不同阶分数阶混沌系统的同步与参数辨识

作者名等題目不同阶分数阶混沌系统的同步与参数辨识李安平巳刘国荣3,沈细群3Li AnPing12, Liu GuoRong Shen XiQun31湖南大学 电气与信息工程学院，长沙4100822.湖南工程学院理学院，湘潭4111043湖南工程学院电气与信息工程学院，湘潭4111041 College of Electncal and Information Engineering, Hunan University, Changsha 410082t China2. College of science. Hunan institute of engineering. Xiangtan 411104.china3 College of Electncal and Information Engineering, Hunan institute of engineering, Xiangtan 411104.chinaE-mail: hanping_hnie 126 comSynchronization of uncertain fractionaforder chaotic system using fractionaf order system with different order and parameters identificationAbstract： This paper discusses synclironization of fiactional-ordet* chaotic system with unceitain parameters A new method for synchronization of fractional-order chaotic system and parameters identification using an fiactional-oida* chaotic system with different order is proposed Using pre-conti-ol and active control method, and based on the fi-actional-ordeis stability theory and adaptive control theory, and a metliod for Synchronization of uncertain fi-actional-order cliaotic system and parameters identification is proposed, and synchronization bactional-order Chen system using fi*actional-cder Chen system witli different order is realized, by which the uncertain parameters of Chen system are identified. Numerical simulations show the effectiveness of the developed approadiKey words： unceitain fractional-order chaotic system, synchronization, parameters identification摘 耍：针对不确定分数阶混沌系统的同步和参数辨识问题，提出-种新的方法即用不同阶分数阶系统來同 步和参数辨此 利用主动控制和预控制杲方法，基r分数阶涓沌系统稳定性理论和自适应控制理论，设计控 制器，实现不同阶分数阶混沌系统Z间的同步和参数辨几理论和仿真结果实现了不同阶Chm系统间的同 步和辨识，表明提出方法的有效性。关键词：不确定分数阶混沌系统：同步：参数辨识文献标识码：A 中图分类号:TP2731引言分数阶积微分早在17枇纪就是数学的-个分支，但一冇以來Ftl 林数阶系统研究的币:视而受到冷遇。湖南省门然科学取金（Hunan Provincial Natural Science Foundation of China under Grant No 2009JJ8006湖南省高 校创新团队（复杂网络控制） 作者简介：李安平(1974)男,博士生，讲师，主要研究方向为混沌同步及非线性系统控制,刘国荣(1957)男，博士，教 授,博士生导师，沈细群(1975)女硕土讲师。直到厉来，发现分数阶微分系统能更好地描述现实中的各种现象，从而受到越来越多的学若的关注.在对混 沌系统进行讨论的过程中，不断有学者发现众多的整数阶混沌系统在当阶数为分数时仍会出现混沌。因此近 年來，分数阶混沌系统的研究受到很多学者的重视，仃了很多的成果。混沌系统研究的-个重耍分支是混沌控制和同步。门从Pecora和Cairoll等提出同步和控制的思想后， 不断有学若提出了混沌同步的不同定义，如广义同步，完全同步，投影同步，延迟同步12切等，并提供了很多 不同的同步方法，如反馈控制，自适应控制，脉冲控制等山”)。但是人名文献在讨论分数阶混沌同步时，一般 都只考电混用同阶同结构或异结构分数阶混沌系统來同步。而关不同阶的分数阶混沌系统Z何的同步研究, 文献很少。仅文献11讨论了也追踪控制和分数阶系统稳定性定理，给出了不同阶同结构和异结构分数阶 混沌系统之间的同步方法。另外，在实际工作中混沌系统的参数由J：干扰或各种比他因素的影响经常是未知 的，因此研究参数未知的不确定混沌系统同步与辨识有贞耍意义在令未知参数存在情形卜，文11的方 法不再适用，而且关J不同阶分数阶混沌系统Z间的参数辨讲淌未见报道。本文讨论参数不确定分数阶混沌系统用不同阶同结构系统來同步和参数辨识，利用分数阶II：线性时变系 统稳定性理论，给出分数阶系统用不同阶的分数阶系统來同步和参数辨识的方法，实例实现了不确定分数阶 Chen通过不同阶的分数阶Chen系统来同步和参数辨识。理论和实验仿真说明了方法的白效性。2分数阶微积分分数阶微积分冇300多年的历史，其定义冇很多利常用的冇Gixinwald_Letmkov(GL),Riemann_Lionville (RL), Caputol定义。分数阶微分方程的计算方法有两大类：一种是频域算法，一种时域算法。本文中采 用Capulu-s i义和侦测-校正(prediclor-coneclui-s时域数值算法。Caputos分数阶微分定义为D：二-j f d ( n4 a /) 则其某于 Adams-Bashfcrth-Moulton 57(预测-校正算法)的数值解为：hl1 fkI qnq nr()=着， It + + +其中力为步长，T为仿真时长。k F NK=砍e 0,1,3,.作者名等题目#IVH fk 1“畑）二斜肾+而矜小恥）泸41 - n -g)(n + 1尸，(n- J + 2)丹 + (总-y )9+1 - 2( - y 4-1,hqp = min(2,l + q)。評+)其误差为爲卩亀）-yh（t = 0（胪），关分数阶微分系统稳泄性泄理，线性时不变分数阶系统的稳泄性讨论L1经很成熟，而对非线性分数阶 时变系统的稳定性，文16给出了一个基丁Hermit阵特征值的判断方法。作者名等题目#作者名等题目#dax定理宀设分数阶线性时不变系统丽X, 其中0 V Q V 1,XE ,当且仅当A的所有特征值满作者名等题目#作者名等题目5足|arg（ezg（y4） | 时系统渐近定。ICC定理21*1 :设分数阶非线性时变系统为一=A(x,t)x ,其中 0 v a v l,xw 7?曲，记 dxa/H（f）二仝上旦卫,若AHt）所有元素连续有界，且存在一个正常数c（0），使得/H（r）所有的特征值4（/）都满足（0-a0 ,则系统渐近稳定。由定理2有以下引理。dX -A（xt）x引理1：役分数阶非线性时变系统为*，其中0 v a v 1,工w肿，若4（。=（%）所有元素满足叫（不=一（芯纨心丿，）,使得屮所有的特征值都满足因此宙定理2 可得，系统渐近稳定。3不同阶数的分数阶混沌系统Z间的同步和参数辩识算法设分数阶混沌峻动系统和响应系统分别如卜作者名等題目#作者名等題目#dax(1)(2)作者名等題目#作者名等題目#其屮x = （.r1,x2,-,.vn）r, y = （yp.y2,-，K）r分别为驱动系统和响应系统的状态变量,苑（，攻,，&）为未知参数& =（q,%,%）的估计值，“（qq,，八卩=，玷为分数阶数，Ova, 1,0人 1。凶数 f:RnxRmRn , u:RnxRnxRm Rn 连续。记q二乂 一兀（lz 0 (1 z h) 则有胁= 为-从而由分数阶线性系统稳定性定理1知，两个系统同步，对应的控制量为dpx dax=护一萨一/（歹，。）+/（“，&）一辰（7）由于参数未知，上述控制率不能实现因此将控制率(7)屮的参数&用其估计方代.得d 卩 x cJa YAAdtp dta“ X-/() + /(.询-辰,代入(2),则得系统同步误差方程为需=肉一窘+一肉+ /(X 一斶dax八沪+/()-辰=-/(X, 6) + /(x, 6)-ke=FgO) ke其中 0 = 0-0 为参数估计谋差，F(x,3) = -f(x93) + /(x,0) odfi0=G(x,e, 6)假设参数误差自适应更新律取为力，将同步谋差和参数误差对应的微分方程介并，则得dfi，E _-整个系统的误差方程加，其中=(01，0”，0 J，。 1, A*=(PT9PT)T 9 =牡0$。由引理1知，只耍适当选取矩阵/(X，。，使得其满足引理1的条件，则整个误差系统渐近稳ArArAr定。而虫(x，0由G(x,e,0及(9)右端表达式组合构成，因此可以通过对G(x,c,0进行适当选取，使得矩阵/满足条件，从而有系统渐近和N，即实现不同阶分数阶淤沌系统间的同步和参数辨识。4不同阶数的分数阶Chen系统Z间的同步和参数辨识分数阶Chen混沌系统的状态方程为=(c 一 a)x - xrr3 + cx2(10)氏中：abc为参数，apa2,a3为分数阶。当d = 35,b = 3,c = 28,阶数o.83 1W系统出现混沌。 讨论用不同阶分数阶chen系统来进行同步，即使lim|e| = lim|-x| = ol并实现参数辨识，取驱动系统为分数阶Chen系统（10）, IL参数未知，响应系统为分数阶Chen系统（11）。金=迤一必）+旳d卩vV/八八、八(11)=（C 一 d） H - H 必 + 即2 + 叫其中：ayb.c分别为驱动系统中参数a、b,c的估计，pp2,pipi 1）为分数阶。为实现响应系统跟踪到职动系统即（.叫，尹2，必）t（x】，屯,屯），由（8）诜取拎制磺为dg dxy az、孑叫二莎一 矿叱一叱一臥dx=”八、ai,(12)心=.a -L(c - d)弓-exe3 - ex3 - e3xx + cwJ _ kedtg竽-矗十店+吓-切-gat；I3挖制率（12）代入响应系统（11）,得不同阶的分数阶Chen系统Z间的渓差方程为勺=-a(x2 - xt) -护- = dxl-c(xl-hx2)-k2e2 勺=血-k3e3(13)再取参数估计谋差的自适应更新律为 5 = (x2 - .iqX - xxe2 - k4d胪疇=-也- k5bdp6c- = ( 0 , 0 v 0】v l(i = 4,5,6)。作者名等题目#则得系统总的谋差方程为(15)dpe = aet&厂 Dfi% D%、D乜 Da Db D%* “了雌DE7乔+丽时話，E = (eaM_*100丫2一1000一匕0_X1000k30_X30000k50000-k60 /显然上述微分系统(15)满足引理1的条件，由引理1知在拦制率和参数更新率作用匚误差系统在原点渐 近稳定，即实现分数阶混沌系统用不同阶分数阶系统同步，IL实现参数辨识。5数值仿真在Matlab上仿真，相应参数取为q =他=他=0.95 ,卩、=庆=/73 =04 =05 =06二0.9 ,步长 h = 0.001,未知参数取为a = 35,b = 3,c = 28 ,驰动系统初始值为舟(0) = 9,x,0) = -5,x3(0) =14 响应系统整数阶系统初始值为儿(0) = -8,儿(0) = -3,儿(0) =17 ,此时谋差勺(0) =1眉(0) = 2,3(0) = 3。控 制律中参数取为& =k2=k3 = kA=k5 = k6 = 1,参数自适应律中参数估计的初始值方(0)= 3诚(1)= -2工= 22. 仿典后同步谋差如图1所示，参数的识別结果如图2所示。在0 5秒内，状态变歌，.%很快的实现了同步及未知参数b实现了辨识，在ios内，状态KX间及 勺“间的同步误差在同步过程中和参数么在辨识过程中有小的波动，同步误差逐渐减小到小J-0 02,参 数在快速跟踪接近到真实值。仿真结果表明能在很短的时间里现实参数未知的分数阶Chen系统用不同阶 Chen系统来同步，并实现对未知参数的辨识。作者名等题目11作者名等题目#(a)弓误差曲线图10(b)為误差曲线图10(O角溟差曲线图图1同步误差弘勺宀曲线图作者名等题目#作者名等题目#424043634010(a)参数d葩辨讲曲线图681024作者名等题目#作者名等题目136结论本文通过在预控制中引入两项分数阶微分，利用分数阶串线性时变系统稳定性理论和门适应控制理论， 给出了统一的设计自适应同步控制器的方法，实现了参数不确定分数阶混沌系统用不同阶同结构系统进行同 步和参数辨识。仿真结果实现了分数阶Chen系统用不同阶同结构系统同步和参数识别，表明提出方法是有 效的。作者名等題目#参考文献：I PECORA L MCCARROLL T L Synchronization in chaotic systemsJ Ph)s Rev Lett. 1990, 64:821 -8242. 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