计算方法：八 特征根和特征相量

第八章 特征根和特征向量许多工程问题可归结为求解特征根、特征向量问题。设A为n阶方阵，若有l使Ax=lx，则称l为A的特征值，x为相应的特征向量。有关求解包括：一是求特征值l，满足，二是求特征向量，满足。称j（l）为A的特征多项式。定义1 设矩阵A, BR nn，若有可逆阵P，使，则称A与B相似。定理 若矩阵A, BR nn且相似，则（1）A与B的特征值完全相同；（2）若x是B的特征向量，则Px便为A的特征向量。定理 设AR nn具有完全的特征向量系，即存在n个线性无关的特征向量构成Rn的一组基底，则经相似变换可化A为对角阵，即有可逆阵P，使，其中li为A的特征值，P的各列为相应于li的特征向量。定理 AR nn，l1, , ln为A的特征值，则（1）A的迹数等于特征值之和，即，（2）A的行列式值等于全体特征值之积，即。乘幂法乘幂法用于求大型稀疏矩阵的主特征值，特点是公式简单。计算公式为：设AR nn，取初始向量x0R n，令形成迭代序列xk。设A = (aij)nn有完全的特征向量系，且l1, l2, ln为A的n个特征值，满足，v1, v2, vn为相应的特征向量且线性无关，构成Rn上的一组基底。对任取初始向量x0 Rn，令，其中a1, a2, an为展开系数。于是。利用得。如果A有唯一的主特征值，即，设l1 0有，其中。由于，故当k充分大时e k 0，xk与v1只相差一个常数因子。迭代序列xk的收敛速度取决于的大小。如果A的主特征值不唯一，且可分情况讨论。定理 设A Rnn有完全特征向量系，l1, l2, ln为特征值且满足，对任取初始向量x0 Rn，乘幂公式确定的迭代序列xk，则有，收敛速度取决于。例 求矩阵A的按模最大的特征值。取x0=(1,0)T ,计算xk=Axk-1, kxkx1(k)/x1(k-1)x2(k)/x2(k-1)0(1,0)1(0.25,0.2)2(0.10250, 0.083333)0.410.416653(0.042292, 0.034389)0.416650.412674(0.017451, 0.014190)0.412600.41263可取特征根为0.41263 ,特征向量为 (0.017451,0.014190)T .