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鄂南高中2011届数学模拟试题(6)一选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1. 已知复数(i是虚数单位),是的共轭复数,则=A.1 B.0 C.D.22. “”是“对任意的正数,恒成立”的 A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 设F1、F2是双曲线y2=1的两个焦点,点P在双曲线上,且=0,则|的值等于A.2B.2C.4D.84. 已知的最小值是2,则A. B.2 C.3 D.45. 如图所示,液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中,开始时,漏斗盛满液体,经过3分钟漏完,已知圆柱中液面上升的速度是一个常量,是圆锥形漏斗中液面下落的距离,则与下落时间(分)的函数关系表示的图象只可能是tHO3tHO3tHO3tHO3ABCDH6. 对于数列,若存在常数,使得对任意,与中至少有一个不小于,则记作,那么下列命题正确的是 A若,则数列各项均大于或等于 B若,则C若,则 D若,则7. 已知直线与圆及抛物线的四个交点从上到下依次为四点,则=A.12 B.14 C.16 D.188. 已知函数,下列结论错误的是A.,0B.,C.,D.,9设向量,且A、B、C分别是ABC的三个内角,若,则A=ABCD10函数满足:对一切当=ABCD二填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分)11、若,对于任何,都有,且,设 表示整数的个位数字,则 .12. 设若则的最大值为 .13已知平面内一区域,命题甲:点;命题乙:点如果甲是乙的充分条件,那么区域的面积的最小值是 14设是椭圆上任意一点,和分别是椭圆的左顶点和右焦点,则的最小值为 15. 若曲线(或)在其上两个不同点处的切线重合,则称这条切线为该曲线的自公切线. 下列方程的曲线存在自公切线的序号为 .; ; ; 三解答题(本大题共6小题,共75分,解答应写演算步骤)16(本小题满分12分)在ABC中,设角A、B、C的对边分别为a、b、c,若,(1)求角A、B、C的大小;(2)若BC边上的中线AM的长为,求ABC的面积17(本小题满分12分)如图,一个小球从处投入,通过管道自上而下落到或或.已知小球从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的. 某商家按上述投球方式进行促销活动,若投入的小球落到,则分别设为等奖.(1)求投入小球次获得等奖的概率;(2)已知获得等奖的折扣率分别为.记随机变量为获得等奖的折扣率.求随机变量的分布列及数学期望;(3)若有人次(投入球为人次)参加促销活动,记随机变量为获得等奖或等奖的人次,求. 18.(本小题满分12)已知四棱锥的底面为直角梯形, 底面,且, 是的中点.ABCDPM(1)求AC与PB所成的角的余弦值;(2)求二面角PACM的余弦值;(3)在棱PC上是否存在点N,使DN平面AMC,若存在,确定点N位置;若不存在,说明理由.19. (本小题满分12分)已知椭圆()的离心率为,且短轴长为2.(1)求椭圆的方程;(2)若与两坐标轴都不垂直的直线与椭圆交于两点,为坐标原点,且,求直线的方程.20.(本小题满分13分) 已知函数,(其中R,为自然对数的底数).(1)当时,求曲线在处的切线方程;(2)当1时,若关于的不等式0恒成立,求实数的取值范围.21.(本小题满分14分)已知函数同时满足条件: 对于任意;对任意 (I)证明:上的单调增函数; (II)求的值; (III)令参考答案(6)AAABC,DBDCA 112 121 132 14 15.7. 把代入得 8. (1)是增函数,A真; (2)令,它可视为上的点与原点连线的斜率,由图像知B真; (3)令,在,,使得,C真; (4)是凸函数,D错。10. ,T=2,=11. 由12. ,14. ,设,则16.(1)由知,所以,又得,即,解得,(舍)故, 6分(2)在ABC中,由于BC边上中线AM的长为,故在ABM中,由余弦定理得, 即 8分在ABC中,由正弦定理得 即 10分由解得故 12分17.解析:(1)投入小球次获得等奖的概率为. -4(2)由题意得的分布列为50%70%90%则-8(3)由(2)可知,获得等奖或等奖的概率为由题意得,则. -1218.(1)如图,过作,且,连结CE、AE,则即为AC与PB所成的角,由已知可得, (4分)ABCDPMNH(2)取中点连MN,则MNBC,MN平面PAC.取AC中点H,连NH,MH,则NHAC,MHAC,即为二面角P-AC-M的平面角由ABCDPMFGN,.(8分)(3)存在,PC中点N即为所求连DB交AC于点F,取PM中点G,连DG、FM,则DGFM,又平面,平面,平面,连DN,则GNMC,同理可证平面,又,平面DGN平面AMC,DN平面AMC (12分)19.解:(1)短轴长,(1分)又,所以,所以椭圆的方程为(4分)(2)设直线的方程为,由,消去得, (6分),,即(8分),即 (10分),解得,经检验,符合题意,方程为,(12分)20.解:(1)当时,切线方程为 (4分)(2)方法一1, (5分)设,则, (7分)设,则, (9分)在上为增函数,在上为增函数, (12分)方法二,设, (6分)0,0,在上为增函数,.(8分)又0恒成立,0,在上为增函数, (11分)此时0恒成立, (12分)21.(1)由条件得,当时,有,上的单调增函数。 (2分)(2)由条件得,若,则矛盾;若,则,满足条件;若,则,矛盾. ,又,。 (6分)(3)猜想.下面用数学归纳法证明:时,由结论(2)知,成立.假设时,猜想成立,即,即,时,猜想也成立综合知,时猜想成立。 (10分)【(法二):,又,】 (12分)又时, (14分)
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