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传播优秀Word版文档 ,希望对您有帮助,可双击去除!第1章 函数1 函数的概念一、区间、邻域自然数集N 整数集Z 有理数集Q 实数集R建立数轴后:建立某一实数集A与数轴上某一区间对应区间:设有数a,b,ab,则称实数集x|axb为一个开区间,记为(a,b)即(a,b)=x|axba称为(a,b)的左端点,b称为(a,b)的右端点。a(a,b),b(a,b)闭区间:a,b=x|axbaa,b,ba,b文章来源:半开区间:a,b)=x|axb,aa,b),ba,b)(a,b=x|axb,a(a,b,b(a,ba,b都是确定的实数,称(a,b),a,b),(a,b,a,b为有限区间,“ba”称为区间长度。记号:+正无穷大负无穷大区间:a,+)=x|ax(a,+)=x|ax(,b=x|xb(,b)=x|x0),则称实数集x|ax0称为邻域N(a,)的半径。去心邻域:把N(a,)的中心点a去掉,称为点a的去心邻域,记为N(a,)=x|0|xa|0),它的面积A=x2,当x在(0,+)内任取一个数值(记为x(0,+))时,由关系式A=x2就可以确定A的对应数值。文章来源:例2. 设有半径为r的圆,作圆的内接正n边形,每一边对应的圆心角=2n,周长Sn=n2rsinn,当边数n在自然数集N(n3)任取一个数,通过关系式Sn=2nrsinn就有一个Sn对应确定数值。函数定义:设有数集X,Y,f是一个确定的对应法则,对xX,通过对应法则f都有唯一的yY与x对应,记为xfy,或f(x)=y,则称f为定义在X上的函数。其中X称为f的定义域,常记为Df。X自变量,Y因变量。当X遍取X中的一切数时,那么与之对应的y值构成一个数集Vf=y|y=f(x),xX,称Vf为函数f的值域。文章来源:注意:(1)一个函数是由x,y的对应法则f与x的取值范围X所确定的。把“对应法则f”、“定义域”称为函数定义的两个要素。例如,y=arcsin(x2+2)这个式子,由于x2+22,而只有当|x2+2|1时,arcsin才有意义,因此这个式子不构成函数关系。又例如,y=lnx2与y=2lnx不是同一个函数,因为定义域不同。而y=lnx2与y=2ln|x|是同一个函数,因为定义域相同。(2)函数的值域是定义域和对应法则共同确定的。(3)确定函数定义域时,注意:若函数有实际意义,需依据实际问题是否有意义来确定。若函数不表示某实际问题,则定义域为自变量所能取得的使函数y=f(x)成立的一切实数所组成的数值。函数的几何意义:设函数y=f(x)定义域为Df,xDf,对应函数值y=f(x)在XOY平面上得到点(x,y),当x遍取Df中一切实数时,就得到点集P=(x,y)|y=f(x),xDf。点集P称为函数y=f(x)的图形。文章来源:三、函数的几个简单性质1. 函数的有界性若M0,s.t.|f(x)|M,xI,则称y=f(x)在区间I上有界。否则称f(x)在I上无界。注:s.t.是“使得,满足于”的意思,I表示某个区间。例如,y=sinx在I=(,+)上是有界的(|sinx|1,x(,+))。又如,y=1x2+1在(,+)上有界。对任何正数M0(无论多么大),总x1I,s.t.|f(x1)|M,则称f(x)在I上无界。例如,y=1x在(0,1)内无界。证明:对给定的M0(不妨设M1),无论M多么大,必存在x1=12M(0,1),使f(x1)=112M=2MM函数的上界、下界:若M(不局限于正数),s.t.f(x)M,xI,则称f(x)在区间I上有界。任何一个数NM,N也是f(x)的一个上界。若P,s.t.f(x)P,xI,则称f(x)在区间I上有下界。若Q0,s.t.|f(x)|M,xI。|f(x)|MMf(x)M因此f(x)有下界M,也有上界M(对xI)反之,设f(x)在I上既有下界m,又有上界N,即mf(x)N如果m=N=0,则f(x)0,xIf(x)在I上有界。如果m,N不同时为零,取M=max|m|,|N|0,则M|m|mf(x)N|N|M即Mf(x)M|f(x)|M,xIf(x)在I上有界。2. 函数的单调性若函数f(x)在区间I上,对任何x1,x2I,且x1x2,恒有f(x1)f(x2),则称f(x)在I上是严格单调增的。若x1x2,恒有f(x1)f(x2),则称f(x)在区间I上广义单调增(或直接称为单调增,或称非减的)。若x1f(x2),则称f(x)在I上严格单调减。类似地,也有广义单调减(单调减,非增的)的概念。文章来源:例如,y=x2,Df=(,+)在(0,+)上,y=x2严格单增。在(,0)上,y=x2严格单减。又如,取整函数(取一个数的整数部分):y=x=1,1x00,0x11,1x22,2x3.其函数图形如下:取整函数是一个广义单增/单调增/非减函数。文章来源:3. 函数的奇偶性若f(x)在关于原点对称的区间I上满足f(x)=f(x),则称f(x)为偶函数。若满足f(x)=f(x),则称f(x)为奇函数。偶函数图形关于y轴对称(例如:cosx,x2)奇函数图形关于原点对称(例如:sinx,x3)4. 函数的周期性设f(x)的定义域为Df,如果存在非零的常数T,s.t.对任意的xDf,有(xT)Df,且f(x+T)=f(x),则称f(x)为周期函数,T称为f(x)的周期(通常周期是指最小正周期)。文章来源:四、 复合函数,反函数1. 复合函数设y=u,u=1x2,把u=1x2代入y=u中,得到y=1x2,称为由y=u与u=1x2复合而成的复合函数。一般定义:设y=f(u)是数集Y上的函数(Y是f(u)的定义域),u=(x)的定义域为X,值域为Y,且Y(表示空集),YY(表示Y是Y的子集),这时,对xX,通过u都有唯一的y值与之对应,从而在X上产生一个新函数,用f(中间是一个实心的点)表示,称f(中间是一个空心的圈)为X上的复合函数:ffy,或y=f(x)y=f(x)的定义域:由u=(x)的定义域中使函数u=(x)的值域Y满足YY的那一部分实数组成。1. 复合函数y=f(u),u=(x)y=f(x)注意:f(x)与(x)定义域不一定相同。例1. 设f(x)=x2+1x21,(x)=11+x,求f(x)并确定定义域。解:f(x)=(x)2+1(x)21=11+x2+111+x21=x2+2x+2x(x+2)当x1(由11+x可知)且x0,x2时f(x)有定义。即f(x)定义域为:(,2)(2,1)(1,0)(0,+)2. 反函数设有函数y=f(x),定义域Df,值域Vf。yVf,至少可以确定一个xDf,s.t.f(x)=y,如果把y看作自变量,把x看作因变量,由函数概念,可以看到一个新函数,记为x=f1(y),称为y=f(x)的反函数。反函数的定义域为Vf,值域为Df,把y=f(x)称为直接函数,x=f1(y)称为反函数。注意:1.虽然直接函数y=f(x)是单值的,但反函数x=f1(y)不一定是单值的。例如,函数y=x2,Df:(,+),Vf:0,+反函数x=f1(y)不是单值的(因为对y0,+,得到x=y,有两个值y,+y,为双值函数)。x=y是一个单值支。2.如果直接函数y=f(x)严格单调,则其反函数x=f1(y)也是单值单调的。3.直接函数y=f(x)与反函数x=f1(y)图形相同,习惯上以x表示自变量,y表示因变量,反函数记为y=f1(x)。这时,y=f(x)与y=f1(x)的图形关于直线y=x对称,如下图所示:例1. 设y=f(x)=x2,2x1x2,1x2,求反函数y=f1(x)解:当2x1时,y=x2,1y12x=2y,定义域1y12当1x2时,y=x2,1y4x=+y(因为x是正数),定义域1y4综上所述,反函数为:x=f1(y)=2y,1y12y,1y4或:y=f1(x)=2x,1x0ey=x+x2+1y=ln(x+x2+1)即arshx=ln(x+x2+1)用类似方法可推出:arshx=ln(x+x2+1)archx=ln(x+x21)arthx=12ln(1+x1x)文章来源:第2章 极限主要内容:一、极限概念:数列概念、函数概念二、极限性质和运算,无穷小概念和比较三、函数的连续性1数列的极限一、数列极限定义数列:设有定义在自然数集N上的函数un=f(n),称为整标函数(标是指下标n)。把函数值un按照自然数n的顺序排列出来的无穷数串:u1,u2,u3,un,叫作数列(序列),第n项un称为一般项。数列简记为un,即un表示u1,u2,un,例如:nn+1:12,23,34,nn+1,12n:12,122,123,12n,1+(1)n2:0,1,0,1,1+(1)n2,2n+(1)n1n:3,32,73,74,115,116,2n+(1)n1n,文章来源:要研究的问题:当n无限增大时(记为n),数列un能否与某一常数A无限接近?如果un能与A无限接近,在数学上如何描述?例如,设un=2n+(1)n1n,当n时un的变化趋势如何?(一般地说,两个常数a,b,用|ab|来描述两数接近的程度)un=2n+(1)n1n=2+(1)n1nun2=(1)n1n|un2|=|(1)n1n|=1n当n越大,1n越小,un与2越接近。文章来源:给定一个很小的正数1100,则由|un2|=1n100,只要n100,就有|un2|1100|un2|110021100un100时,|un2|1000时,|un2|N时的一切un满足|un2|N时,un+1,un+2,都落在N(2,)内。数列极限定义:已知数列un和常数A,如果对于任意给定的正数,都存在正整数N,使得对于nN的一切un,不等式|unA|0,不等式|unA|0,为了使|un2|,只需1n0,故1|n|=1n,即|(1)n1n|=1n)或者说,n1即可。所以,对于任意给定的0,取正整数N=1(注:表示取整符号)当nN时,恒有不等式|un2|=|2n+(1)n1n2|=1nN时有1nN时,n334,即1n=0.002994文章来源:例2. 证明当n时,(n1)(2n1)6n213证:un=(n1)(2n1)6n2=1312n+16n2un13=12n+16n2|un13|=|12n16n2|=12n|113n|0且13n0,只要12n12时,便可得|un13|12n0,取正整数N=12,则当nN时,恒有|un13|12n按数列极限定义,有limn(n1)(2n1)6n2=13文章来源:注意:利用数列极限定义来验证limnun=A时,关键步骤是指明定义中的N确实存在。由于N不是唯一的,所以不一定要找最小的N,只要找到一个N就可以了。例如,知道|unA|=(n)(整标函数),那么由(n)N时(n),从而知道|unA|例3. 证明limn(1)n(n+1)2=0证 :|un0|=|(1)n(n+1)20|=1(n+1)21n20,只要(n)=1n1时,恒有不等式|(1)n(n+1)20|所以,按照极限定义,limn(1)n(n+1)2=0收敛数列的两个性质:1.定理1若un的极限存在,则极限值是唯一的。证:(用反证法来证明)若un收敛,且极限不唯一,即:同时有limnun=a,limnun=b,且a0,有:必存在正整数N1,使得当nN1时,恒有|una|N2时,恒有|unb|N时,上面两个不等式同时成立。ba=bun+una|bun|+|una|ba4+ba4=ba2而上式baba2是不成立的limnun是唯一的。例:证明数列un=(1)nnn+1是发散的。证:un:12,23,34,45,当n取奇数2m1(m1这说明,距离最短的两个点u1,u2之间的距离大于1。这个无厘头的结论在后面会用到。文章来源:假设unA(n)(A是唯一的)由极限定义,给定正数=120,必存在一个正整数N,使得当nN时,恒有不等式|unA|12A12unN)uN+1,uN+2,uN+3,(A12,A+12)区间(A12,A+12)长度为1而uN+1,uN+2落在长度为1的区间(A12,A+12)内是不可能的(由前面推导的“无厘头”结论可知,距离最短的两个点都无法落在长度为1的区间内)(1)nnn+1是发散的。证毕。文章来源:有界数列:对于数列un,如果存在一个正数M0,使得一切un都有|un|M,则称un有界。2.定理2如果un收敛,则un一定是有界的。证:un收敛,可设limnun=A由极限定义,对给定正数=1,必存在正整数N,使得nN时,恒有|unA|1A1unN)(有限个数,最大值一定存在)于是|un|M(n=1,2,)un是有界的。文章来源:2函数的极限讨论x为连续自变量时,函数y=f(x)的极限。1. 自变量x任意地接近于定值x0,或x趋向于x0(记为xx0),对应的函数值f(x)的变化趋势。2. 自变量x的绝对值|x|无限增大(记为x),对应的函数值f(x)的变化趋势。一、自变量x趋向于定值x0时,f(x)的极限假设函数f(x)在x0点的某邻域内有定义(在x0点f(x)可以无定义,这并不影响我们讨论问题),问题:当x任意地趋近于x0时,即xx0时,对应函数值f(x)是否无限接近于常数A?分析:当xx0的过程中,对应函数值f(x)无限接近于常数A当xx0的过程中,|f(x)A|能任意地小当xx0的过程中,对任意给定的整数0,|f(x)A|文章来源:当xx0的过程中,只有充分接近x0的那些x,才能使|f(x)A|0,00,都存在一个正数0,使得适合不等式0|xx0|的一切x所对应的函数值f(x)都满足:|f(x)A|0,在xOy平面上作直线y=A+,y=A,对0,得邻域N(x0,),当xN(x0,)(xx0)时,由定义可知,点M(x,f(x)一定在y=A与y=A+的区域内。文章来源:下面用limxx0f(x)=A定义来证明一些函数极限等式。例1.limxx0C=C证:f(x)C,x0为一定值,A=Cf(x)A=CC0因此,对任意给定的0,凡是适合0|xx0|的一切x,都使|f(x)A|=00,取=,则当0|xx0|=时,都能使|f(x)A|=|xx0|0,为了使3|x1|(即|x1|3),可以取=3,则适合不等式0|x1|的一切x都能使|f(x)A|=3|x1|=33=按照极限的定义,有limx1(3x5)=2文章来源:例4. 证明limx111+x=12证:f(x)=11+x,x0=1,A=12|f(x)A|=11+x12=1x2(1+x)=(1x)(1+x)2(1+x)2=x12(1+x)2x12则当|x1|2时,就有|f(x)A|0,取=2,则适合0|x1|的一切x,都使得|f(x)A|=11+x12按照极限的定义,有limx111+x=12limxx0f(x)=Ax可以从x0的左侧趋于x0,也可以从右侧趋于x0。当从x0的左侧趋于x0(x0,都存在0,凡适合x0xx0的一切x,对应的函数值f(x)都满足|f(x)A|,则称A为f(x)的左极限。记为:limxx0f(x)=A或limxx00f(x)=A可统一表示为f(x00)=A文章来源:右极限:把定义中0|xx0|改为x0x0,都存在正数N,使得凡是适合|x|N的一切x,对应的函数值f(x)都满足|f(x)A|0,且|x|无限增大(记为x+),上面定义中把|x|N改为xN,就得到limx+f(x)=A的定义。如果只考虑xN改为xN,就得到limxf(x)=A的定义。limxf(x)=Alimxf(x)和limx+f(x)都存在且等于A(注:表示充分必要条件)文章来源:例:证明limx11+x2=0证:f(x)=11+x2,A=0|f(x)A|=11+x20=11+x21x20,为了使|f(x)A|,只需1x21|x|1因此,对任意给定的0,取N=1,凡是适合不等式|x|N的一切x,对应的函数值f(x)都满足:|f(x)A|=11+x200(无论M多么大),总存在0,凡是适合不等式0|xx0|M,则称当xx0时,f(x)是无穷大,记为limxx0f(x)=注意:上式并不说明极限存在,只是说明其极限为无穷大量,无穷大不是一个常数。把上面定义中的“总存在0,凡是适合不等式0|xx0|N的一切x”,其余表述不变,则得到limxf(x)=注意:1.不能把无穷大与一个很大的常数混为一谈;2.无穷大一定是无界函数,但无界函数不一定是无穷大。我们来证明一下结论2。先证明无穷大一定是无界函数。证:设limxx0f(x)=(或limxf(x)=),即f(x)是无穷大对任意给定的正数M0(无论多么大),一定存在0(存在N0),使得:|f(x)|M(对xN(x0,),或|x|N)所以,在N(x0,)内(或|x|N),f(x)无界。证毕。文章来源:再证明无界函数不一定是无穷大。证:此处举一个实例即可证明这一点。证明f(x)=xsinx在(0,+)内是无界函数;但是当x+时,f(x)不是无穷大。先证f(x)=xsinx在(0,+)内是无界函数。对任何M0(无论多么大),现取足够大的正整数n,使xn=2n+2M,则:f(xn)=xnsinxn=(2n+2)sin(2n+2)=(2n+2)1M可见,f(x)在(0,+)内是无界的。再证x+时,f(x)=xsinx不是无穷大。给定M=1,则无论多么大的正整数N,当nN时,xn=nNf(xn)=xnsinxn=nsinn=00,因limxx0f(x)=,对于正数M=1,一定存在0,使适合不等式0|xx0|M=11f(x)0(无论多么大),因limxx0f(x)=0对=1M,一定存在0,使适合不等式0|xx0|的一切x所对应的f(x)满足|f(x)|M即当xx0时,1f(x)是无穷小。证毕。四、海涅定理/Heine定理连续自变量x的函数f(x)的极限limxx0f(x)(或limxf(x))存在的充分必要条件:对任选的数列xn|xnx0,xnx0(或xn),其所对应的数列f(xn)有同一极限。文章来源:例. (用海涅定理)证明当x0时,f(x)=sin1x的极限不存在。证:取xn=1n,limnxn=limn1n=0f(xn)=sin1xn=sinn=0,f(xn)=0(即数列的每一项都为0)limnf(xn)=0取xn=12n+20f(xn)=sin(2n+2)=1,f(xn)=1(即数列的每一项都为1)limnf(xn)=1limnf(xn)limnf(xn)limx0f(x)不存在(由海涅定理可知)3函数极限的性质和极限的运算一、极限值与函数值的关系1. (极限值的唯一性)如果limxx0f(x)存在,则其极限值是唯一的下面证明这个结论。证:用反证法来证明。设limxx0f(x)存在且不唯一:limxx0f(x)=A,limxx0f(x)=B,且A0,这个假设后面要用到。文章来源:对给定正数=BA40,由于limxx0f(x)=A,故由极限定义,对正数=BA4,一定存在10,使得适合不等式0|xx0|1的一切x,所对应的函数值f(x)恒有|f(x)A|0,由于limxx0f(x)=B,故由极限定义,对正数=BA4,一定存在20,使得适合不等式0|xx0|2的一切x,所对应的函数值f(x)恒有|f(x)B|BA4。取=min1,2,则凡是适合不等式0|xx0|的一切x,可以使以下两个不等式同时成立:|f(x)A|BA4,|f(x)B|BA4文章来源:从而有:BA=|Bf(x)+f(x)A|Bf(x)|+|f(x)A|BA4+BA4=BA2即BA0的情况下,这是不可能成立的。limxx0f(x)=A是唯一的。2. 极限值与函数值的同号性(1)设limxx0f(x)=A,且A0(或A0(或f(x)0,由limxx0f(x)=A和极限定义,可知:对正数00,s.t.适合不等式0|xx0|(即xN(x0,))的一切x,恒有|f(x)A|,即Af(x)A+文章来源:0AA0即0Af(x),其中xN(x0,)证毕。(2)设limxx0f(x)=A,且在N(x0)内f(x)0,则A0。证:用反证法来证明。假如A0,又limxx0f(x)=A由已证的(1),可知存在N(x0),使f(x)f(x0)(B)f(x)f(x0)(此项为正确答案)(C)f(x)=f(x0)(D)不能判断f(x)与f(x0)的大小关系解:令F(x)=f(x)f(x0)(xx0)2,则limxx0F(x)=10由前面所证的结论(1)可知:一定存在N(x0,),使F(x)0,xN(x0,)由F(x)=f(x)f(x0)(xx0)20f(x)f(x0)0f(x)0,|x|N),使得f(x)是有界的。证:已知limxx0f(x)=A,由极限定义,对给定正数=10,必定存在0,使得适合不等式0|xx0|(即xN(x0,))的一切x所对应的f(x),恒有:|f(x)A|1A1f(x)A+1即f(x)在N(x0,)内既有上界,又有下界f(x)在N(x0,)内有界。证毕。二、函数极限与无穷小的关系设limxx0f(x)=A(或limxf(x)=A),讨论f(x),A之间有何关系?limxx0f(x)=A(或limxf(x)=A),A为常数f(x)=A+(x),且limxx0(x)=0(或limx(x)=0)证:左推右:设limxx0f(x)=A(或limxf(x)=A,下面只证前一种情况),根据函数极限定义,对任意给定的0,一定存在0,使得适合不等式0|xx0|的一切x所对应的f(x),恒有|f(x)A|。令(x)=f(x)A,就有|(x)|0,一定存在0,使得凡是适合不等式0|xx0|的一切x所对应的f(x),恒有|(x)|由f(x)=A+(x)(x)=f(x)A由|(x)|f(x)A|0,对正数20,一定存在10,使得凡是适合不等式0|xx0|1的一切x所对应的(x),恒有|(x)|0,一定存在20,使得凡是适合不等式0|xx0|2的一切x所对应的(x),恒有|(x)|0,当0|xx0|时,这些x所对应的(x),(x)同时满足:|(x)|2,|(x)|2从而有:|(x)+(x)|(x)|+|(x)|0内有界,即存在M0,10,使得f(x)M,xN(x0,1)又设limxx0(x)=0(即当xx0时,(x)是无穷小)文章来源:要证明的是:当xx0时,f(x)(x)是无穷小。即要证:limxx0f(x)(x)=0根据极限,任意给定0,对M0,一定存在20,使得适合不等式0|xx0|2的一切x所对应的(x)恒有|(x)|0,则凡是适合不等式0|xx0|的一切x,都会使|f(x)|M,且|(x)|M从而有|f(x)(x)|=|f(x)|(x)|0,必定存在0,使得凡是适合不等式0|xx0|的一切x所对应的f(x),恒有|f(x)A|A2又由|A|f(x)|f(x)A|A2|A|f(x)|A2|A|A2|f(x)|(注:两个数差的绝对值一定它们绝对值的差)0A2|f(x)|1f(x)2A(2A相当于有界函数定义中的M)1f(x)在N(x0,)内是有界的。所以结论成立。证毕。四、极限的四则运算公式以下公式中,自变量都是xx0,或者都是x设limf(x)=A,limg(x)=B,则有:1.limf(x)g(x)=AB=limf(x)limg(x)2.limf(x)g(x)=AB=limf(x)limg(x)若C是常数,则limCf(x)=CA=Climf(x)若n是正整数,limf(x)n=limf(x)f(x)f(x)=An=limf(x)n文章来源:证明:由函数极限与无穷小的关系:limf(x)=Af(x)=A+(x),lim(x)=0limg(x)=Bg(x)=B+(x),lim(x)=0f(x)g(x)=A+(x)B+(x)=AB+A(x)+B(x)+(x)(x)=AB+(x)其中(x)=A(x)+B(x)+(x)(x)由无穷小的性质,可知(x)是无穷小,即f(x)g(x)=AB+(x),lim(x)=0limf(x)g(x)=AB=limf(x)limg(x)证毕。文章来源:3. 若B0,则lim
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