南昌大学第三届高等数学竞赛数学专业类03级04级

数学分析竞赛（2003、2004级解答）一、判断题（每题5分，共25分）1、不正确。例：，。2、不正确。例：。3、不正确。例：。4、正确。，使，在上一致收敛。5、正确。两边进行积分计算可得相等。二、证明题（12分）证明：由，有。 特别地有， 整理得， （1） 注意到，故有 （2）由（1）和（2）可得 以此类推，可得且，所以无界。 三、证明题（13分）证明：（i）只须证：，有。事实上，任取， 。即 ，因此可取。 （ii）只须证：，有。事实上，取， 充分大时，而。证毕。 四、证明题（12分）证明：因为，故有，使得，于是。 另外， 在之间。 将分别代入上式，得， ， ， 当时，；当时，。所以（取或），有。 五、证明题（7分）证明：令， 另外， 六、证明题（7分）证明：当时，矩形不包含原点，由格林公式，积分为0。 当时，矩形包含原点，作圆：，使之含于内，在以为边界的连通域内使用格林公式知。 七、证明题（24分）证明：（i）设。当时，此级数绝对收敛；当时，此级数发散；当时，此级数发散。 （ii）对，有，而收敛。由判别法，知级数在一致收敛。 （iii），使。 （iv）设，使。由（ii）知，在连续，由的任意性，得证。 （v）验证可逐项积分。 。 （vi）。，而收敛，（因为）。由判别法，在一致收敛，故在可逐项微分，所以。 6 / 6文档可自由编辑打印