求数列通项公式十一种方法总结计划

求数列通项公式十一种方法总结计划已知数列 an 中 , an0 且 Sn1(an1) 2, 求数列 an 的通项公式 .2答案： SnSn 1 a n( an1)2( an 1 1) 2an 2n 12、对无穷递推数列例 20已知数列 an 满足 a11， ana12a23a3L(n1)an 1( n2) ，求 an 的通项公式。解：因为 ana12a23a3L(n1)an 1 (n2)所以 an 1a12a23a3L( n1)an 1nan用式式得an 1annan .则 an 1 (n 1)an ( n 2)an1n 1(n 2)故ananan 1a3a2 n(n 1) L 4 3a2n!所以 anan 2La2.an 1a22由 ana1 2a2 3a3L ( n1)an 1 (n2) ， 取 n2得 a2a1 2a2 ，则 a2a1 ，又知 a11 ，则 a21，代入得 an1 3 45 L nn!。2n!所以， an 的通项公式为 an.2十、不动点法目的是 将递推数列转化为等比（差）数列的方法不动点的定义：函数f 的定义域为D ，若存在 f ( ) D ，使 f ( ) 成立，则称 为f ( ) 的不动点或称( , f ( ) 为函数f 的不动点。分析p ：由f ( ) 求出不动点 ，在递推公式两边同时减去 ，在变形求解。型一：形如 an1 qan d例 21已知数列 an 中， a11,an2an 11(n2) ，求数列an 的通 公式。解： 推关系是 得 函数 f 21，由 f ( ) 得，不 点 -1 an 112(an1) ，型二：形如 ana anb1dc an分析p ： 函数 f ( )abcd（ 1 ）若有两个相异的不 点p,q，将 关系式两 分 减去不 点p,q ，再将两式相除得an 1pk anp ，其中 kapc ， an( a1q pq) kn 1(a1 ppq)an 1qanqa qc(a p) kn 1(a q)11（ 2 ） 若 有 两 个 相 同 的 不点p ，将关 系 式 两减 去 不点p ， 然 后 用1 除 ， 得11k ，其中 k2c 。an 1p anpa d例 22.5an4数列 an 足 a1 2, an 1, 求数列 an 的通 公式 .2an7分析p ：此 常用参数法化等比数列求解.解： 等式两端同 加参数t, 得：5an4(2t5) an7tan7t42t 5 ,an 1t(2t5)2ant2an772an7令 t7t4,解之得 t=1,-2代入 an 1 t(2t5)ant2t5得2an7an 11 3an1an2, an 12 9,2an72an7相除得an 111 an1an1a11 1，, 即 是首 an 12 3 an2an2a12 4公比 1a n11 1 n,4 3n 123的等比数列 ,=3解得 an3n1.an2441方法 2：,an 11an137，2an两边取倒数得12an72( an1) 923，an 11 3(an3( an 1)3 an1)1令 b n1，则 b n23bn , 转化为累加法来求 .an13例 23已知数列 an 满足 an 121an24 ，a1 4，求数列 an 的通项公式。4an1解：令 2124 ，得 4220 240 ，则 12， 23 是函数 f ( )2124 的两个不4141动点。因为21an242an 124an121an242(4 an1)13an2613 an2 。所以数列an2 是an 1321an24321an243(4an1)9an279 an3an34an1以 a12 4 22 为 首 项 ， 以 13 为 公 比 的 等 比 数 列 ， 故 an22(13 )n 1 ， 则a13439an39an13 。2(13)n 119练习 1：已知 an 满足 a1 2, anan12 (n2) ，求 an 的通项 an2an 11答案：an3n(1)n3n(1)n练习 2。已知数列 an 满足 a12, an 12an1 (nN ) ，求数列 an 的通项 an4an6答案：an135n10n6练习 3.（ 2021 陕西卷文）已知数列满足，.令，证明：是等比数列；( ) 求的通项公式。答案：（ 1）是以 1 首 ， 公比的等比数列。（ 2）。十一。特征方程法形如 an2pan 1qan ( p, q 是常数）的数列形如 a1m1, a2m2 , an 2pan 1qan ( p, q 是常数）的二 推数列都可用特征根法求得通 an ，其特征方程 2pq ?若有二异根,， 可令 anc1nc2n (c1, c2 是待定常数）若有二重根， 可令 an (c1nc2 )n (c1, c2 是待定常数）再利用 a1 m1, a2m2 , 可求得 c1,c2 ， 而求得 an例 24 已知数列 an 足 a12, a23, an 23an 1 2an (nN ) ，求数列 an 的通 an解： 其特征方程 23 2 ，解得 11,22 ，令 anc11nc2 2n ，由 a1c11c12c22 ，得1 ，an1 2n 1a2c14c23c22例 25已知数列 an 足 a11,a22, 4an 24an 1 an (nN ) ，求数列 an 的通 an解： 其特征方程 424 1，解得 121，令 anc1 nc2122n，a1(c111c2 )c143n 2由21，得，ana2(c1c262n 12c2 )241 已知数列 an 足 a11,a22,4an 24an 1 an1(nN ) ，求数列 an 的通 2 已知数列 an 足a1 1,a22, 4an 24an 1ann4(nN ) ，求数列 an 的通 明 ：(1)若方程 2pq 有两不同的解 s , t,an 1 ta n s(anta n 1 ) , an 1sant (ansan 1 ) ,由等比数列性 可得an 1ta n(a2ta1 ) sn 1 ,an 1 san(a2sa1 )t n 1 ,ts, 由上两式消去 an1 可得 ana2ta1.sna2sa1 .t n .s s tt st(2)若方程 2pq 有两相等的解st ， an 1ta ns antan 1s2 (an 1ta n 2 )sn 1 a2ta1 ，an1ana2ta 1 ,即an是等差数列，sn1sns2sn由等差数列性 可知ana1n1 .a2sa1，snss2所以 a na1a 2sa1a 2sa1.n s n ss2s 25a225例 26、数列 an 足 a1n4求数列 an 的通 。，且 an1122an294an225an22 an2925解： an1an 1444 292an292an44令229251,254，解得124，将它 代回得，2an2an25254a11，1， an 129n2an2942an4425252anan14，得4,an 1 1an1an125an25an25444lgan 12lgan，数列lg成等比数列，首 1，公比 q=211an1an25an25102n 1 ，25102n1所以 lg42n 1 ， 4a4n 1an1an1n1021十二、 四种基本数列1形如 an1anf ( n) 型等差数列的广义形式，见累加法。2.形如an 1f (n) 型等比数列的广义形式，见累乘法。an3.形如 an 1anf (n) 型（ 1）若 an 1and （ d 为常数），则数列 an 为“等和数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论;（ 2）若 f(n)为 n 的函数（非常数）时，可通过构造转化为an 1anf (n) 型，通过累加来求出通项 ; 或用逐差法 ( 两式相减 ) 得 an 1an1f (n)f (n1) ，分奇偶项来分求通项 .例 27.数列 a n 满足 a10 , a n 1an2n , 求数列 an 的通项公式 .分析p 1 ：构造转化为 an 1anf ( n) 型解法 1：令 bn( 1) n an则 bn 1bn( 1) n 1 an 1( 1) n an( 1) n 1 (an 1an ) ( 1) n 1 2n .bnbn 1( 1) n2(n 1)bn1bn2(1) n 1 2(n2)n2时,各式相b2b1(1) 221b1a10加 :bn2 ( 1) n (n1) ( 1) n 1 (n 2)(1)32 (1)21当 n为 偶 数 时 ， bnn2n . 此 时 anbn n当 n 为 奇 数 时 ，2 (n 1) ( 1)2bn2( n1)n12n为奇数,bnanann1.a n2 ：此时,所以故为偶数.解法n, nan 1an2nn2 时， anan 12(n1) ，两式相减得：an 1an 12 .a1 , a3 , a5 , 构成以 a1 , 为首项，以2 为公差的等差数列;a2 , a4 , a6 , 构成以 a2 , 为首项，以 2 为公差的等差数列a2 k 1a1(k 1)d 2k 2a2 ka2 (k 1)d2k .n为奇数,an1, n评注：结果要还原成n 的表达式 .为偶数.n, n例 28.（ 205 江西卷）已知数列 n 的前 n 项和 Sn 满足aSS =3(1n1(n3), 且 S13, 求数列 a 的通项公式 .nn 222n1 )n解：方法一：因为SnSn2anan 1所以 anan 13 (1 (n 3),2以下同上例，略43 (1 ) n 1 , n为奇数 ,答案an2( 1 ) n 1 , n为偶数 .4324.形如 an 1anf ( n) 型（ 1）若 an 1anp (p 为常数 ) ，则数列 an 为“等积数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论;（ 2）若 f(n)为 n 的函数（非常数）时，可通过逐差法得anan 1f (n 1) ，两式相除后，分奇偶项来分求通项 .例 29. 已知数列 an 满足 a1 3, an an 1(1) n , (nN ) , 求此数列的通项公式 .2注：同上例类似，略.第 32 页 共 32 页