概率1-2,3,4例题

例题（二）古典概型L等可能完备事件组如果一个事件组4它满足下列三条性质：，人发生的机会相同（等叮能性）；（2）在任一次试验中，4，4,.4至少有一个发生（完全 性h（3）在任一次试验中，儿，儿至多有一个发生（互不相 容性）.则称该事件组为等可能完备事件组，或称为等概基本事件组,称其 中任一事件4（?=1.2 ,，川）为基本事件.2.古典概型如果，儿是一个等概基本事件组*事件B是由其中 的某碑个基本事件所构成，事件B的概率应由公式（1）计算$p二?利用公式口）来计算事件的概率的模型称为古典概型.（三）事件的运算及概率的加法公式设有两个事件与伉如果A发生，那么B必发生，则称事件 8包含事件小记作AC1B 或如果事件八包含以同时事件B也包含事件A，那么就称事 件A与. 相等，记作A-ai2 .事件的和与积“两事件月与8中至少有一个发生，也是一个事件，称为月 与B的和，记作工U3,或A+R两事件4与B同时发生”也是一个事件，称为A与R的积, 记作乂/?或qn*.3 .对立事件与事件的差如果在每次试验中，事件 人 与事件B必有个发生,但不能 同时发生.即则称B是工的对立事件(或,4是8的对立事件，记为8=再(或 A-B).发生而B不发生”也是一个事件，称为A与X之差，记作A 84 .事件的互不相容性在一次试验中，如果事件小与事件B不能同时发生，即 (不可能事件)则称 与8是互不相容的事件.5 ,概率的加法公式(1)概率的加法公式I ：如果事件舛,“互不相容则f(A4 8) = F(A)+F(5)(2)公式(2)可推广到宣个事件的情形.设n个事件4,4，,4 互不相容”则P(A+&HH4)=P(4)+尸(4)HFPC4.).(2)概率的加法公式I :对任意两事件A,B,有P(A + B)=P(A)+?一汽曲(四)条件概率乘法公式独立性L条件概率如果A.8是条件组S下的两个机事件 U)声。则称在13司发生的前提下I发生的概率为条件概率，记作P(BA2.乘法公式(D条件概率尸(引A)与事件的原概率的关系为PCBA) =P(AB)PCA)-(2)概率的乘法公式P(AB)=PS)PCB|A)(5)或P(AB) = P(B)P(AB)(593事件的独立性(D设有两个事件入团如果满足尸(A8)=P(A)F3)则称月，8是相互独立的.(2)设有内个事件4,4八、4,如果对于其中任意H24&*落公个事件八，也互不相同)下都有4广4)=产(4)P(/) ”尸),则称这对个事件4,，4相互独立.(五)独立试验序列概型独立试验序列概型计算公式I设单次试验中，事件1发生的 概率为力。力1),则在那次重复试验中八A发生点次)=(?；/-g = l p，A = O,l ,2,团).(六)全概公式与逆概公式1.全概公式如果事件组4满足.4,4，4 互不相容，而且)= 1.2,“f+(2)4+4+ 4产。(完全性).则对任一事件B皆有7)i=l耦足上述(1),(2)条件的事件组A】,4,-,4叫做完备事件蛆.2,逆概公式设4,一，凡为一完备事件组，则对任一事件B(P# 。)有皿心 PG40P(8|lj)、 小产3) = i- (j=l,2,e) 18)SP(A)P(B|A).=】逆概公式(8)也称为贝叶斯公式.(二)古典概型的求解首先要判别求解的问题是不是属于古典概型.如果所涉及的 试验具有两个基本特征；(1)只有有限多种不同的可能结果，即只有有限多个基本事件M基本事件是两两互不相容的)；(2)所有基本事件出现的可能性相同.则称此试验是古典概 型.在古典概型中,如果事件月是由帆个基本事件所组成,或者 说有阳个基本事件是使月出现的，则事件A的概率应为一 如何确定 的值,这是解题的关键.古典概型计算方法灵 活多变，没有一个固定的模式，一般地说，当基本事件总数较少时, 可以直接把基本事件总数与事件乂所包含的基本事件数也，一 一列举出来.当基本事件总数较多时,琏于列举，可以利用排列独 台的知识求出叭加的值.这种方法称为直接法.有时直接法计算 不方便，可根据题意间接地先求与事件人有关事件的概率.再利 用概率的性随推求尸(人)t称此法为间接法.如通过求4的对立事 件7的概率T再利用PG4) = P(2求得PG).古典概型的问题表现的形式是多样的，但大部分都可用“摸四、例题分析例1设有36件产品，其中有4件次品今任取3件，求1) 其中恰有1件次品的概率Z2)至少有一件次品的概率，解这是典型的古典概型题目，可按古典概型公式计算.(1)设月=恰有1件次品基本事件总数应为Cn6,使后发生的基本事件数为G C葭于是月 的概率为PA) = C * C2 =-0. 277&36 U X解法一 设4: “至少有一件次品儿=有一件次品”,4=有2件次品，4 = ”有3件次品乙儿,儿，儿是两两互不相容.其中尸（4）=心氏2778.产=%0. 0269.尸（出）=七Q. 006.所以 FS）=F（4）+尸（4）+产（4） =。，3053解法二 设耳=3件都是正品九P = E 0. 6947.相所以F（力）=1 一片（耳）= 1 C. 6947 = 0, 3053.例2十把钥匙中有三把能打开门锁今任取两把求能打开 门锁的概率.解法一设上能打开门顿基本事件总数应为C%=45.两把能打开门锁的情况：,1）两把全是能开门锁的钥匙F（Z）把能开口锁的钥匙一把不是.使再发生的基本事件数为G G+G C=3+21 一冽.94 R所以P（5=* =录= 0.533.4510解法二 设胃=”不能打开门锁*.使N发生的基本事件数C； . C-2b三7所以尸（胃=令=14a ib解法三用不放回，有次序抽样米分析:设力“能打开门锁I从1。把钥匙市抽两次,每次抽一把（无 放回）：基本事件总数为巴口 = 90.使人发生的基本事件数；可由 （第一、二次全抽到能开门锁钥匙 N第一次抽到能开门钥匙.第二 次抽到不能开门银钥匙h1第一次抽到不能开f J锁钥匙，第二次抽 到能开门锁钥匙;中算出，上述三个事件分别记为儿且互 不相容.4包含的基本事件数=4=6,%包含的基本事件数=刊驾=2人&包含的基本事件数=尸；刊=2L于是得到A所包含的基本事件数-6 + 21 + 21=48.所以打，）=需=亲i53I例3 在所有的两位数（1099）中任取一个两位数*求这个 数能被2或3整除的概率.解 设百取出的两位数能被2整除，刀取出的两位数 能被3整除，则人+6=*取出的两位数能被2或3整除%= 取出的两位数能同时被2和3整除， 即能被6整除.因为所有的打个两位数中能被2整除的有45个，能被3整 除的有3U个，而能被6整除的有15个,由概率加法公式得：PA+B)=PA)+P(B) - P(AB)45 ,39 15290 90903 ,例4三人独立地去破译一个密码,他们能译出的概率分别为g, ,1,问能将此密码译出的概率是多少？ = C), 2,尸(814)=0. 9, PAQkO. 85, |4)=0,即(1)(人1)尸(AJ P(B|Ai)= 0.3X(L9 = 0.4S。.(2)尸(4B)=P(4) P4)= 0, 3X8 85 = 0.255.(3尸(4丑)=尸(4八 PBA/) = 0. 2X0. 8=0- 160.4J由全概公式得“BU = B(4 +A. + A +BA2BA.PCB)= W 尸(4)尸(右|4)=i=8 450+0. 255 + 0. 160 = 0. 865.即买到的热水瓶是合格品的概率为E865.例10甲箱中有5个正品，3个次品：乙箱中有4个正品，3 个次品,从甲箱中任取3个产品放入乙箱,然后从乙箱中任取,个 产品.（1）求从乙箱取出的这个产品是正品的概率.（2）如果从乙箱中取出的是正品，推测它从甲箱中抽出的各种 情况，而遣成的可能性的大小.解设8 = 从乙箱中取得正品问即是从甲箱中任取3个产品放入乙箱后，再从乙箱中取得正品的.因而B是一个复杂 嘉件.要对B根据甲箱中任取3个的各种情况，进行分解.设& = 从甲箱中取出3个正品”，从甲箱中取出2个正品I个次品”，4 = 从甲箱中取出1个正品2个次品4 =”从甲箱中取出3个次品、它们都是互不相容的.B=BU ilA+A+A + A，= BAl+BAz+ 月4任P（3） = P（3Ai）+P（8A2）+尸月 3）+ P（B4）=尸（4）尸（04）+尸（4（日|4）+尸（4）户（川43）+尸4）尸（|a）,C2 10而尸（ = %.由全概率公式得尸士尸（4）尸107 ( 306 F 65145610561010105610329560=0. 5875.（21在日发生的条件下，4发生的概率. 由逆慨公式得EP(d|R) =巴4）吓儿）P。7一飞29 一一=2128.即从乙箱中抽出一个正品,推测其原因是由甲箱中抽出3个正品 而造成的可能性为0.2128.同理可得尸孙= 0.2283PAB) = 0. 5471 +PS/6)=(h 212.从上题看到t运用全概公式与逆概公式求概率时，重要的是能 否找到一个完备事件组4 ，儿，就是说要仔细考察所关心 的事件旧随哪些情况发生.如例题中关心的“从乙箱中取得一个 正品”，只能伴随总从用箱中取出三个正品,从甲箱中取出2个正 品，1个次品”从甲箱中取出1个正品，2个次品从甲籍中取 出3个次品”四种情况的发生而发生，于是我们找到了完备事件 组，然后对事件B进行分解,按公式进行计算.