模态参数辨识方法

模态参数辨识的频域方法张永强高级工程师靖江泰斯特电子有限公司西北工业大学振动工程研究所分析分量法导纳园识别方法正交多项式曲线拟合!VE Institute of Vibration Engineering, Northwestern Polytechnical University, China!VE Institute of Vibration Engineering, Northwestern Polytechnical University, China!VE Institute of Vibration Engineering, Northwestern Polytechnical University, China分量分析法将频响函数分成实部风量和虚部分量进行 分析。-基本公式和主模态概念N自由度结构系统结构，p点激励1点响应的实模态频 响函数IH理*“r=l(1-2)2 + g；(1-衬)2 + g；WprCDr - colCDr等效刚度与测点与激励点有关主模态：当趋于某阶模态的固有频率时，该模态起主要作用 此时起主要作用的模态成为主导模态，或叫主模态。主模态附近频响函数-若模态密度不很大，各阶模态比较远-则其余模态频响函数在该主模态附近较小，且几乎不随频率变化-因此在第r阶模态附近可用剩余模态表示频响函数!VE Institute of Vibration Engineering, Northwestern Polytechnical University, China!VE Institute of Vibration Engineering, Northwestern Polytechnical University, China1 研2)2 + g；7(l 2)2 + g；+ (用+用) （莎）=H阿二心丄（1-研r+g；L g剩余模态的实部与虚部!VE Institute of Vibration Engineering, Northwestern Polytechnical University, China!VE Institute of Vibration Engineering, Northwestern Polytechnical University, China!VE Institute of Vibration Engineering, Northwestern Polytechnical University, ChinaS）实頻图（b）邃频图实频图与虚频图剩余模态与频率无关在实频图和虚频图上相当于将横坐标平移一距离此平行线又名剩余柔度线二模态参数的确定2固有频率的确定-实频线与剩余柔度线交点确定-虚频线的峰值确定-峰值较尖，确定容易-剩余柔度尺寸无影响-因此用虚频峰值确定更好!VE Institute of Vibration Engineering, Northwestern Polytechnical University, China阻尼比或S的确定用半功率带宽来确定A0.二 结构阻尼系统阻尼比系数gr = a 或 gr =粘性阻尼系统阻尼比系数Institute of Vibration Engineering, Northwestern Polytechnical University, ChinaInstitute of Vibration Engineering, Northwestern Polytechnical University, ChinaT或二啦旦2a）Institute of Vibration Engineering, Northwestern Polytechnical University, China!VE Institute of Vibration Engineering, Northwestern Polytechnical University, China-模态振型的确定对=1主模态(不含剩余柔度)K&.测出L个测点的H佔*值(1=1, 2, 3, L)侃何二1)广久码g) 二-Krgr%氏 = 1)LxlVPlt)Lxl单点激振时羞为常数，所以上式即为模态振型。对激励点归一化的振型侃（丽1）广-亡呱訂-模态刚度的确定取原点频响函数且对原点归一化H1 (co = 1)=-K& Krgr 1模态刚度K1-模态质量的确定M严电-分量分析法的特点简单方便，许多信号分析仪有实虚频图分析能力；当模态密度不高时，有一定的精度；:峰值有误差时，直接影响辨识精度；:模态密集时，用半功率带宽确定模态阻尼，误差较大；模态密集时剩余模态不能用复常数表示，辨识精度受影响;图解法受图解精度的影响。导纳圆辨识方法基本方法在共振峰值附近取610个频率点；用它们拟合Nyquist导纳圆图；拟合方法是理论圆上的数值与实测值之间的误差最 小；根据导纳圆特点辨识模态参数；相邻模态耦合较松忽略剩余模态时多自由度系统第 阶模态附近可按单自由度处理，近似公式如下：!VE Institute of Vibration Engineering, Northwestern Polytechnical University, China-固有频率圆上使攵仏具有最大值的点co - 1 时， maxdco-模态振型p点激励1点响应的位移导纳虚部的大小为导纳圆直径; 由各测点导纳圆半径组成的归一化向量组成。K 。 %广2恢讣rSrlP心1,2,3,，厶!VE Institute of Vibration Engineering, Northwestern Polytechnical University, China-模态阻尼根据导纳圆儿何关系即可求co-cox2 U Lr tan乞+如乞2 2-模态刚度取原点频响函数对原点归一化:伟广1求岀原点导纳圆半径后由!VE Institute of Vibration Engineering, Northwestern Polytechnical University, China!VE Institute of Vibration Engineering, Northwestern Polytechnical University, ChinaKer 二一导纳圆求模态阻尼2(j此时有1/K =(p cp IK =l/Ker f pr pr r、K 二 Krer!VE Institute of Vibration Engineering, Northwestern Polytechnical University, China!VE Institute of Vibration Engineering, Northwestern Polytechnical University, China!VE Institute of Vibration Engineering, Northwestern Polytechnical University, China-模态质量Mr = Krl.-多自由度多模态情况导纳圆有多个，不一定是整圆；根据各段圆弧拟合各导纳圆；如图有三个模态的固有频率。-导纳圆方法的优缺点不仅利用频响函数峰值信息；同时利用附近很多点的信息；没有峰值信息也可求出固有频率;此法任建立在主模态基础之上，模态密集时误差较大;精度受图解精度限制；许多仪器都能显示导纳圆图。!VE Institute of Vibration Engineering, Northwestern Polytechnical University, ChinaInstitute of Vibration Engineering, Northwestern Polytechnical University, ChinaInstitute of Vibration Engineering, Northwestern Polytechnical University, Chinan=2N m=n-2 s=jwN(s)丽bQ + bxs + b2s2 + *bnsn正交多项式曲线拟合-基本思想计算机方法构造多项式传递函数测得L个频率点的频响函数构造理论值和测量频率点值的误差使误差值最小求得多项式的系数得到拟合的频响函数Institute of Vibration Engineering, Northwestern Polytechnical University, China* = N(s)D 口：极点：令分母多项式为零，此时的S为极点 由极点可求的固有频率和阻尼比N 兀($)二 r=l留数（振型）：A -N lpr D(s)工帀曲扌以参数辨识的关键间题是如何使频响函数的实测值与理论值 之间的总方误差最小，即进行搜索，寻找一个使目标函数 最小的最优值。若第j个频率点创处的频响函数值以Hj表示 ,而实测到的值用 康示，则滾差疥可表示如下：由于Hj的表达式中，其分母含有待辨识的固有频率与模态 阻尼比，因而密按其本质来说，对待辨识的参数是非线性 的。假若我们构造一个误差函数“使ej与待识别参数成 线性关系，进而进行最佳搜索，则为线社优化方法，本节 所述即为线性优化方法之一。Institute of Vibration Engineering, Northwestern Polytechnical University, China一、频响函数的有理分式多项式由式由式 H(s) - Z-(s) =(52M十虑十KP1递函数矩阵H可表示如下： Hd)=孔)-謝翳|阻抗矩阵Z (s)的阶次为NxN,其中第i行，第j列的元素Zij为Ztj(s) = 171 屛 + CtJS + kij可见阻抗矩阵Z (s)的行式列的展开式中s的最高次n=2N,可表达如 下detZ(5)J = 十 6js 十妇十+ b/71 二 D(s)式中的adjZ (s)为Z (s)的伴随矩阵，即Z (s)的代数余子式矩阵 的转置矩阵。其元素s的最高阶次m将比n少2因此传递函数矩阵中第1 行，第p列的元素为N($) _ uq + a2$ 十刃D( $ )&Q + 6 5 4-力2百十+ bsn将上式分子，分母各除以bn,且令加（、）=I I （ ”）= W 几（Q -昇； q（心）=1,生（）二，q“（C -宀则匕 kPk（、）Hlp（s）=丄其中dn=1 o我们用FFT分析仪进行频响函数测量，则s=jwo上式可进一步表示为 CK加（je）二二、以正交多项式分别对分子、分母进行曲线拟合若被拟合的测髦频率点数为L,引入负频率概念，使CD为CD-L. .CD-I, col, coL,共2L个频率点，且令3 T = 3八H%（j3 J =He（ T）=砒（仙1 = 1 *2.对频响函数的实验值以表示，则舗p（T）胡八-沁）=用;（込）i二1 2 丄为书写方便，省去角标lp,引人理论模型值与测量值之间误差e, - H（T）- H（jj）=Wg（js）导_片（冋）为使误差对系数Ck, dk线性化，对上式进行变换得HK山：“你(3L H(jtt) ) LKqK(je，)+ sdT)K 0K D定义总方差为J =二 EhEi -t式中E=(e-L .e-1, el, . eL)T,角标H表示共轨转置。可见，误差向量E可表示为E = PC - QD - W!VE Institute of Vibration Engineering, Northwestern Polytechnical University, China!VE Institute of Vibration Engineering, Northwestern Polytechnical University, China式中A(ji)Qo(jsJL) 灯（j3Lpw(jaj_| )/0(j3)P (js)几(T)PmSi.)r) H(j- L）宵（j3-7iO i)H(ja_|p-、片(jwj偽月（问匸）他（血丄）知（闷jL虫血务（瓯）+ =宵（闷“）（j l）,，片（j-i）q”（j9-i）H(ja )q兀(jaJ 月(T.)S(jeLP!VE Institute of Vibration Engineering, Northwestern Polytechnical University, China为求得J的极小值，可使J对矢量C和D求偏导为0 昙1 = 0.由式E二胆-QD_ W可得,:-Y XZ-X =-畑 pHQ；式中：Y =y(PHP 十 FTP* ); z =y(ef,a ee*)； G =Re( PllW);F =Re(QHB0o!VE Institute of Vibration Engineering, Northwestern Polytechnical University, China若P (jco)和q (jco)满足下列条件:I I, s = tb $ H f, （a .z = 0,1.X | H（j） |，g； （j心（皿= 工丨片（j仙）| Zg/jQg；（问）二 r= wt0,($八0，7)。!VE Institute of Vibration Engineering, Northwestern Polytechnical University, China!VE Institute of Vibration Engineering, Northwestern Polytechnical University, China则式雷:监H；|中的矩阵Y和Z将变为单位矩阵!VE Institute of Vibration Engineering, Northwestern Polytechnical University, China!VE Institute of Vibration Engineering, Northwestern Polytechnical University, China!VE Institute of Vibration Engineering, Northwestern Polytechnical University, China展开上式，分别求得D和C(I - XtX)D = F - XtG,C = G - XDo满足式的条件，实际上就是使pk(j(D)和qk (jco) (K = 0, 1,) 为正交多项式。从而使式的系数矩阵的对角线为单位矩阵。列向量 C及D能单独求解，且方程的阶次几乎是原式的一半，从而降低了 系数矩阵的条件数，使病态问题有所改善。这就是采用正交多项式进 行曲线拟合的好处之一，且C、D分别求解，系数矩阵阶次较原有的 低一半左右，因而运算速度明显加快。三、极点和留数在已知毎子、分母多项式系数后，令分母多项式为零，此时的s值， 即为极点，由极点值可进一步求得固有频率和阻尼比。P点激励，1点响应的传递函数Hip可表示为：式中Alpr为Hip （s）在极点sr的留数，在已知极点的情况下，把上式 两边各乘以（ssr）,并令ssr,贝UA伽=limH/z（5）（5 - sr） -| = r.rs=srN（$）1 （$ -）（ $ - 5；F- I2（%）（ ； ） （ 一 $丿）（ $/ ） 丿二I JrXN（5）D）| 式中，D为D （s）对S的一阶导数，同理，可求得二 ）（）!VE Institute of Vibration Engineering, Northwestern Polytechnical University, ChinaULI 垂l|伞槿杰的影响上孤公只适用于待识别的模态数与系统的自由度数相 一致的情况。实际结构往往并非如此，除了模态稀疏的 情况下，仍可应用上述计算步骤外，一般均需考虑待辨 识频段以外的模态影响，即所谓剩余模态的影响。 Richardson曾用增加分了多项式阶数的办法來解决这个 问题。若在待辨识的频段内，包含两个模态峰值，分母 多项式阶数n取为2N = 4,而分子多项式阶数取为 m=2N+3=7,当然也可增加分母多项式的阶次，同样可 以取得较好的效果。Institute of Vibration Engineering, Northwestern Polytechnical University, China五、关于总体曲线拟合在单点频响函数测试时，往往是一点激励，再测量原点及其余各点 响应。大多数曲线拟合是在“局部”意义上进行的，也就是说.在一 组测量中，每个测量单独地进行曲线拟合，对每一模态进彳亍模态频率、 阻尼和留数的估计，因此，每个模态要估计四人参数（计賢复留数作为 两个参数），若有五个模态的参数需被辨识，那么，总共有20个未知参 数需被估计。一般而论，精确地估计阻尼和留数比精确地估计频率更难 ,而留数义总是和阻尼估计紧紧地联系在一起的。若阻尼有较大误差， 势必导致留数估计有较大误差。为了减少误差，可以把曲线拟合过程分 为两个步骤：第一步，估计频率和阻尼，不同测量点的同一模态的固有 频率和阻尼应是相同的。故借助所有测量数据，先求得固有频率和阻尼 ;第二步，用已知的频率和阻尼值，进一步分别估计振型或留数。这种 估计过程，我们称为总体曲线拟合。总体曲线拟合的优点是借助所有测量数据.这比从单个测量的曲线 拟合能得到更精确的频率和阻尼的估计。再因阻尼是作为第一步拟合的 结果，是已知的，所以，通常在第二步估计中能更精确地估计留数。总体频率和阻尼的直接估计方法可如下进行：因为同一模态，不同 豔嶠翊数疇離翱觸篇蠢麴腸飜聽点的频响!VE Institute of Vibration Engineering, Northwestern Polytechnical University, China【例】有一四自由度系统，以正交多项式对原点位移导纳进行曲线拟合, 拟合频段选在19 -23Hz之间的密集模态频段内。为说明该方法对具有 一定噪声污染的测量数据的效性，为此分别对频响函数的实部及虚部 加以5%、10%的随机噪声。表列出固有频率与阻尼比的拟合结果。图为具有5 %的随机噪声的 频响函数、经拟合后的理论曲线（如虚线所示）与实际曲线的比较。0曙噪声5%嗓简10%噪祢固右報率（HJ20 6920.6820.67阻尼比0.0!0.010.01固有频率（Hz）21 4821.482L49宠泯心阻尼比0.0!0.0090.009由上所述，正交多项式曲线拟合方法即使在相邻模态藕合只差0.8Hz ,噪声 污染达10 %的频响函数情况下进行曲线拟合，也能得到较好的效果，从所给出 的数据中可以看出，固有频率与阻尼比几乎相等，而振型稍有差别。!VE Institute of Vibration Engineering, Northwestern Polytechnical University, China原点位移异纳曲线拟合比较!VE Institute of Vibration Engineering, Northwestern Polytechnical University, China