(2)当 a 0时，令 f (x) 0 得 x 0或 xa右x 0,则f(x) 0,从而屋)在(，0)上单调递减；若0 a 2,则f(x) 0,从而f(x)在0, 2)上单调递增； aa22右a -，则f (x) 0 ,从而f (x)在一，)上单调递减。 aa1. 2利用导数判断函数凹凸性及拐点/在研究函数图形的变化状况时，知道它的上升和下/ / I降顾虑很有好处，但不能完全反映它的变化规律。如图寸:4所示的函数y f(x)的图形在区间(a,b)内虽然是一直上升的，但却有不同的弯曲形状。因此，研究函数图形时，考察它的弯曲形状以及扭转弯曲方向的点是必要的。从图4看出，曲线向下弯曲的弧度在这段弧段任 意点的切线下方，曲线向上下弯曲的弧度在这段弧段任意点的切线上方，据此给出定义如下：定义1 在某区间内，若曲线弧位于其上任意一点的切线上方，则称曲线 在该区间内是上凸的(也称在该区间内此函数为凹函数)；在某区间内，若曲线 弧位于其上任意一点的切线下方，则称曲线在该区间内是下凹的(也称在该区间 内此函数为凸函数)那么曲线的凹凸性与导数之间有什么关系呢？按定义是很难判断凹凸性的，对于凹凸性可以用二介导数来确定。即有判 定定理。定理2:设函数y f(x)在区间(a,b)上具有二介导数，当f(x) 0时，则曲线为凸(此时在该区间为凹函数)当f(x) 0时，则曲线为凹(此时在该区间为凸函数)通过图形的直观性来说明Ig定理的正确性(如图5)若曲线y f (x)呈现凸状，由图5 (1) 直观看出：当X增大时，切线斜率随之变小， 说明一介导数函数f (x)在(a,b)上为减函数， 由函数单调性判别法，必有f(x) 0,即f(x) 0 o说明：若曲线为凸性，必有 f(x) 0。同理，若曲线为凹，必有f(x) 0从另一角度讲，该定理为二介导数的几何意义。定义2:若函数f(x)在点x x。的左右邻域上凹凸性相反，则点(x。，f (x。)叫做曲线的拐点(注意拐点不是x)由拐点的定义可知，判断某点是否拐点，只需看该点左右两侧二介导数是否 异号，与该点一介、二介导数是否存在无关解：因 y 12x3例3、求函数y 3x4 4x3 1的凹凸区间及拐点12x2,贝U v 36x2 24x 36x(x -)3人，2，令y 0,得x 0,x 。所以3x(,0)02 (0，3)23(3，) y+0-0+y凹1拐点凸11 , 拐点27凹1. 3利用导数求函数的极值和最值(1)利用导数求函数的极值函数由增加变为减少或由减少变为增加，都经过一 个转折点，即图中的“峰”点和“谷”点，这些点是在 研究函数中是十分重要的。定义2、设函数f(x)在点x %及其某邻域左右两侧附近有定义，若对该邻域内的任意点x（x X。）恒有f（x） f（Xo）,则f（Xo）为极大值;若f （x） f（x。）成立,则f（x。）为极小值。应当注意：极值是一个局部概念，它只限于x。的某一邻域内，通过函数值相比较才能显示出来。在一个区间上，函数可能有几个极大、极小值。可能会有极 大值小于极小值。极值点和导数的关系如何？由图 6可知：定理2f（x）的极值点,者f（x。）不存在(xo)为极值点的必要条件,如 y x3, y 3x2 ,若x。是函数则f （x。）0或0是点x。1=近在3 0）点根盾舐但不是充分条件。y 1x0。但（0,0）点不极大值情理是函数极值点；函数f（x）在导数不存在1,11的点也可能有极值。如y x3, y 14,33x3y lx。不存在，但（。,0）点不是函数极值点（如图7)将导数为。的点或者不可导的点统称为驻点因此函数的极值必在驻点处取得，但驻点不一定是极值点，所以在求得函数极值的驻点后，就是找到了所有极 值可疑点。下面介绍函数在驻点或导数不存在的点取得极值的充分条件，即极值的判断方法。定理3 （极限存在的充分条件之一）设f在x。连续，在某邻域Uo（x。；）内可导,若x (x0;x。）（x。左侧）时 f （x）。，而 x （x0;x。） （x。右侧）f （x）。，则函数f（x）在x。处取极大值f（x。）若x (Xo;x。）（x。左侧）时 f （x） 0,而 x （x;x。） （x。右侧）时f（x）。，则函数f（x）在x。处取极小值f（x。）右x。两侧f （x）不变方，则f（x）在x。处无极值。该定理的直观含义为：函数由单调增加(或单调减少)变成单调减少(或单 调增加)的转折点，即为极大值点(或极小值点)。3 -例4、求函数f(x) x 3x3的单调区间和极值21解：f(x) 1 x3,当x 1时，f(x) 0;而x 0时f(x)不存在。因此, 函数只可能在这两点取得极值。x(,0)0(0,1)11,)f (x)+/、存在-0+f(x)Z极大值f(0) 0极小值1f(1)-2Z由表可见，函数在区间(，0 , 1,)单调递增；在区间(0,1)单调递减。1在x 0处有极大值f (0) 0,在点x 1处有极小值f(1)- 02若函数的二介导数存在，有如下的判定定理；定理4 (极限存在的充分条件之二)设f (x) 0 , f (x)存在，若f(x) 0 ,则f (x0)为f(x)的极小值；若f(x) 0 ,则f (x0)为f(x)的极小值;若f(x) 0,本方法无效，需用极限存在的充分条件之一这个定理来进一 步判定。因为f(x) 0,则曲线在x0点的左右两侧呈凹状，因此f(x0)为极小值；反之，若f(x) 0,则曲线在x。点的左右两侧呈凸状，因此f(%)为极大值。例5、求函数f (x) (x2 1)3 1的极值。产解：如图 8,因为 f(x) 6x(x2 1)2,令 f(x) 0,得驻点 x 1,0,1。所以，mZ1 o Xf (x) 6(x2 1)2 6x 2(x2 1) 2x 6(x2 1)(5x2 1)又因为f (0) 6 0,所以函数f(x)在x 0处取得极小值f (0) 0。因为f ( 1) 0 f (1),则定理应用定理4失效。下面利用定理3。当 x 1 时，f(x) 0;当 1 x 0 时，f(x) 0,所以函数f(x)在x 1处无极值同理函数在x 1处去极值(2)利用导数求函数的最值在经济活动和日常生活中，常遇到在一定条件下。怎样用料最省、成本最低、 效率最高或者效益效率最好的问题， 这些归纳到数学问题上，即为函数的最大值 或最小值问题。假定函数f(x)在闭区间a,b上连续，则必存在最大、最小值，其判定方法为：找出可能为极值点的函数值(即区间内使 f(x) 0或f(x)不存在的所有 点的函数值)；计算出端点处的函数值f(a), f(b);比较极值和端点值的大小； 其中最大的就是函数f(x)在闭区间a,b上的最大值，其中最小的就是函数f(x) 在闭区间a,b上的最小值。最值与极值是不同的：极值反映的是函数形态，即极值只是与该点在附近的 函数值比较而言的，而对于远离该点的情形不予考虑；而最值则是函数整体形态 的反映，它是指函数在所考察的区间上全部函数值中的最大者(或最小者) 。例6、求函数y sin(2x) x在区间,上的最大、最小值。2 2解：f(x) 2cos(2x) 1,令 f(x) 0即 2cos(2x) 1 0 解得 -,x2 一,66x变化时f (x), f (x)的变化如下表:x2(,)266(,)6 66(, )6 22一，f (x)一0+0一f(x)23由6Z3/362由上表可知最大值是一，最小值为 -22例7、已知a 0,函数f(x) (x2 2ax)ex,当x为何值时，f(x)取得最小 值？证明你的结论。解：f(x) x2 2(1 a)x 2aex,由 f(x) 0,得x1,2 a 1 J1 a2(x x2) (a 0), x变化时 f(x), f(x)的变化如下表：x(,x1)Xi(Xi,X2)X2(x2,)f (x)+0一0+f(x)Z极大 值极小 值Z当(a 0)时，x11,x2 0。而当 x 0 时，f(x) x(x 2a)ex 0;x 0时，f(0) 0。所以当x a 1 荷1 时，f（x）取得最小值。（3）利用导数求函数值域求函数的值域是中学数学的难点，下面介绍利用高中教材新增加内容-导数来求解值域例8、求函数y V2x4在的值域。解：函数的定义域为2,）,112、x3 、,2x4y 2x 4 2 .x 32 2x 4g x 3又2:x 3 2x 42x 82 . x-32 x-4可见当x 2时，y 0所以y 后工人”在2,）上是增函数。而f（ 2）1,所以函数y V2T4的值域是1,）（4）实际问题中导数的应用例9、（2004年全国高考题）甲方是一农场，乙方是一工厂，由于乙方生产 须占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定的净收 入.在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润 x （元）与年产量t （吨）满足函 数关系式x 20007r.若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方 s元（以下称s为赔付 价格）。（1）将乙方的年利润w （元）表示为年产量t （吨）的函数，并求出乙方获 的最大利润的年产量；（2）甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额 y 0.002t2 （元），在乙方按 照获得最大利润的产量进行生产的前提下， 甲方要在索赔中获得最大净收入，应 向乙方要求的赔付价格s是多少？解(1)由题意得，乙方的实际年利润为：w 2000忒st221000 2 10001000 2 门因为w 2000s(t) s(Vt ) ，所以当t ()时，w取s ss的最大值，因此乙方获的最大利润的年产量 t (竺00)2 (吨). s(2)设甲方在索赔中获得的净收为v元，则v st 0.002t2,将乙方获的最大利润的年产量t (幽)2代入上式，可得到甲方净忙收入v与赔付价格s之间的s23函数关系式v st 0.002t2”叫 2 1000 ,令v 0得s 20 .因当s 20时 s sv 0;当s 20时v 0,所以当s 20时，v可取最大值。故甲方向乙方要求的赔付价格s是20 (元/吨)时，可获得最大净收入。1. 4利用导数知识描绘函数图形为有助于某些函数图形的描绘，下面介绍曲线的渐近线。(1)曲线的渐近线定义3若曲线上的一点沿着曲线趋于无穷远时，该点与某大直线的距离趋于0,则称此直线为曲线的渐近线。水平渐近线 若曲线y f(x)的定义域是无限区间，且有：lim f(x) b,x或Jim f (x) b ,则直线y b为曲线y f(x)的水平渐近线。垂直渐近线若曲线 y f(x)有：lim f (x) x c，或lim f (x),则直线x cx c为曲线yf(x)的垂直渐近线。斜渐近线若 lim f(x) (ax b) x0成立，则yax b是曲线的一条斜渐近线卜面介绍求a,b的公式。b-0 x由 lim f(x) (ax b) 0有: x所以即f (x) lim x a x x lim3 a b 0 x x x.f(x)a lim x,f(x)将 a lim 求出并代入lim f (x) (ax b) 0 即可确止x xxb lim f(x) ax x2例10、求曲线y 的渐近线x 12解：(1)因lim 工 ，所以x 1是曲线的垂直渐近线x 1 x 1f(x) x .(2) 由 a lim lim 1x x x x 12xx和 b lim f (x) ax lim x lim1xx x 1 x x 1可知y x 1是曲线的斜渐近线(2)函数图形的作法导数未纳入高中教材时，做图形主要依靠描点作图，这样的图形比较粗糙。导数的出现能更好的反应出导数的各种性态。描绘图形的一般步骤如下：确定函数的定义域、值域及函数初等形态(对称性、周期性、奇偶性)等;求出 f (x) , f (x);列表讨论函数单调性、凹凸性及极值、拐点；确定曲线的渐近线；由曲线方程找出一些特殊点的坐标；用光滑曲线连接，画出y f(x)的图象。例11、作函数y丝1 2的图形 x解：函数的定义域为x|x 0,x R4(x 2)y8(x 3)令y0,得x2；令y 0 ,得x 3 o列表如下:x(,3)3(3, 2)2(2,0)0(0,)y一一一0+/、存在一y一0+/、存在+y拐点26 9极小值3Z/、存在又Qlm14(x2 2, x 2为曲线的水平渐进线QlmJ专02, x 0为曲线的铅垂渐进线9),x1), b (1 x,t),若 f(x) a?b在曲线经过(1 73,0) , (1 木,0) , ( 1,:2 、(1,6), (2,1), (3,2)这几个点 9通过上面的讨论可大致绘出图形(如图1 . 5利用导数求参数问题利用导数求函数中参数的范围，它是利用导数求函数单调性、极值、最值的延伸。r .例12、(05湖北理)已知向量a (x2区间(-1,1)上是增函数，求t的取值范围.解：由向量的数量积定义,232f (x) a ?b x (1 x) t(x 1) x x tx t上是增函数，则f (x) 0f(x) 3x2 2x t ,又 f(x) a?b 在区间(-1,1)t 3x2 2x在(-1,1) 上包成立.令 g(x) 3x2 2x在区间-1,1上，则 g(x)max g( 1) 5,故在区间(-1,1)上使t g(x)包成立,只需t g( 1)即可，即t 5.即t的取值范围是5,).2 .导数在曲线中的应用曲线y f(x)在点x0处的导数f (x0)在几何上表示为：曲线 y f(x)在点A(xo, yo)处切线的斜率。即f (xo) tan利用导数这一几何意义可以帮助我们解决解析几何中有关曲线的一些问题2一 2例13、(2003全国图考题)已知抛物线G : y x 2x和抛物线C2: y x a,当a取何值时,G和C2有且仅有一条公切线？写出公切线的方程。解：函数yx2 2x的导数y22x 2 ,曲线G在点P(x1，x12xi)的切线方程是 y (x2 2xi)(2xi2)( x xi) ,即 y (2xi 2)x2 xi(1)函数yx2 a的导数y 2x曲线C2在点Q(x2, x2 a)的切线方程是,2y ( x2 a)2x2(x x?),即 y22x?x x a(2)若直线l是过P和Q的公切线，则(2所以 y (2x1 2)x x1y2x?x x2 a1)式和(2)式都是l的方程消去x2得方程2xi22x, a 1由于公切线仅有一条，所以当V 4 8(1 a) 0,即 a1 一，2时解得x11，-,此时公切线方程为y x 2例14、已知P是抛物线y2 4x上的动点，求过P到直线x y 5距离。解：(如图10)由y2 4x得y 2jx易知y2 vx上的点到直线x y 5 0的距离最小。由 y 2 Jx 得 y , ,- x0的最小于是曲线y2Vx上过点p(x, y)且与直线1x y 5 0平仃的斜率为k y -7=1 ,得x 1 ,则y 2 ,、x那么点p(1,2)到直线x y 5 0的距离为| 1 2_ 5 | 242 2故抛物线y2 4x上的动点，求过P到直线x y 5 0的最小距离为2723 .利用导数研究方程的根例15、已知f (x) ln x, g(x) x ,是否存在实数k,使方程1g(x2) f (1 x2) k有四个不同的实数根，若存在，求出 k的取值范围；若不 2存在，说明理由。1 A122122解：令 h(x) g(x ) f(1 x ) x ln(1 x ) k22则 h (x)2x1 x21 x2x(x 1)(x 1)1 x2令h(x) 0,得x 1,0,1.当x变化时,h(x)、h(x)的变化关系如下表:x(,1)1(1,0)0(0,1)1(1,), h (x)一0+0一0+h(x)极小值1一In 22Z极大 值0极小值1 ln22Z1故存在k (- ln 2,0),使万程有4个不同的实数根 24.应用导数证明不等式利用高中新增内容的导数来证明不等式，关键是“构造函数” ，解决问题的 依据是函数的单调性，这一方法在高等数学中应用的非常广泛， 体现了导数的工 具，也是与高等数学接轨的有力点。例 16、若 x 1 ,证明：ln(x 1) x证明：令 f (x) ln(x 1) x贝 1 f (x) 1x-,x 1 x 1又 x 1 ,贝U x 1 0则当1 x 0时，f(x) 0, f(x)为增函数当x 0时，f(x) 0, f(x)为减函数所以当x 0时，f(x)取得最大值因此当x 1时包有f(x) 0,即x 1时，有ln(x 1) x例17、(2004年全国卷理工22题)已知函数f(x) ln(1 x) x , g(x) xln x ,a b设0 a b证明：0 g(a) g(b) 2g() (b a)ln 22证明：由 g(x) xlnx 有 g(x) In x 1设 F(x) g(a) g(x) 2g(a一x)2则 F(x) In x 1 2g(a-x) In x In ax22当0 a x时，F (x) 0,当x a时，F (x) 0因此，F(x)在区间(0, a)内 是减函数，在区间a,)函数，在区间内为增函数，于是在 x a, F(x)有最小 值 F(a) 0又 b a,所以。g(a) g(b) 2g(a-b) ;2、1a x设 G(x) g(a) g(x) 2g(2) (x a)ln 2,则 G(x) g (x) 2g() In 2 In x ln(a x)2当x 0时，G (x) 0,因此G(x)在区间(0,)内为减函数；因为 G(a) 0, b a,所以 G(b) 0, a b即：g(a) g 2g (丁(b a)ln 2 oa b综上述：0 g(a) g(b) 2g(a-) (b a)ln 25.导数在数列中的应用导数在函数与不等式方面的应用是考试的热点，而数列作为实质意义上的函数，利用导数研究数列的单调性及最值问题更简便。例18、已知函数f (x) 2x 2x,数列an满足f (log2an)2n(D 求 an； (2)证明数列an是递减数列1解：(1)由已知有an 2n,即a.110000 ,而 f(10000) ，f (1) 2001001 f(x), g(x)存在，且 g(x) 0 , (3) lim Ux) 存在 xxg(x) 2nan 1 0 ann彳# ann . n2 1又 an 0,所以 ann Jn2 1(2)令 f(x) x &一1则 f(x) = 1,因，x 1,所以 f(x) 0 22,x 1, x 1所以f(x)是递减函数，则f(n)也是递减的所以数列a。是递减数列 人 例19、已知数列如一,求此数列的最大项。n 10000解：考察函数f(x) G (x 1),则f(x)q0000 x令 f (x) 0,贝U xx 100002、. x( x 10000)而 lim f (x) xlimxG 0 x 1000012006. 1“0”型和“一”型0将f(10000), f及lim f(x)比较知,f(x)的最大值为f (10000) x故该数列最大项为第10000项，这一项的值为 一。2006.利用导数求极限一一洛必达法则lim g(x) 0(或 x a(x )定理 若函数f(x)与g(x)满足条件：(1) lim f (x) x a (x )贝U必有：lim Ux)xx a ) g(x)_ ， f (x) lim xxa )g(x)x例 20、求 lim x 02xx sin xx xe e 2x用牛：lim x 0 x sin xx x ce e 2 lim x 0 1 cosxx xx x.ee .e e olim lim 2x 0 sin x x 0 cosx6. 2其他形式洛必达法则只适应于”型，对于其他式子，需要经过一系列变换转化为“00表示可转化为）型和“”型，在利用洛必达法则来求解。其步骤如下：（“”或0 101 一 一.，一1型，再经过通分0对于00型，1型,0型，先取对数0 型,在利用的方法求解。例21、求下列极限 lim x(一x 2arctan x)ln xlimx ，1I x1 1arctanx解：（0型）limxx(2arctanx)lim xlimx11 x211x型）1ln x)lim1xlnx x 11(x 1) ln x 21(1 型)lim x1 x 1In xlim e1 xx 1Inx lim x 11 x e7 .物理学中的导数导数是一个量对另一个量的变化率，在物理学中，物体的动量对时间的导 数为合力，位移对时间的导数为速度，速度对时间的导数为加速度，质量对体积 的导数为密度，电量对时间的导数为电流强度，电压对电流的导数等于导体的电 阻，单位质量的物质吸收或者放出的热量对时间的导数等于物质的比热容，电容器的电量对电压的导数等于电容，功对时间的导数等于功率，磁通量对时间的导数的相反数是感应电动势，在场强方向上电势对位移的导数等于电场强度等等。例21.一质点运动方程为s 8 3t2(1)求质点在1,1t这段时间内的平均速度；(2)求在t 1时的瞬时速度(用定义和求导两种方法).解：(1 )质点在1,1 t这段时间内的平均速度为：f(1 t) f(1)6 3 t6 3 1tt(2)定义法：质点在t 1时的瞬时速度v lim-s6t 0 t导数法：质点在t 1时的瞬时速度v s(t)6t当t 1时，v 6例22、假设一个闭合线圈的磁通量3sin(5t) 4cos(5t),求感应电动势的最大值。3 斛：根据电磁感应止律15cos(5t) 20sin(5t) 25sin(5t arctan-),4所以感应电动势的最大值为25V。8 .经济学中的导数应用数学的应用遍及所有的科学领域，也深入到人们的日常生活，而导数高等数 学知识也逐步应用到各种经济问题。1、边际问题边际成本，边际收益，边际利润，边际需求在数学上可以表达为各自总函数 的导数.比如某工厂对其产品的情况进行了大量统计分析后，得出总利润 L(Q)(元)与每月产量Q (吨)的关系为L L(Q) 250Q 5Q2,试确定每月生产20吨，25 吨，35吨的边际利润并作出经济解释.边际利 润函数 L(Q) 250 10Q ,则 L(Q)|x 20 50 , L(Q) |x 25 0 ,L(Q)|x 35100 ,上述结果表明当生产量每月为 20吨时再增加1吨，利润将增加50元；当生产量每月为25吨时再增加1吨，利润将不变；当生产量每月为 2035吨时再增加1吨，利润将减少100元.这说明，对厂家来说，并非生产的产 品数量越多，利润就高.2.弹性分析在经济管理中弹性的概念应用十分广泛，许多场合都可以用弹性来解释和分析现实的经济现象，主要有需求的价格弹性，供求弹性，收益弹性，交叉弹性等.3、最优方案选取例23.某厂年需某零件8000个，现分期分批外购，然后均投入使用(此时 平均库存量为批量的一半)。若每次定货的手续费为40元，每个零件的库存费为 4元，试求最经济的定货批量和进货批数。解：设每年的库存费和定货手续费为 C,进货的批数为x ,则批量为 照个,x,、8000 1 )16000、, 、16000 Cc c(x) 4 40x 40x ,贝U c (x)2 40x 2xx得唯一白驻点x 20 ,而c(x)32000.320等0 ,故驻点为极小值 x所以最经济白定货批量400个和进货批数为20批。结束语:导数在中学数学中的应用非常广泛， 涉及到中学数学的各个方面。本文就导数的有关知识在中学数学中的应用进行了探讨。 阐述了利用导数知识研究函数 的单调区问、最值等问题的基本方法，以及导数为解决某些不等式的证明、 方程 求解和数列相关问题提供了捷径。同时导数知识在研究曲线的切线方面和解决实 际问题中也有着广泛的应用。同时，导数是我们研究中学数学的一个有力工具， 它使各个章节的内容联系的更加紧密，有助于我们对中学数学的深入学习。参考文献：1工程技术常用数学梅里特；陈三平；丁仁 科学出版社 19762应用数学教程刘崇丽化学工业出版社1998.93经济应用数学 北京市农业管理干部学 科学普及出版社1991.104数学分析华东师范大学数学系高等教育出版社 2001