高等数学笔记Word版

传播优秀Word版文档 ，希望对您有帮助，可双击去除！第1章 函数1 函数的概念一、区间、邻域自然数集N 整数集Z 有理数集Q 实数集R建立数轴后：建立某一实数集A与数轴上某一区间对应区间：设有数a,b,ab，则称实数集x|axb为一个开区间，记为(a,b)即(a,b)=x|axba称为(a,b)的左端点，b称为(a,b)的右端点。a(a,b),b(a,b)闭区间：a,b=x|axbaa,b,ba,b文章来源：半开区间：a,b)=x|axb,aa,b),ba,b)(a,b=x|axb,a(a,b,b(a,ba，b都是确定的实数，称(a,b),a,b),(a,b,a,b为有限区间，“ba”称为区间长度。记号：+正无穷大负无穷大区间：a,+)=x|ax(a,+)=x|ax(,b=x|xb(,b)=x|x0)，则称实数集x|ax0称为邻域N(a,)的半径。去心邻域：把N(a,)的中心点a去掉，称为点a的去心邻域，记为N(a,)=x|0|xa|0)，它的面积A=x2，当x在(0,+)内任取一个数值（记为x(0,+)）时，由关系式A=x2就可以确定A的对应数值。文章来源：例2. 设有半径为r的圆，作圆的内接正n边形，每一边对应的圆心角=2n，周长Sn=n2rsinn，当边数n在自然数集N(n3)任取一个数，通过关系式Sn=2nrsinn就有一个Sn对应确定数值。函数定义：设有数集X,Y，f是一个确定的对应法则，对xX，通过对应法则f都有唯一的yY与x对应，记为xfy，或f(x)=y，则称f为定义在X上的函数。其中X称为f的定义域，常记为Df。X自变量，Y因变量。当X遍取X中的一切数时，那么与之对应的y值构成一个数集Vf=y|y=f(x),xX，称Vf为函数f的值域。文章来源：注意：（1）一个函数是由x,y的对应法则f与x的取值范围X所确定的。把“对应法则f”、“定义域”称为函数定义的两个要素。例如，y=arcsin(x2+2)这个式子，由于x2+22，而只有当|x2+2|1时，arcsin才有意义，因此这个式子不构成函数关系。又例如，y=lnx2与y=2lnx不是同一个函数，因为定义域不同。而y=lnx2与y=2ln|x|是同一个函数，因为定义域相同。（2）函数的值域是定义域和对应法则共同确定的。（3）确定函数定义域时，注意：若函数有实际意义，需依据实际问题是否有意义来确定。若函数不表示某实际问题，则定义域为自变量所能取得的使函数y=f(x)成立的一切实数所组成的数值。函数的几何意义：设函数y=f(x)定义域为Df，xDf，对应函数值y=f(x)在XOY平面上得到点(x,y)，当x遍取Df中一切实数时，就得到点集P=(x,y)|y=f(x),xDf。点集P称为函数y=f(x)的图形。文章来源：三、函数的几个简单性质1. 函数的有界性若M0,s.t.|f(x)|M,xI，则称y=f(x)在区间I上有界。否则称f(x)在I上无界。注：s.t.是“使得，满足于”的意思，I表示某个区间。例如，y=sinx在I=(,+)上是有界的（|sinx|1,x(,+)）。又如，y=1x2+1在(,+)上有界。对任何正数M0（无论多么大），总x1I,s.t.|f(x1)|M，则称f(x)在I上无界。例如，y=1x在(0,1)内无界。证明：对给定的M0（不妨设M1），无论M多么大，必存在x1=12M(0,1)，使f(x1)=112M=2MM函数的上界、下界：若M（不局限于正数），s.t.f(x)M,xI，则称f(x)在区间I上有界。任何一个数NM，N也是f(x)的一个上界。若P,s.t.f(x)P,xI，则称f(x)在区间I上有下界。若Q0,s.t.|f(x)|M,xI。|f(x)|MMf(x)M因此f(x)有下界M，也有上界M（对xI）反之，设f(x)在I上既有下界m，又有上界N，即mf(x)N如果m=N=0，则f(x)0,xIf(x)在I上有界。如果m,N不同时为零，取M=max|m|,|N|0，则M|m|mf(x)N|N|M即Mf(x)M|f(x)|M,xIf(x)在I上有界。2. 函数的单调性若函数f(x)在区间I上，对任何x1,x2I，且x1x2，恒有f(x1)f(x2)，则称f(x)在I上是严格单调增的。若x1x2，恒有f(x1)f(x2)，则称f(x)在区间I上广义单调增（或直接称为单调增，或称非减的）。若x1f(x2)，则称f(x)在I上严格单调减。类似地，也有广义单调减（单调减，非增的）的概念。文章来源：例如，y=x2,Df=(,+)在(0,+)上，y=x2严格单增。在(,0)上，y=x2严格单减。又如，取整函数（取一个数的整数部分）：y=x=1,1x00,0x11,1x22,2x3.其函数图形如下：取整函数是一个广义单增/单调增/非减函数。文章来源：3. 函数的奇偶性若f(x)在关于原点对称的区间I上满足f(x)=f(x)，则称f(x)为偶函数。若满足f(x)=f(x)，则称f(x)为奇函数。偶函数图形关于y轴对称（例如：cosx,x2）奇函数图形关于原点对称（例如：sinx,x3）4. 函数的周期性设f(x)的定义域为Df，如果存在非零的常数T,s.t.对任意的xDf，有(xT)Df，且f(x+T)=f(x)，则称f(x)为周期函数，T称为f(x)的周期（通常周期是指最小正周期）。文章来源：四、 复合函数，反函数1. 复合函数设y=u,u=1x2，把u=1x2代入y=u中，得到y=1x2，称为由y=u与u=1x2复合而成的复合函数。一般定义：设y=f(u)是数集Y上的函数（Y是f(u)的定义域），u=(x)的定义域为X，值域为Y，且Y（表示空集），YY（表示Y是Y的子集），这时，对xX，通过u都有唯一的y值与之对应，从而在X上产生一个新函数，用f（中间是一个实心的点）表示，称f（中间是一个空心的圈）为X上的复合函数：ffy，或y=f(x)y=f(x)的定义域：由u=(x)的定义域中使函数u=(x)的值域Y满足YY的那一部分实数组成。1. 复合函数y=f(u),u=(x)y=f(x)注意：f(x)与(x)定义域不一定相同。例1. 设f(x)=x2+1x21,(x)=11+x，求f(x)并确定定义域。解：f(x)=(x)2+1(x)21=11+x2+111+x21=x2+2x+2x(x+2)当x1（由11+x可知）且x0,x2时f(x)有定义。即f(x)定义域为：(,2)(2,1)(1,0)(0,+)2. 反函数设有函数y=f(x)，定义域Df，值域Vf。yVf，至少可以确定一个xDf,s.t.f(x)=y，如果把y看作自变量，把x看作因变量，由函数概念，可以看到一个新函数，记为x=f1(y)，称为y=f(x)的反函数。反函数的定义域为Vf，值域为Df，把y=f(x)称为直接函数，x=f1(y)称为反函数。注意：1.虽然直接函数y=f(x)是单值的，但反函数x=f1(y)不一定是单值的。例如，函数y=x2,Df:(,+),Vf:0,+反函数x=f1(y)不是单值的（因为对y0,+，得到x=y，有两个值y,+y，为双值函数）。x=y是一个单值支。2.如果直接函数y=f(x)严格单调，则其反函数x=f1(y)也是单值单调的。3.直接函数y=f(x)与反函数x=f1(y)图形相同，习惯上以x表示自变量，y表示因变量，反函数记为y=f1(x)。这时，y=f(x)与y=f1(x)的图形关于直线y=x对称，如下图所示：例1. 设y=f(x)=x2,2x1x2,1x2，求反函数y=f1(x)解：当2x1时，y=x2,1y12x=2y，定义域1y12当1x2时，y=x2,1y4x=+y（因为x是正数），定义域1y4综上所述，反函数为：x=f1(y)=2y,1y12y,1y4或：y=f1(x)=2x,1x0ey=x+x2+1y=ln(x+x2+1)即arshx=ln(x+x2+1)用类似方法可推出：arshx=ln(x+x2+1)archx=ln(x+x21)arthx=12ln(1+x1x)文章来源：第2章 极限主要内容：一、极限概念：数列概念、函数概念二、极限性质和运算，无穷小概念和比较三、函数的连续性1数列的极限一、数列极限定义数列：设有定义在自然数集N上的函数un=f(n)，称为整标函数（标是指下标n）。把函数值un按照自然数n的顺序排列出来的无穷数串：u1,u2,u3,un,叫作数列（序列），第n项un称为一般项。数列简记为un，即un表示u1,u2,un,例如：nn+1:12,23,34,nn+1,12n:12,122,123,12n,1+(1)n2:0,1,0,1,1+(1)n2,2n+(1)n1n:3,32,73,74,115,116,2n+(1)n1n,文章来源：要研究的问题：当n无限增大时（记为n），数列un能否与某一常数A无限接近？如果un能与A无限接近，在数学上如何描述？例如，设un=2n+(1)n1n，当n时un的变化趋势如何？（一般地说，两个常数a,b，用|ab|来描述两数接近的程度）un=2n+(1)n1n=2+(1)n1nun2=(1)n1n|un2|=|(1)n1n|=1n当n越大，1n越小，un与2越接近。文章来源：给定一个很小的正数1100，则由|un2|=1n100，只要n100，就有|un2|1100|un2|110021100un100时，|un2|1000时，|un2|N时的一切un满足|un2|N时，un+1,un+2,都落在N(2,)内。数列极限定义：已知数列un和常数A，如果对于任意给定的正数，都存在正整数N，使得对于nN的一切un，不等式|unA|0，不等式|unA|0，为了使|un2|，只需1n0，故1|n|=1n，即|(1)n1n|=1n）或者说，n1即可。所以，对于任意给定的0，取正整数N=1（注：表示取整符号）当nN时，恒有不等式|un2|=|2n+(1)n1n2|=1nN时有1nN时，n334，即1n=0.002994文章来源：例2. 证明当n时，(n1)(2n1)6n213证：un=(n1)(2n1)6n2=1312n+16n2un13=12n+16n2|un13|=|12n16n2|=12n|113n|0且13n0，只要12n12时，便可得|un13|12n0，取正整数N=12，则当nN时，恒有|un13|12n按数列极限定义，有limn(n1)(2n1)6n2=13文章来源：注意：利用数列极限定义来验证limnun=A时，关键步骤是指明定义中的N确实存在。由于N不是唯一的，所以不一定要找最小的N，只要找到一个N就可以了。例如，知道|unA|=(n)（整标函数），那么由(n)N时(n)，从而知道|unA|例3. 证明limn(1)n(n+1)2=0证 ：|un0|=|(1)n(n+1)20|=1(n+1)21n20，只要(n)=1n1时，恒有不等式|(1)n(n+1)20|所以，按照极限定义，limn(1)n(n+1)2=0收敛数列的两个性质：1.定理1若un的极限存在，则极限值是唯一的。证：（用反证法来证明）若un收敛，且极限不唯一，即：同时有limnun=a,limnun=b，且a0，有：必存在正整数N1，使得当nN1时，恒有|una|N2时，恒有|unb|N时，上面两个不等式同时成立。ba=bun+una|bun|+|una|ba4+ba4=ba2而上式baba2是不成立的limnun是唯一的。例：证明数列un=(1)nnn+1是发散的。证：un:12,23,34,45,当n取奇数2m1(m1这说明，距离最短的两个点u1,u2之间的距离大于1。这个无厘头的结论在后面会用到。文章来源：假设unA(n)（A是唯一的）由极限定义，给定正数=120，必存在一个正整数N，使得当nN时，恒有不等式|unA|12A12unN)uN+1,uN+2,uN+3,(A12,A+12)区间(A12,A+12)长度为1而uN+1,uN+2落在长度为1的区间(A12,A+12)内是不可能的（由前面推导的“无厘头”结论可知，距离最短的两个点都无法落在长度为1的区间内）(1)nnn+1是发散的。证毕。文章来源：有界数列：对于数列un，如果存在一个正数M0，使得一切un都有|un|M，则称un有界。2.定理2如果un收敛，则un一定是有界的。证：un收敛，可设limnun=A由极限定义，对给定正数=1，必存在正整数N，使得nN时，恒有|unA|1A1unN)（有限个数，最大值一定存在）于是|un|M(n=1,2,)un是有界的。文章来源：2函数的极限讨论x为连续自变量时，函数y=f(x)的极限。1. 自变量x任意地接近于定值x0，或x趋向于x0（记为xx0），对应的函数值f(x)的变化趋势。2. 自变量x的绝对值|x|无限增大（记为x），对应的函数值f(x)的变化趋势。一、自变量x趋向于定值x0时，f(x)的极限假设函数f(x)在x0点的某邻域内有定义（在x0点f(x)可以无定义，这并不影响我们讨论问题），问题：当x任意地趋近于x0时，即xx0时，对应函数值f(x)是否无限接近于常数A？分析：当xx0的过程中，对应函数值f(x)无限接近于常数A当xx0的过程中，|f(x)A|能任意地小当xx0的过程中，对任意给定的整数0,|f(x)A|文章来源：当xx0的过程中，只有充分接近x0的那些x，才能使|f(x)A|0,00，都存在一个正数0，使得适合不等式0|xx0|的一切x所对应的函数值f(x)都满足：|f(x)A|0，在xOy平面上作直线y=A+,y=A，对0，得邻域N(x0,)，当xN(x0,)(xx0)时，由定义可知，点M(x,f(x)一定在y=A与y=A+的区域内。文章来源：下面用limxx0f(x)=A定义来证明一些函数极限等式。例1.limxx0C=C证：f(x)C,x0为一定值，A=Cf(x)A=CC0因此，对任意给定的0，凡是适合0|xx0|的一切x，都使|f(x)A|=00，取=，则当0|xx0|=时，都能使|f(x)A|=|xx0|0，为了使3|x1|（即|x1|3），可以取=3，则适合不等式0|x1|的一切x都能使|f(x)A|=3|x1|=33=按照极限的定义，有limx1(3x5)=2文章来源：例4. 证明limx111+x=12证：f(x)=11+x,x0=1,A=12|f(x)A|=11+x12=1x2(1+x)=(1x)(1+x)2(1+x)2=x12(1+x)2x12则当|x1|2时，就有|f(x)A|0，取=2，则适合0|x1|的一切x，都使得|f(x)A|=11+x12按照极限的定义，有limx111+x=12limxx0f(x)=Ax可以从x0的左侧趋于x0，也可以从右侧趋于x0。当从x0的左侧趋于x0(x0，都存在0，凡适合x0xx0的一切x，对应的函数值f(x)都满足|f(x)A|，则称A为f(x)的左极限。记为：limxx0f(x)=A或limxx00f(x)=A可统一表示为f(x00)=A文章来源：右极限：把定义中0|xx0|改为x0x0，都存在正数N，使得凡是适合|x|N的一切x，对应的函数值f(x)都满足|f(x)A|0，且|x|无限增大（记为x+），上面定义中把|x|N改为xN，就得到limx+f(x)=A的定义。如果只考虑xN改为xN，就得到limxf(x)=A的定义。limxf(x)=Alimxf(x)和limx+f(x)都存在且等于A（注：表示充分必要条件）文章来源：例：证明limx11+x2=0证：f(x)=11+x2,A=0|f(x)A|=11+x20=11+x21x20，为了使|f(x)A|，只需1x21|x|1因此，对任意给定的0，取N=1，凡是适合不等式|x|N的一切x，对应的函数值f(x)都满足：|f(x)A|=11+x200（无论M多么大），总存在0，凡是适合不等式0|xx0|M，则称当xx0时，f(x)是无穷大，记为limxx0f(x)=注意：上式并不说明极限存在，只是说明其极限为无穷大量，无穷大不是一个常数。把上面定义中的“总存在0，凡是适合不等式0|xx0|N的一切x”，其余表述不变，则得到limxf(x)=注意：1.不能把无穷大与一个很大的常数混为一谈；2.无穷大一定是无界函数，但无界函数不一定是无穷大。我们来证明一下结论2。先证明无穷大一定是无界函数。证：设limxx0f(x)=（或limxf(x)=），即f(x)是无穷大对任意给定的正数M0（无论多么大），一定存在0（存在N0），使得：|f(x)|M（对xN(x0,)，或|x|N）所以，在N(x0,)内（或|x|N），f(x)无界。证毕。文章来源：再证明无界函数不一定是无穷大。证：此处举一个实例即可证明这一点。证明f(x)=xsinx在(0,+)内是无界函数；但是当x+时，f(x)不是无穷大。先证f(x)=xsinx在(0,+)内是无界函数。对任何M0（无论多么大），现取足够大的正整数n，使xn=2n+2M，则：f(xn)=xnsinxn=(2n+2)sin(2n+2)=(2n+2)1M可见，f(x)在(0,+)内是无界的。再证x+时，f(x)=xsinx不是无穷大。给定M=1，则无论多么大的正整数N，当nN时，xn=nNf(xn)=xnsinxn=nsinn=00，因limxx0f(x)=，对于正数M=1，一定存在0，使适合不等式0|xx0|M=11f(x)0（无论多么大），因limxx0f(x)=0对=1M，一定存在0，使适合不等式0|xx0|的一切x所对应的f(x)满足|f(x)|M即当xx0时，1f(x)是无穷小。证毕。四、海涅定理/Heine定理连续自变量x的函数f(x)的极限limxx0f(x)（或limxf(x)）存在的充分必要条件：对任选的数列xn|xnx0,xnx0（或xn），其所对应的数列f(xn)有同一极限。文章来源：例. （用海涅定理）证明当x0时，f(x)=sin1x的极限不存在。证：取xn=1n,limnxn=limn1n=0f(xn)=sin1xn=sinn=0,f(xn)=0（即数列的每一项都为0）limnf(xn)=0取xn=12n+20f(xn)=sin(2n+2)=1,f(xn)=1（即数列的每一项都为1）limnf(xn)=1limnf(xn)limnf(xn)limx0f(x)不存在（由海涅定理可知）3函数极限的性质和极限的运算一、极限值与函数值的关系1. （极限值的唯一性）如果limxx0f(x)存在，则其极限值是唯一的下面证明这个结论。证：用反证法来证明。设limxx0f(x)存在且不唯一：limxx0f(x)=A,limxx0f(x)=B，且A0，这个假设后面要用到。文章来源：对给定正数=BA40，由于limxx0f(x)=A，故由极限定义，对正数=BA4，一定存在10，使得适合不等式0|xx0|1的一切x，所对应的函数值f(x)恒有|f(x)A|0，由于limxx0f(x)=B，故由极限定义，对正数=BA4，一定存在20，使得适合不等式0|xx0|2的一切x，所对应的函数值f(x)恒有|f(x)B|BA4。取=min1,2，则凡是适合不等式0|xx0|的一切x，可以使以下两个不等式同时成立：|f(x)A|BA4,|f(x)B|BA4文章来源：从而有：BA=|Bf(x)+f(x)A|Bf(x)|+|f(x)A|BA4+BA4=BA2即BA0的情况下，这是不可能成立的。limxx0f(x)=A是唯一的。2. 极限值与函数值的同号性(1)设limxx0f(x)=A，且A0（或A0（或f(x)0，由limxx0f(x)=A和极限定义，可知：对正数00,s.t.适合不等式0|xx0|（即xN(x0,)）的一切x，恒有|f(x)A|，即Af(x)A+文章来源：0AA0即0Af(x)，其中xN(x0,)证毕。(2)设limxx0f(x)=A，且在N(x0)内f(x)0，则A0。证：用反证法来证明。假如A0，又limxx0f(x)=A由已证的(1)，可知存在N(x0)，使f(x)f(x0)(B)f(x)f(x0)（此项为正确答案）(C)f(x)=f(x0)(D)不能判断f(x)与f(x0)的大小关系解：令F(x)=f(x)f(x0)(xx0)2，则limxx0F(x)=10由前面所证的结论(1)可知：一定存在N(x0,)，使F(x)0,xN(x0,)由F(x)=f(x)f(x0)(xx0)20f(x)f(x0)0f(x)0,|x|N），使得f(x)是有界的。证：已知limxx0f(x)=A，由极限定义，对给定正数=10，必定存在0，使得适合不等式0|xx0|（即xN(x0,)）的一切x所对应的f(x)，恒有：|f(x)A|1A1f(x)A+1即f(x)在N(x0,)内既有上界，又有下界f(x)在N(x0,)内有界。证毕。二、函数极限与无穷小的关系设limxx0f(x)=A（或limxf(x)=A），讨论f(x),A之间有何关系？limxx0f(x)=A（或limxf(x)=A），A为常数f(x)=A+(x)，且limxx0(x)=0（或limx(x)=0）证：左推右：设limxx0f(x)=A（或limxf(x)=A，下面只证前一种情况），根据函数极限定义，对任意给定的0，一定存在0，使得适合不等式0|xx0|的一切x所对应的f(x)，恒有|f(x)A|。令(x)=f(x)A，就有|(x)|0，一定存在0，使得凡是适合不等式0|xx0|的一切x所对应的f(x)，恒有|(x)|由f(x)=A+(x)(x)=f(x)A由|(x)|f(x)A|0，对正数20，一定存在10，使得凡是适合不等式0|xx0|1的一切x所对应的(x)，恒有|(x)|0，一定存在20，使得凡是适合不等式0|xx0|2的一切x所对应的(x)，恒有|(x)|0，当0|xx0|时，这些x所对应的(x)，(x)同时满足：|(x)|2,|(x)|2从而有：|(x)+(x)|(x)|+|(x)|0内有界，即存在M0,10，使得f(x)M,xN(x0,1)又设limxx0(x)=0（即当xx0时，(x)是无穷小）文章来源：要证明的是：当xx0时，f(x)(x)是无穷小。即要证：limxx0f(x)(x)=0根据极限，任意给定0，对M0，一定存在20，使得适合不等式0|xx0|2的一切x所对应的(x)恒有|(x)|0，则凡是适合不等式0|xx0|的一切x，都会使|f(x)|M，且|(x)|M从而有|f(x)(x)|=|f(x)|(x)|0，必定存在0，使得凡是适合不等式0|xx0|的一切x所对应的f(x)，恒有|f(x)A|A2又由|A|f(x)|f(x)A|A2|A|f(x)|A2|A|A2|f(x)|（注：两个数差的绝对值一定它们绝对值的差）0A2|f(x)|1f(x)2A（2A相当于有界函数定义中的M）1f(x)在N(x0,)内是有界的。所以结论成立。证毕。四、极限的四则运算公式以下公式中，自变量都是xx0，或者都是x设limf(x)=A,limg(x)=B，则有：1.limf(x)g(x)=AB=limf(x)limg(x)2.limf(x)g(x)=AB=limf(x)limg(x)若C是常数，则limCf(x)=CA=Climf(x)若n是正整数，limf(x)n=limf(x)f(x)f(x)=An=limf(x)n文章来源：证明：由函数极限与无穷小的关系：limf(x)=Af(x)=A+(x),lim(x)=0limg(x)=Bg(x)=B+(x),lim(x)=0f(x)g(x)=A+(x)B+(x)=AB+A(x)+B(x)+(x)(x)=AB+(x)其中(x)=A(x)+B(x)+(x)(x)由无穷小的性质，可知(x)是无穷小，即f(x)g(x)=AB+(x),lim(x)=0limf(x)g(x)=AB=limf(x)limg(x)证毕。文章来源：3. 若B0，则lim