第七章 离散时间系统的时域分析

徐州师范大学物理系徐州师范大学物理系离散时间系统的时域分析Chapter7Discrete systems本章要点本章要点抽象信号与抽样定理抽象信号与抽样定理离散时间系统的描述和模拟离散时间系统的描述和模拟常系数线性差分方程的求解常系数线性差分方程的求解离散时间系统与连续时域分析法的比较离散时间系统与连续时域分析法的比较FFFFFFFF徐州师范大学物理系徐州师范大学物理系7.1 7.1 引言引言)(kX)(kY激励是离散时间信号响应是离散时间信号离散系统连续系统模拟卷积定理连续傅立叶变换拉氏变换卷积积分微分方程连续时间系统离散系统模拟卷积定理离散傅立叶变换变换卷积和差分方程离散时间系统Z徐州师范大学物理系徐州师范大学物理系1122334k)(1kf12 3 4k)(2kf数字信号)(均匀采样采样信号仅在一些离散时刻上才有定义的信号（仅在一些离散时刻上才有定义的信号（k=0, 1, 2)把离散信号的幅度进行量化成数字信号。把离散信号的幅度进行量化成数字信号。一、离散信号的定义一、离散信号的定义徐州师范大学物理系徐州师范大学物理系二、离散信号的表示二、离散信号的表示1、解析式、解析式单边离散信号双边离散信号）（0.2 , 1 , 02)(.2, 1, 012)(kkkkfkkkfk2、序列形式、序列形式0.4 , 2 , 0)(.2, 2 , 2, 2.)(kkfkf徐州师范大学物理系徐州师范大学物理系3、波形图、波形图将离散信号各个样值与其对应的将离散信号各个样值与其对应的k值在平面上表示值在平面上表示kkf)(12223 4k)(kf12徐州师范大学物理系徐州师范大学物理系)()(k 定义：单位冲激序列10001kk)(k k1012)(nk k1n01 2三、常用离散信号三、常用离散信号徐州师范大学物理系徐州师范大学物理系)(k 、单位阶跃序列20001kk)2( k01 231k4 5knnkkkk)()()()()( 1显然：)(k01 231k )(nk001knk徐州师范大学物理系徐州师范大学物理系)()(kakxk 、单边指数序列3k)(kx0123徐州师范大学物理系徐州师范大学物理系kkxsin)(4、正弦序列0 1 2 3456 7 8k)(kx包络线为正弦函数，是周期的包络线为正弦函数，是周期的但但x(k)可以是周期的也可以是非周期的可以是周期的也可以是非周期的为整数）期序列为整数时候，序列为周当kNk(T2Nmin)4sin()(kkf例：kkkN84228N徐州师范大学物理系徐州师范大学物理系例：试判定下列两个离散序列的周期性例：试判定下列两个离散序列的周期性kkfkkf21cos)(,3sin)(答案：周期序列，非周期序列答案：周期序列，非周期序列徐州师范大学物理系徐州师范大学物理系列都是周期序列。注意：并非所有正弦序正整数，称为周期。为使上式成立的最小实周期序列定义：NrNkxkx)()(徐州师范大学物理系徐州师范大学物理系)()()(21kfkfkf)()()(21kfkfkf)()(1kafkf 序列和序列和 序列积序列积 乘标量乘标量四、离散信号的运算四、离散信号的运算徐州师范大学物理系徐州师范大学物理系k)(kx32101 2k)(kx 32101 2k)(kx32101 2k)(1kx32101 2k)(kx 32101 234序列反转序列平移右移左移徐州师范大学物理系徐州师范大学物理系3 信号的分解信号的分解)()(.)2()2() 1() 1 ()()0()(0ikifkfkfkfkfi4 序列的能量序列的能量2)(kkx单边序列单边序列iikifkf)()()(双边序列双边序列徐州师范大学物理系徐州师范大学物理系5、离散序列的卷积和、离散序列的卷积和)()()()()(*)(122121jkfjfjkfjfkfkfjj定义：)()()(*)()()(2012121jkfjfkfkfkfkfkj均为因果序列，当徐州师范大学物理系徐州师范大学物理系卷积和计算：卷积和计算：1、应用定义计算、应用定义计算)() 1(11)()()(*)(0kkjkjkkkjj例徐州师范大学物理系徐州师范大学物理系2、图解法、图解法（1）作出）作出)(),(21jkfjf的波形的波形（2）随着）随着k的变化，计算的变化，计算)()(21jkfjfj)( j01 231j)(jk 01jk1k.2)(*)(11)(*)(00)(*)(0kkkkkkkkk时，时，时，徐州师范大学物理系徐州师范大学物理系3、表格法：适用于有限长序列、表格法：适用于有限长序列f 2(0)f 2(1)f 2(2)f 2(3)f1(0)f1(0) f 2(0) f1(0) f 2(1) f1(0) f 2(2) f1(0) f 2(3)f1(1)f1(1) f 2(0) f1(1) f 2(1) f1(1) f 2(2) f1(1) f 2(3)f1(2)f1(2) f 2(0) f1(2) f 2(1) f1(2) f 2(2) f1(2) f 2(3)(1kf)(2kf徐州师范大学物理系徐州师范大学物理系例：已知例：已知f f1 1(k)=1,2,3(k)=1,2,3k=0k=0 f f2 2(k)=1,1,1(k)=1,1,1k=0k=0 试用表格法求试用表格法求f f1 1(k)(k)* *f f2 2(k)(k)f2(0)=1f2(1)=1f2(2)=1f1(0)=1111f1(1)=2222f1(2)=3333)(1kf)(2kf0213 , 5 , 6 , 3 , 1)(*)(kkfkf徐州师范大学物理系徐州师范大学物理系例：已知例：已知f f1 1(k)=1,2,3(k)=1,2,3k=-1k=-1 f f2 2(k)=1,1,1(k)=1,1,1k=-3k=-3 试用表格法求试用表格法求f f1 1(k)(k)* *f f2 2(k)(k)f2(-3)=1 f2(-2)=1 f2(-1)=1f1(-1)=1111f1(0)=2222f1(1)=3333)(1kf)(2kf4213 , 5 , 6 , 3 , 1)(*)(kkfkf徐州师范大学物理系徐州师范大学物理系卷积和性质：交换律卷积和性质：交换律结合律结合律分配律分配律)(*)()(*)(1221kfkfkfkf)(*)(*)()(*)(*)(321321kfkfkfkfkfkf)(*)()(*)()(*)()(3231321kfkfkfkfkfkfkf)()(*)()()(*)(nkfnkkfkfkkf)()(*)()(*)()(21221121kkkfkkfkkfkfkfkf则若徐州师范大学物理系徐州师范大学物理系主要讨论线性非移变系统。线性系统： if )()(11kkye)()()()(22112211kkkkycycececthen)(2)(2kkye 离散时间系统离散时间系统非移变系统)()(kkye)()(ikyikeIfthen徐州师范大学物理系徐州师范大学物理系)(1 ke)(1 kyLTI)()(2211kkececLTI)()(2211kkycycLTILTI)(2 ke)(2 kyLTI)(ke)(ky)(Nke)(Nky 线性时不变系统的特性线性时不变系统的特性徐州师范大学物理系徐州师范大学物理系 连续信号的数字化连续信号的数字化)(tfs0Tst7.2 抽象信号与抽样定理)(tft0)(tf连续信号抽样抽样信号数字信号量化编码抽样脉冲)(tS)(ts)(tfs)(tfs)(tf)(tf)(tfs)(S t电子开关徐州师范大学物理系徐州师范大学物理系问题： 1 是否保留了原信号 的全部信息？ 2 在什么条件下， 可以 中无失真地恢复出原连续信号 ？)(tfs)(tfs)(tf)(tf)(tS0Tst当 时0 nsTnTtttS)()()()()()()()(ttftStftfTs徐州师范大学物理系徐州师范大学物理系)( Fm 0m 1)(tf0t)(tfsTs2Ts2STTs0t)(tSTs2Ts2STTs0t由频域卷积定理)( Ts s )(s 0 )( SF0m Ts1s 徐州师范大学物理系徐州师范大学物理系m m 01)( G )(tgm 1m 10t)()()()(ttftgtfTs 1mwmw1w)( F)()()()()()()()( TsTsssFGGFTGFT121由时域卷积定理)(tfs0t)( SF0m Ts1s s 徐州师范大学物理系徐州师范大学物理系时域抽样定理： 一个频谱受限的信号 ， 如果频谱只占据 的范围， 则信号 可以用等间隔的抽样值表示。而抽样间隔必须不大于 抽样频率为 。最低抽样频率 称为“奈奎斯特频率”。)(tfmm )(tfmf21mmf 2mffs2（其中 )(22msmsff 或者徐州师范大学物理系徐州师范大学物理系离散时间系统线性非线性时不变时变7.3 离散时间系统的描述和模拟最常用的是最常用的是“线性、线性、 时不变系统时不变系统“徐州师范大学物理系徐州师范大学物理系一、离散时间系统一、离散时间系统)(ke)(ky离散系统二、离散时间系统的描述二、离散时间系统的描述N N阶差分方程：表示阶差分方程：表示e(ke(k) )与与y(ky(k) )之间关系之间关系)() 1(.)()() 1(.) 1()()() 1(.)()() 1(.) 1()(0101101011nkebnkebnmkebnkyankyakyakykebkebmkebkyakyankyankymnmn后向差分方程前向差分方程徐州师范大学物理系徐州师范大学物理系)(kx)1(kx（a）延时器)(kx)()(kykx)(ky（b）加法器a)(kx)(kax（c）标量乘法器三、离散时间系统的模拟三、离散时间系统的模拟D D1 1、三种运算器件、三种运算器件徐州师范大学物理系徐州师范大学物理系2 2、离散系统的模拟框图、离散系统的模拟框图)() 1(.)()()() 1(.) 1()()(),(01011kqbkqbmkqbkykqakqankqankqkekqmn则使引进一个1bDDDD0b)(ke)(nkq) 1( nkq) 1( kq)(kq)(ky1na1a0amb徐州师范大学物理系徐州师范大学物理系)() 1()() 1(3)2(kekekykyky例、差分方程的模拟。徐州师范大学物理系徐州师范大学物理系方程。示，写出该系统的差分例、某离散系统如图所)(kx)(ny)(1nyDD)(2ny4121)(kx)(2ny)(1nyDD)(ny4121)(a)(b徐州师范大学物理系徐州师范大学物理系后向差分方程为二阶差分方程22241121241121)()()()()()()()()()(nnnxnynynynynynxnya（前向差分）二阶差分方程,)()()()()()()()()(nxnynynynynynxnyb411212411212徐州师范大学物理系徐州师范大学物理系图输出延时两位。图较下，响应形式相同，但有所不同。在相同输入端别，仅输出信号的取出这两个系统没有本质区讨论：)()(ab1数字滤波器描述）。差分方程比较方便（如、一般因果系统用后向2程。程。惯用前向形式的差分方惯用前向形式的差分方、在状态变量分析中习、在状态变量分析中习3似似。方方法法与与后后向向差差分分方方程程类类、前前向向差差分分方方程程的的求求解解4徐州师范大学物理系徐州师范大学物理系7.4 7.4 离散时间系统的零输入响应离散时间系统的零输入响应0)() 1(.) 1()(011kyakyankyankyn迭代法一、零输入响应引进移序算子s)()()2()() 1()(2nkfkfskfkfskfkfsn0)(.0111kyasasasnnn徐州师范大学物理系徐州师范大学物理系为特征根，特征方程：nnnnasasas2101110.0)()(1121nnss均为单根时，）（knnkkzicccky2211)(112211122112121) 1() 1 ()0(,nnnnnnnnncccnycccycccyccc由初始条件定.) 1(y或初始条件徐州师范大学物理系徐州师范大学物理系.).()(0)()(22211122101kkmmzinmckakakaakyss）为重根时（kzikkzijkDkkycckye12122111112)sincosD()()()3(有复数根徐州师范大学物理系徐州师范大学物理系二、离散时间系统稳定性判别激励有限，响应也有限（或激励为0时，响应 亦趋于0）k111iii不稳定临界稳定稳定特征根位于单位圆内特征根位于单位圆内上的单根特征根位于单位圆外徐州师范大学物理系徐州师范大学物理系ReiiIn徐州师范大学物理系徐州师范大学物理系例题77 有一离散时间系统，用下列差分方程描写)(2) 1()(2) 1(3)2(kekekykyky初始条件为y(0)=0,y(1)=1.求该系统的零输入响应。解：该系统零输入响应的方程为0)(2) 1(3)2(kykyky徐州师范大学物理系徐州师范大学物理系kkkzicccckyss2)(2, 1023212211212特征方程为带入初始条件0,21)(12) 1 (0)0(2121kkyccyccykzi徐州师范大学物理系徐州师范大学物理系7.4离散时间系统的零状态响应及全响应求解一、离散时间系统的单位函数响应)(khs)(k)(kh)() 1(.)()() 1(.) 1()(01011kebkebmkebkyakyankyankymn)().()().(0101kebsbsbkyasasmmn01010101.)()()()(.)(asasbsbsbsHkesHkeasasbsbsbkynmmnmm徐州师范大学物理系徐州师范大学物理系) 1(.) 1() 1()()(.)()()(11221112211kAkAkAkhksAsAsAksHkhmnknnkknn）（时，) 1(.) 1() 1()()()(.)()()(1122111022110kAkAkAkAkhksAsAsAAksHkhmnknnkknn）（时，时，违反系统的因果性mn 徐州师范大学物理系徐州师范大学物理系二、零状态响应的卷积和表示s)(k)(khs)(ke)(*)()(khkekyzs0)()(.) 1() 1 ()()0(jjkjekeke0)()(.)1()1 ()()0(jjkhjekhekhe徐州师范大学物理系徐州师范大学物理系例题79 一离散时间系统用以下差分方程表示)(3)2()(6) 1(5)2(kekekykyky试求（1）该系统的单位函数响应。（2）当系统输入为单位阶跃序列时系统的零状态响应。) 1(2) 1(32)() 1()2(1) 1(36)()()()21361 ()(653)()()(11122kkkkkkkhkssksssksHkhkkkk解：徐州师范大学物理系徐州师范大学物理系)(*)()(khkekyzs) 1()21 () 1()31 ( 3)() 1(2*)() 1(3*)(2)()1(2) 1(32)(*)(11kkkkkkkkkkkkkkkkkk徐州师范大学物理系徐州师范大学物理系例：已知一个离散时间系统的单位函数响应h(k)为)()(kkhk试求:(1)该系统的转移算子H(s)（2）判定该系统的稳定性ssssHkskkkhk11)()()11 () 1()()(1解：徐州师范大学物理系徐州师范大学物理系连续时间系统与连续时间系统与离散时间系统离散时间系统时域分析法比较时域分析法比较信号连续系统离散系统连续信号离散信号方程微分方程差分方程特征根的意义tec11kc11稳定性连续系统离散系统所有的特征根位于s平面的左半平面所有的特征根位于单位圆内