抛物线及其标准方程

教学案例 湖北省荆州中学 杨少平1.教学任务分析(1)学生已有的主要知识结构学生已经学习过椭圆,双曲线,了解了椭圆及双曲线的定义,经历了根据椭圆和双曲线的几何特征,建立适当的坐标系,求椭圆和双曲线标准方程的过程.也了解椭圆和双曲线的简单几何性质.(2)建立新的知识结构建立曲线方程的依据是:弄清曲线上的动点运动时所满足的几何条件,与椭圆和双曲线类比,弄清抛物线上的点所满足的集合条件.类比建立椭圆和双曲线标准方程的过程,建立抛物线的过程.2.教学重点和难点重点:了解抛物线的定义难点:抛物线标准方程推导及化简3.教学流程回忆椭圆及双曲线的第二定义,与已有知识联系提出类似问题,引入抛物线的定义根据条件,建立抛物线的标准方程小结与布置作业4.教学情景设计问题1:我们已经学习过椭圆和双曲线的第二定义,知道平面上到定点和定直线的距离的比是常数e的点的轨迹是:当0e1时,轨迹是双曲线.那么当e=1时,轨迹又是什么呢?设计意图:数学教学应当从问题开始.首先设疑,提出新的问题,打破知识结构的平衡,引发学习兴趣.师生活动:可以鼓励学生动手,在平面上取一个定点F和一条定直线(定点不在定直线上),观察目测,描出动点运动所形成的曲线形状,然后教师用多媒体几何画板画出动点的轨迹.问题2:在运动中这条曲线上的所满足的几何条件是什么?设计意图:弄清曲线上的点所满足的几何条件是建立曲线方程的关键之一.师生活动:观察几何画板画动点运动过程中的”变”与”不变”,不管动点如何运动,它到定点F的距离和到定直线的距离总是相等,即问题3:如果定点F要是在定直线上上呢?设计意图:考虑特殊情形,进一步完善学生思维,准确理解要建立的抛物线定义师生活动:学生思考,动手画图,教师用多媒体几何画板演示,发现这种情况图形比较简单,可以不必研究问题4:应该如何描述动点M所满足的几何条件呢?设计意图:整理实验,归纳成数学问题.师生活动:抛物线是平面上到定点F和一条定直线 (定点F不在定直线上)距离相等的动点M运动所形成的轨迹.其中定点F叫抛物线的焦点,定直线叫抛物线的准线.问题5:我们是怎样建立坐标系求椭圆和双曲线的标准方程的?假设定点F到定直线的距离为P,怎样建立适当的坐标系,求抛物线的标准方程?设计意图:求曲线方程时,建立坐标系要适当.师生活动:大多数学生会由前面的经历把定直线作为Y轴,把定点F向定直线作的垂线作为X轴建立坐标系,求出的曲线方程为;教师引导观察学生得出的方程,用平移的观点可以发现这个方程并不是最简单的,如果把图形向左平移个单位会发现方程会变得更简单(p0),从而引导学生建立更简单合理的坐标系.问题6:如果改变定点F和定直线的相对位置状况,定点F在定直线的左边;定点F在定直线的上边;定点F在定直线的下边;又该如何建立适当的坐标系?抛物线的方程又如何呢?设计意图:建立抛物线几种不同形式的标准方程.师生活动:学生自己动手推理,教师在教室中走动,观察一些同学(尤其是一些学习有困难的学生)的推理过程,并及时予以指导.问题7:你能说明二次函数的图像为什么是抛物线吗?指出它的焦点坐标和准线方程.设计意图:巩固抛物线定义,进一步从已经学过二次函数的图形上认识抛物线的形状.师生活动:学生板演,教师巡视问题8:教科书P66例题1设计意图:标准方程的应用师生活动:学生练习,教师巡视,请学生回答.问题9:教科书P66例题2设计意图:进一步巩固标准方程及其在实际问题中的应用.师生活动:教师引导学生建立适当坐标系,板书求出标准方程和焦点坐标过程.5.小结:提问:我们已经学习了抛物线,抛物线是怎样的点的轨迹?抛物线的标准方程有哪几种形式?你能说说标准方程中P 的几何意义吗?6.布置作业:教科书习题2.4A组第2,3,4题7.几点说明在学习抛物线之前,学生已经学习过椭圆和双曲线,对椭圆和双曲线的定义,如何建立椭圆和双曲线的标准方程都有所了解.因此教学中要注意运用类比的方法,在与椭圆和双曲线的联系和区别中建立有关抛物线的知识结构.教学中,把教学内容编成一系列问题,通过问题链,问题解决,形成新的知识结构.教学中注意学生能干的事让学生去干,可以运用板演,相互交流,相互检查等方式,让学生开展合作学习.延迟判断,不要把结论强加给学生,注意学习过程中的主动研究.