二倍角公式的应用

二倍角公式的正用、逆用、变形应用是公二倍角公式的正用、逆用、变形应用是公弦公式，其变形公式在求值、化简、证明中弦公式，其变形公式在求值、化简、证明中式的三种主要应用方法，特别是二倍角的余式的三种主要应用方法，特别是二倍角的余有广泛的应用。解题时应根据不同的需要灵有广泛的应用。解题时应根据不同的需要灵活选取不同的形式活选取不同的形式.二倍角公式二倍角公式sin22sincos2222cos2cossin2cos1 1 2sin 正弦正弦： 余弦：余弦： 正切正切：2tan1tan22tan二倍角公式的变形二倍角公式的变形 降幂公式：降幂公式：,21cos2sin2,21cos2cos2 升幂公式升幂公式：.21cos2tan1cos2,21cos22sin.21cos22cos2(1 2sin cos )(sincos )万能公式万能公式2tan2sin1tan221tan2cos1tan222 正弦正弦：余弦：余弦：正切正切：22tan2tan1tan2（一）二倍角公式的应用（一）二倍角公式的应用例例1：已知已知tan2,2sin2cos2_.1 cos222222sincos(cossin)(sincos)cos则则解析：解析：原式原式22222sincoscossinsin2cos222tan1tantan22 2 147426 02x2lg(costan1 2sin) lg 2cos() lg(1 sin2 )24xxxxx 例例2 2：已知已知, ,化简化简：. . 解析：解析：22lg(sincos )lg(cossin )lg(12sin cos )lg(sincos )lg(sincos )lg10.xxxxxxxxxx原式原式=一般的，三角函数式的化简一般的，三角函数式的化简求值要根据已知条件从减少求值要根据已知条件从减少角的种类、减少函数的种类角的种类、减少函数的种类入手，通过切化弦、弦化切、入手，通过切化弦、弦化切、利用公式及变形化异角为同利用公式及变形化异角为同角等手段简化函数形式，解角等手段简化函数形式，解决问题决问题.规律总结规律总结:三角函数式三角函数式的化简有什的化简有什么规律吗？么规律吗？(二二)二倍角公式的两个特殊变式二倍角公式的两个特殊变式变式变式1：2222sin2sin ()cos ()442sin () 141 2cos ()4 sin2cos(2)2cos2()4 变式变式2 :cos22sin()cos()442sin()sin()44cos2sin(2)2sin2()4变式变式1、2主要用于题中含有主要用于题中含有 与与 问题的转化问题的转化243cos(),45x27sin21 2cos ()425xx 757.253153sin()cos()445xx例例3:3:已知已知sin2.sin()4xx求求解析：解析：3cos(),45x由变式由变式1 1得得原式原式2( )(1cot )sin2sin()sin()44f xxxxx例例4:4:已知已知. 若若 求求tan2,( ).f解析解析:2211cot,sin1,tantan1 22114cot,sin1,2215 cos22sin()sin(),44又因为由变式又因为由变式2 22sin()sin()cos2 ,44 而由万能公式知而由万能公式知1tancos 2,1tan22221 232sin()sin(),44125 1433( )(1).2555f1sin()sin(),(, ),4462xxxsin4 . x1.1.已知已知求求2.2.已已知知cos22,2sin()4 cossin求求的值的值.2( )sin22sin.f xxx( )f x( )f x( )f x3.3.已知函数已知函数 (I) (I)求函数求函数的最小正周期的最小正周期;的最大值及的最大值及 取最大值时取最大值时x x的集合的集合. (II) (II)求函数求函数1sin()sin(),(, ),4462xxxsin4 . x1cos22sin()sin(),443xxx1.1.已知已知求求解析解析:由变式由变式2 2得得2( ,2 )x2212 2sin21 cos 21 ( ).33xx 4 2sin42sin2 cos2.9xxx 2.2.已已知知cos22,2sin()4 cossin求求的值的值.解析解析:2222cos2cossinsin()(sincoscossin)444cossin2,22(sincos)2 (cossin)(cossin)2,22(sincos)2 1cossin.2即即2( )sin22sin.f xxx( )f x( )f x( )f x3.3.已知函数已知函数 (I) (I)求函数求函数的最小正周期的最小正周期;的最大值及的最大值及 取最大值时取最大值时x x的集合的集合. (II) (II)求函数求函数解析解析： (I)(I)因为因为 ( )sin2(1 cos2 )f xxx( )f x2.2T所以所以函数函数的最小正周期的最小正周期2242xk)(Zkkx8 ( )f x21. (II) (II)由由(I)(I)知知,当当 , 即即时时，取最大值取最大值.sin2cos21xx2sin(2) 14x3. 变换则必须熟悉公式变换则必须熟悉公式.分清和掌握哪些式会实分清和掌握哪些式会实现哪种变换现哪种变换,也要掌握各个公式的相互联系和也要掌握各个公式的相互联系和适用条件适用条件.应用公式解决问题时应注意的几个问题：应用公式解决问题时应注意的几个问题：1. 转化思想是实施三角变换的主导思想转化思想是实施三角变换的主导思想,变换包变换包 括括:函数各称变换、角的变换、常数的变换、函数各称变换、角的变换、常数的变换、和积变换、幂的升降变换等等和积变换、幂的升降变换等等.2. 变换基本技巧变换基本技巧: 弦切互化、异名化同名、异弦切互化、异名化同名、异角化同角、高次降幂、低次升幂角化同角、高次降幂、低次升幂.思考思考: 已知已知73cos,(,2 )252xx求求sin,cos,tan222xxx的值的值.