数学建模雪堆融化时间

半球体雪堆融化时间 系别：土木建筑工程学院 专业：土木（1）班 姓名：何泽波 学号：2一、摘要：一个半球体状的雪堆，在阳光下慢慢融化，过程中雪堆始终保持着半球体状，利用微分知识来解决雪堆融化的时间问题，并展开假设，当雪堆融化时保持锥形等其它形状，再次求解。关键词半径，半圆面积，半圆体积，常数，常微分二、 提出问题：一个半球体状的雪堆，其体积融化的速率与半球面面积S成正比，比例系数K0。假设在融化过程中雪堆始终保持着半球体状，已知半径为的雪堆在开始融化的3小时内，融化了其体积的，问雪堆全部融化需要多少小时？三、问题分析：在融化过程，根据“一个半球体状的雪堆，其体积融化的速率与半球面面积S成正比，比例系数K0”的条件，我们可以列得方程，显然这里为常微分方程。即可得到基本思路就是：先找到与的关系，将替换的代数式，再利用已知条件“半径为的雪堆在开始融化的3小时内，融化了其体积的，则，”解出的具体表达式，而雪堆全部融化所用的时间，为满足的值，解出n即为所求。四、建模过程1、 模型假设：在融化过程中雪堆始终保持着半球体状；外界因素基本保持不变，即不影响计算结果。 2、符号说明： 小时，0 时刻半球状球体表面面积 时刻半球状球体体积 时刻半球状球体半径 常数3、模型的建立：（1）. 一个半球体状的雪堆，其体积融化的速率与半球面面积S成正比，比例系数K0.即。（2）. 雪堆始终保持着半球体状，则有，。（3）. 半径为的雪堆在开始融化的3小时内，融化了其体积的，则，。（4）. 雪堆全部融化所用的时间，为满足的值。4、模型的求解：因为有 解出关系: ( 其中令 )由得：求解常微分方程： （方程左右两边求积）解出： 因为又有 代入：解出常数： 常数代入得： 因为又有，代入解出值：代回解得：最后将代入则：所以 （小时）答：雪堆全部融化需要6小时.参考文献:大学数学实验清华出版社 姜启源 邢文训 谢金星 杨顶辉 编著总结：雪堆融化过程中，无论是保持半球型或圆锥等其它形状，根据计算，所用的融化时间都一样。所以，在日常生活中，在细心观察问题的同时，还要经过运算才能得到真理。6 / 6文档可自由编辑打印