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专题五 数列一考点梳理 热点探究1. 等差数列知识要点：（1）通项公式要点：.（4）判断方法：定义法：；（证明方法）等差中项法：；（证明方法）通项公式法：；前项和公式法：SnAn2Bn (A、B为常数).（5）常用性质：如果数列是等差数列（），特别地，当为奇数时，.等差数列an的前n项和为Sn，则Sm，S2mSm，S3mS2m，成等差数列.等差数列an，bn的前n项和为An，Bn，则.等差数列an的前n项和为Sn，则数列仍是等差数列.（6）等差数列的单调性设等差数列的公差为，当时，数列为递增数列；当时，数列为递减数列；若，则数列为常数数列.（7）等差数列的最值若是等差数列，求前项和的最值时，若，且满足，则前项和最大;若，且满足，则前项和最小.2. 等比数列知识要点：（3）通项公式的函数特征：是关于的函数（，都是不为0的常数，）；前项和公式的函数特征：前项和是关于的函数（为常数且，）.（4）判断方法：定义法：（）；（证明方法）等比中项法：；（证明方法）通项公式法：；前项和公式法：或.来源:（5）常用性质：如果数列是等比数列（），特别地，当为奇数时，.等比数列的前项和为，满足成等比数列（其中均不为0）.（6）等差数列的单调性设等比数列的公差为，当或时，为递增数列；当或.（7）等差与等比数列的转化3.数列常见通项公式的求法：（1）累加法：（2）累乘法：（3）待定系数法：（其中均为常数，）解法：把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解.（4）待定系数法： （其中均为常数，）. （或,其中均为常数）.解法：在原递推公式两边同除以，得：，令，得：，再按第（3）种情况求解.（5）待定系数法：解法：一般利用待定系数法构造等比数列，即令，与已知递推式比较，解出,从而转化为是公比为的等比数列.（6）待定系数法：解法：一般利用待定系数法构造等比数列，即令，与已知递推式比较，解出,从而转化为是公比为的等比数列.（7）待定系数法：（其中均为常数）.解法：先把原递推公式转化为其中满足，再按第（4）种情况求解.（10）已知求(或)解法：这种类型一般利用与消去 或与消去进行求解.（11） 解法：如果数列满足下列条件：已知的值且对于，都有（其中p、q、r、h均为常数，且），那么，可作特征方程,当特征方程有且仅有一根时,则是等差数列;当特征方程有两个相异的根、时，则是等比数列.4. 数列求和的主要方法：（1）公式法：如果一个数列是等差数列或等比数列，则求和时直接利用等差、等比数列的前n项和公式，注意等比数列公比q的取值情况要分或.（2）倒序相加法：如果一个数列，首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和即是用此法推导的（3）分组转化求和法：若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转化法，分别求和而后相加减（4）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和就是用此法推导的（5）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和来源:常见的拆项公式如下：三角函数型,根式型（6）并项求和法：在一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和热点探究：（1） 对等差数列与等比数列基本量的考查是重点内容，主要考查利用通项公式、前n项和公式建立方程组求解，属于低档题，主要是以选择、填空题的形式出现.（2） 对等差数列与等比数列性质的考查是热点，具有“新、巧、活”的特点，考查利用性质解决有关的计算问题，属中低档题，主要是以选择、填空题的形式出现.（3）数列的通项公式及递推公式的应用也是命题的热点，根据与的关系求通项公式以及利用构造或转化的方法求通项公式也是常考的热点选择、填空、解答题都有出现.（4）数列的求和问题，多以考查等差、等比数列的前n项和公式、错位相减法和裂项相消法为主，且考查频率较高，是高考命题的热点.选择、填空、解答题都有出现.（5）数列与函数、不等式的综合问题也是高考考查的重点，主要考查利用函数的观点解决数列问题以及用不等式的方法研究数列的性质，多为中档题，以解答题的形式出现。（6）数列与解析几何交汇主要涉及点列问题，难度中等及以上，常以解答题形式出现。来源:（7）数列应用题主要以等差数列、等比数列及递推数列为模型进行考查，难度中等及以上，常以解答题形式出现.二沙场点兵 实战演练【例1】【北京理】已知an是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为An，第n项之后各项，的最小值记为Bn，dn=AnBn.(I)若an为2，1，4，3，2，1，4，3，是一个周期为4的数列(即对任意nN*，)，写出d1，d2，d3，d4的值；(II)设d为非负整数，证明：dn=d(n=1,2,3)的充分必要条件为an为公差为d的等差数列；(III)证明：若a1=2，dn=1(n=1,2,3)，则an的项只能是1或2，且有无穷多项为1.【规律方法】(1)定义法：an1and(常数)(nN*)an是等差数列；q(q是非零常数)an是等比数列；(2)等差(比)中项法：2an1anan2(nN*)an是等差数列；aanan2(nN*，an0)an是等比数列；(3)通项公式法：anpnq(p，q为常数)an是等差数列；ana1qn1(其中a1，q为非零常数，nN*)an是等比数列(4)前n项和公式法：SnAn2Bn(A，B为常数)an是等差数列；SnAqnA(A为非零常数，q0,1)an是等比数列.【例2】【吉林省白山市第一中学高三8月摸底考试理】已知，点在函数的图象上，其中（1）证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式；（2）记，求数列的前项和【例3】【浙江省嘉兴一中高三上学期入学摸底数学(理)】已知数列满足，数列满足.（）证明数列是等差数列并求数列的通项公式；（）求数列的前项和.【规律方法】（1）通常情况下数列的第（1）题是需要求数列的通项公式，而且其中也设出一个新的数列，我们在做的过程中，要把这个条件作为一种提示，配凑成这种新的数列，即可解决；若题中没有设出这样的新数列，可以看知识整合中11种求通项的方法；（2）对于数列求和，需要先判断用那种求和的方法，然后进行求解.【例4】【广东省广州市执信、广雅、六中高三10月三校联考(理）】已知数列前n项和为成等差数列（I）求数列的通项公式；（II）数列满足，求证：.【例5】【广东省广州市“十校”20xx-高三第一次联考理】设为数列的前项和，对任意的，都有(为正常数)（1）求证：数列是等比数列；（2）数列满足求数列的通项公式；（3）在满足（2）的条件下，求数列的前项和【规律方法】数列求和中若是出现了三角函数，要对三角函数中的进行讨论，如若，则按进行讨论.【例6】【江苏省苏州市高三九月测试试卷】设数列的前项和为，对任意满足，且（）求数列的通项公式；（）设，求数列的前项和 【规律方法】若数列求和中分奇偶项，常用的方法是算出奇数项的和或者将奇、偶用数学符号代替.【例7】设数列an的前n项和为Sn，a11，且对任意正整数n，点(an1，Sn)在直线3x2y30上(1)求数列an的通项公式；(2)是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，说明理由【规律方法】本题的特点是先从特殊的情况得出值，在这个值下，一般结论也成立，这是解决含有参数的等差数列、等比数列证明的一个重要方法，其实质是一般与特殊的数学思想方法的运用，也是合情推理与演绎推理的有机结合【例8】已知数列an满足a1，1a1a2anan10(0且1，nN*)(1)若aa1a3，求数列an的通项公式an；(2)在(1)的条件下，数列an中是否存在三项构成等差数列？若存在，请求出此三项；若不存在，请说明理由【例9】【江西理】正项数列的前项和满足：.（1）求数列的通项公式；（2）令，数列的前项和为证明：对于任意，都有来源:【规律方法】数列与不等式交汇命题，不等式常作为证明或求解的一问呈现，解答时先将数列的基本问题解决，再集中解决不等式问题，注意放缩法、基本不等式、裂项、累加法的运用.【例10】【成都外国语学校高三开学检测试卷】已知数列的前项和，满足：.（）求数列的通项；（）若数列的满足，为数列的前项和，求证：.来源:数理化网【例11】【安徽理】设函数，证明：（）对每个，存在唯一的，满足；（）对任意，由（）中构成的数列满足.【规律方法】对于数列、函数、不等式的问题.可以利用函数的单调性，结合极限思想解决问题；也可以利用均值不等式等号成立的条件，结合极限思想获得思路；也可以利用方程进行等量变换，减少未知量，确定参数c的取值范围；也可以等价转化不等关系为恒成立问题，利用函数最值得到解法；还可以利用函数的性质，数形结合，求出参数c的取值范围【例12】【安徽理21】数列满足： （I）证明：数列是单调递减数列的充分必要条件是； （II）求的取值范围，使数列是单调递增数列.【例13】已知数列an中，a11，前n项的和为Sn，对任意的自然数n2，an是3Sn4与2Sn1的等差中项求通项an.【例14】已知一个等比数列的前四项之积为，第2,3项的和为，求这个等比数列的公比【例15】【安徽省池州一中高三第一次月考数学（理）】数列的前项和为，（）设，证明：数列是等比数列；（）求数列的前项和.（）若，求不超过的最大的整数值专题五 数列 参考答案【例1】： 【规律方法】(1)定义法：an1and(常数)(nN*)an是等差数列；q(q是非零常数)an是等比数列；(2)等差(比)中项法：2an1anan2(nN*)an是等差数列；aanan2(nN*，an0)an是等比数列；(3)通项公式法：anpnq(p，q为常数)an是等差数列；ana1qn1(其中a1，q为非零常数，nN*)an是等比数列(4)前n项和公式法：SnAn2Bn(A，B为常数)an是等差数列；SnAqnA(A为非零常数，q0,1)an是等比数列.【例2】：【例3】：【规律方法】（1）通常情况下数列的第（1）题是需要求数列的通项公式，而且其中也设出一个新的数列，我们在做的过程中，要把这个条件作为一种提示，配凑成这种新的数列，即可解决；若题中没有设出这样的新数列，可以看知识整合中11种求通项的方法；（2）对于数列求和，需要先判断用那种求和的方法，然后进行求解.【例4】：【例5】： 【规律方法】数列求和中若是出现了三角函数，要对三角函数中的进行讨论，如若，则按进行讨论.【例6】： 【规律方法】若数列求和中分奇偶项，常用的方法是算出奇数项的和或者将奇、偶用数学符号代替.【例7】：【规律方法】本题的特点是先从特殊的情况得出值，在这个值下，一般结论也成立，这是解决含有参数的等差数列、等比数列证明的一个重要方法，其实质是一般与特殊的数学思想方法的运用，也是合情推理与演绎推理的有机结合【例8】：【例9】：【规律方法】数列与不等式交汇命题，不等式常作为证明或求解的一问呈现，解答时先将数列的基本问题解决，再集中解决不等式问题，注意放缩法、基本不等式、裂项、累加法的运用.【例10】：【例11】：故， 【规律方法】对于数列、函数、不等式的问题.可以利用函数的单调性，结合极限思想解决问题；也可以利用均值不等式等号成立的条件，结合极限思想获得思路；也可以利用方程进行等量变换，减少未知量，确定参数c的取值范围；也可以等价转化不等关系为恒成立问题，利用函数最值得到解法；还可以利用函数的性质，数形结合，求出参数c的取值范围【例12】：（2） 假设当时结论成立，即：.因为函数在区间内单【例13】：【例14】：【例15】：
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