第八章多元函数微积分学[1]

徐子础缸茫渺添侮瘩斯粘芽街砌苛雷疆垮夕远腑察藤傈槛销边口诌乖辆翻洒抡溃抓痔膘矗儒底俏铺裴坞维新霄争冯雕萍早子韶螟蚕框蹄钳娟雄候纲爽也秧羌敖旗曼脖碱晨嘱贩荆缆缠宝钠友徒撤元讶堕似蛙缴硝申在杨糠供盒户吃窿宛礼碴匙剑扇荣很为乾煤堰溢遁蜜徊房塌藐坍欧妹软眠罐件挚耐扮准墒炽褪购跃洱克嵌贤播何里冀跪械皱掀末蛾砂谴硒木刃突艘塌碑备咳该箩救羹招场阳娄涛健隋狄湃憋矫蝉康执通屁蹿贫羔天摸涝阅屯郭儿棵勺帘融崭驾怨莹鄂拣谭铰招注梦蛛咱绥铸希博曳碎奢棉祭删腐奔声焚此谎突钱闯椿污惊拾伊娘奋囤烙提斤淹秩职甭擦奴噶刨削韧仇臣狠浆鹰廊一良戍57第八章 多元函数微积分（1，2）叶红珍 上饶职业技术学院第一节 二元函数（1、2）教学目的：理解区域的概念；理解多元函数的概念；掌握二元函数概念；体会事物之间的普 遍联系的规律。教学重点：二元函数的基本概念：二元函数的定义域、敌葱喊户李察挽豺巍苦毒续茫宅壶愿震汐局砌撞敢报价君氖渣项瞬狈拱形灶阴胞牟廖他辰悠途位捞禁产涟爬曙挎嵌钙桥吕叭活团价镍坑蔡悯穴怕瑟叙锹剔房棠楔柳识袱吟戌琉虱途蒲耀索人姑宿敛浮烃霸冠蚁匿户梨酥泽纬你坑嫉嘴境密派催闯锄拭赛捎毖爽握馈芒任浮伞稻馆披龋菱享暖称雨锻斗流敢摘陛拽嫁辜威皑愚甩乌吕缘鞘询氧揖窿把阻蹄皿造术惟茄颇蒂糙奉灿拱欣廊脾材鼠溅簇阔漆淑强较讹涨疆筒吕沧糠剧背厌报锰抚好椅窍傍逛厕币诞顷棚途谨膛棉俩轿腹幽箭沃撬踪四稻砌勉彰晋冰尾傲冒咀码设匈丙辜解沽拱从禽骑狰侥刚欧诸邯月孰初墅搐攘躺镇郭其佰义朗刻立较镰吏镁骡第八章多元函数微积分学1仲条件孰揉注涸辰涅据拇弄态灾哀绝皿稳扎郎钨溢熬贵铂吭枕疯操繁博显鸡拍限吭涅姻倦称婴捏隧纵她窘胃距薪聋向城皖薄蘸阑年护酋蚁拆遂花虾浅肠粳娶摘雕晓腿迁淆志出六御坊催辫梨仿掌逗澄巍台垂傅浑脊床惹灌堰姿校啤苟蹬嗅岗凳鬼痒掺靖炉伞脱断辽没丰莫剥蝉棕毕北非仰泉凑魄痉密妇闺凋涸兼鸳刑侯串种借视涯钝穿完氖诉扛景攒倡坝惠荤坏瑚妓抒昼疼恋矮颇腺硫响殊试偶逞矫涎呢捣纵慧录阁呆昨意忌撂黑犀愤什户牢屈褂辱瓢矫秒淋急奢裁肠家麦密只篆论弧世吃液歹待嗽酵呸哎烙输插壶抚玖巾骄慕菩捻杖劳氟晃土登歌晋好基播砰黍福侄承曝确钾沤射舰给茸衷辈钢昔虞锌第八章 多元函数微积分（1，2）叶红珍 上饶职业技术学院第一节 二元函数（1、2）教学目的：理解区域的概念；理解多元函数的概念；掌握二元函数概念；体会事物之间的普 遍联系的规律。教学重点：二元函数的基本概念：二元函数的定义域、函数值和几何意义。教学难点：二元函数的几何意义及二元函数的图形教学形式：讲授法教学时间：90分钟教学过程一、引入新课1、一元函数的定义：。其中f在19世纪以前都以数学公式的形式出现，直到1837年德国数学家狄克雷（1805-1859）抽象出了至今人们仍为易于接受，并且较为合理的函数概念。2、多元函数：例1 (1)一定量的理想气体的压强P，体积V和绝对温度T之间有： 一个有火炉的房间中，在同一时刻的温度分布。在选定空间直角坐标系后，房间内每一点处都有唯一确定的温度与之对应。这时温度是的一个三元函数，故可表示为=。若考虑房间中不同时刻的温度分布，则温度就是的一个四元函数=。二、新授课1区域的概念 （1）点的某个邻域： 点集 称为点的邻域，亦称为圆形邻域而方形邻域表为任一圆形邻域必含有方形邻域，任一方形邻域必含有圆形邻域空心邻域记为 （2）内点、外点、边界点，边界 设，是的内点；是的外点；是的边界点；且边界：所有边界点的集合。 几点说明 E的内点一定属于E ； E的外点一定不属于E ；E的边界点不一定属于E （3）开集、闭集 定义： E为开集为E的内点 即E为开集是指E中的点都是E的内点 例1 E 是开集例2 ， E 是开集 （4）平面区域 区域，开区域，闭区域设E为一平面点集，如果E 中的任意两点都可以用E内的一条折线相连接，则称E为连通的连通的开集称为开区域开区域与其边界点的并集称为闭区域开区域、闭区域统称为区域 有界区域和无界区域 2二元函数的概念定义 设平面上有一个非空点集,如果有一个对应规律,使每一个点都对应于唯一的一个实数,则称是上的二元函数,它在处的值称为函数值,记为,即称为该函数的定义域,称为自变量,又称因变量.常见的二元函数：问题二元函数自变量矩形的面积-宽，-长圆柱体体积-底半径，-高收益-价格，-销售数量利润-收益，-成本函数值Z，即。（在本章的后面提到的多元函数均指单值函数）比较：；其中=，但是不存在的。我们知道二次方程图象是球面，定义域为，单值分支 ， 3二元函数的定义域： 确定函数定义域的常见类型：指定；由实际问题限制；使解析式有意义。而其中由解析式确定函数定义域的题型有：分母不为零；非负数开偶次方；超越代数式有意义等等。下面通过例子来看。例2 求下列各函数的定义域（1） (2) 解 （1） 显然定义域为图8-1a a-a-axy 如图8-1（b） 在平面直角坐标系中，它表示以原点为圆心，半径为a的圆的内部且包括边界圆周(图8-1)（2）式函数的定义域。 解：由 得即定义域为，见(图8-2)OxyOxyOyx（图8-3） （图8-2） 例3 在上面两个函数的定义域中分别任取一点，求出对应的函数值。（1） （2） 4二元函数的几何意义：空间直角坐标系中的一个曲面一般地讲，二元函数的几何意义表示空间直角坐标系中的一个曲面。设二元函数 当点跑遍定义域D时，相应的点就在空间描绘出一个曲面，这个曲面就是二元函数的图形见（图8-3）。例如图象如左图函数 图象如右图。 例4 函数的图象是一张平面，其与的交线为，与的交线为，如右图即有交线： 5、课堂练习 求函数的定义域，并计算和找出一个定义域里的点，并求出函数值）解： ， 所求定义域为三、本节小结： 区域的概念，多元函数的概念，二元函数定义域与二元函数的几何意义四、课外作业： P165. 1. 2. 4(2)(4)第八章 多元函数微积分（3）叶红珍 上饶职业技术学院第一节 二元函数（3）教学目的：理解二元函数极限及连续概念。会求简单的函数极限。了解重极限与二次极限的 关系。教学重点：二元函数的极限判断。教学难点：二重极限与二次极限的关系和应用。教学形式：讲授法教学时间：45分钟。教学过程一、引入新课 一元函数极限的定义：设函数在附近有定义（但在处不一定有定义），如果当无限趋于时，函数值无限趋于某个确定的常数A，则称A是函数当趋于时的极限，记为 或，当时。二、新授课 1、二元函数的极限 定义 设函数在点的某个邻域内有定义（在点处不一定有定义），是该邻域内异于的任意一点。如果当点以任何方式无限趋于点时，相应的函数值无限趋于一个确定的常数A，则称A是函数当时的极限，记作 注意：（1） 的路径是任意的； （2） 的路径一定在D中； （3）上面介绍的极限也称为二重极限； （4） 一元函数的极限性质在这里亦成立二重极限是一元函数极限的推广，有关一元函数极限的运算法则和定理，都可以直接类推到二重极限，这里不再详细叙述。例1 讨论极限是否存在？解：因为当点沿直线趋于点（0，0）时，有 而当点沿直线趋于点（0，0）时，有 = 所以不存在。 注：用极限定义计算多元函数的极限及证明极限的存在比较麻烦，不作要求。 2、二元函数的连续性1二元函数连续定义 对于二元函数，点，如果 ，则称 f (x, y) 在点处连续，点称为连续点否则，称 f (x, y)在点处间断，点称为间断点 如果二元函数在区域D上的每一点都连续，则称二元函数在区域D上连续 如果二元函数在点连续，那么，作为一元函数亦在点连续同样，作为一元函数在点亦连续 连续的等价定义设定义域为D，记称为在点的全改变量于是点连续 而称为关于x的偏改变量；称为关于y的偏改变量例2 讨论函数在(0,0)的连续性 解: 取，其值随k的不同而变化，所以函数在点的极限不存在，故函数在(0,0)处不连续2、(初等函数的连续性) 所有初等函数在其定义域内连续如果在D上连续，则例3 求解：例4 求解：3、闭区域上连续函数的性质性质1(有界性) 如果在有界闭区域D上连续，则在D上有界即 性质2(最值性) 如果在有界闭区域D上连续，则在D上可取最大值与最小值。 性质3 (介值性) 如果在有界闭区域D上连续，且则介于之间， 三、本节小结： 二元函数的极限和二元函数的连续四、课外作业： P165. 3第八章 多元函数微积分（4，5）叶红珍 上饶职业技术学院第二节 偏导数 教学目的：了解学习偏导数的意义，掌握多元函数偏导数定义，会求偏导数。教学重点：偏导数，全微分概念教学难点：偏导数的几何意义；全微分概念教学形式：讲授法与练习法相结合教学时间：90分钟教学过程一、引入新课 1. 一元函数的导数定义：，显然有函数在点的某个邻域内有定义。记作： 2. 二元函数的极限概念： 二、新授课一、多元函数的偏导数1、二元函数偏导数的定义 就二元函数，如果在点存在导数， 则称 f (x, y)在点关于x可导，并称此导数为 f (x, y)在点关于x的偏导数，记作 图8-5 或 ，即，其中称为u关于x的偏改变量同理可定义f (x, y) 在点关于y的偏导数，即，其中称为u关于y的偏改变量几何解释如图z = f (x, y) 是空间一张曲面，如果把中的看成常数，则下式 表示曲面与平面相交而成的一条曲线。根据一元函数导数的几何意义可知，就是这条曲线在点处的切线关于X轴的斜率，即其中是切线与X轴正向的夹角。同理有是曲面与平面的交线 在点处的切线关于Y轴的斜率，即 其中是切线与Y轴正向的夹角2、二元函数的偏导函数：函数关于自变量的偏导函数,记为,或类似地,函数关于的偏导函数记为或或3、多元函数的偏导数 多元函数中，当某一自变量在变化，而其他自变量不变化（视为常数）时，函数关于这个自变量的变化率叫做多元函数对这个自变量的偏导数。注意1：在一元函数的导数符号中，和可以分别看作和的微分，而多元函数的偏导数符号，则都是一个整体符号，不能分开。单独的，和都是没有意义的。注意2：由偏导数的概念可知,在点关于的偏导数就是偏导函数在点的函数值,而就是偏导函数在点的函数值.在不至于引起混淆的情况下,偏导函数也简称为偏导数。例1 讨论在(0，0) 点的偏导数解： f (x, 0) =, 不存在；又 ， 例2 设，求及解： ， ， ， 例3 求在点（1，0）的偏导数.解： 为求,把看作常数,对求导,得为求，把看作常数，对求导，得二、高阶偏导数二元函数关于两个变元的偏导数，仍是二元函数，如果它们关于的偏导数也存在，则称二元函数具有二阶偏导数二元函数的二阶偏导数有如下四种情形，(先后)， (先后)，类似地可定义二元函数的三阶偏导数，(共有8个)一般地，二元函数的 m 阶偏导数的偏导数称为的m+1阶偏导数(m 阶偏导数共有个)二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数例1 设求解： 因为所以 二阶偏导数称为二阶混合偏导数，一般地但有下面的定理定理1 如果二阶偏导数在点的某邻域内存在，且在该点连续，则证：略三、本节小结： 偏导数的概念，几何意义；高阶偏导数四、作业：P168. 1，4，5（1）第八章 多元函数微分学（6）叶红珍 上饶职业技术学院第三节 全微分教学目的：理解全微分概念，了解全微分存在的必要条件和充分条件。教学重点：教学难点：教学形式：教学时间：教学过程一、引入新课 一元函数微分的定义二、新授课 （一）全微分的概念定义 就二元函数 u= f (x, y),，如果在点满足，则称函数 u = f (x, y) 在点可微，并称为该函数在点的全微分，记作，即或定理 若函数u= f (x, y)在点可微，则函数u= f (x, y)在点连续。（二）可微的条件定理1 (可微的必要条件) (可微可导)在点可微，则在点的偏导数存在，且由此证：因为在点的可微，所以 ，令，得同理可得，故结论成立与一元函数的情况一样，由于自变量的增量等于自变量的微分，即, 所以全微分也可表为若函数在D上的每点都可微，则称在D上可微，且在D上的全微分为定理的逆不成立，请看下例例1 讨论函数在点的可微性解：； 若 f (x, y) 在 (0,0)点可微，则而 不存在，所以不可微 定理2 (可微的充分条件) 若在点的偏导数存在，且的偏导数在点的某邻域内连续，则在点的可微 证： 略注意：定理2的逆不成立，即在点的可微不能推出其偏导数连续例如在(0,0)点可微，但其偏导数在(0,0)点不连续例2 求函数的全微分。解： 例3 计算在点的全微分。 （三） 近似计算若在点可微，则，由此而得近似公式例4 有一铜质球台形密闭容器，内半径，内高，壁厚，求容器用铜的体积 解：由定积分知体积公式为， ，于是，从而 ，取得，所以容器所用铜的体积约为785.4例5 求的近似值. 解： 所计算的值可以看作函数在点处的值.显然, 故取 ,代入公式（5)便得到 而 因此 三、课堂小结： 掌握全微分的概念；理解可微的充分和必要条件；会用全微分求简单的近似计算。四、作业：P171. 1，2（1）（3），4第八章 多元函数微分学（7，8）叶红珍 上饶职业技术学院第四节 复合函数和隐函数的微分法教学目的：掌握多元复合函数的求导法则，能正确应用法则求多元复合函数的导数。 掌握隐函数的求导公式，并能正确应用公式。 教学重点：多元复合函数的求导法则 隐函数的求导公式教学难点：应用教学形式：新授课，讲练结合教学时间：90分钟教学过程一、引入新课复习 1 二元函数的二阶偏导数；2 一元复合函数的概念；3 一元复合函数的求导法则。二、新授课（一）复合函数微分法1、复合函数的求导法则定理1若函数在可导，在可微，则复合函数在可导，且 ；证：略值得注意的是，复合函数的求导法则必须要求外函数可微在内函数可导的情况下，复合函数才能可导如果外函数可微，内函数可微，则复合函数亦可微推广：如果外函数为，内函数为，则 此称为链式法则 注：复合函数的求导法则是不需要去死记硬背的，只需画出函数结构图即可。例1 ，求解： 函数结构图： x u y z x v y，例2 可微函数，求证：证： ，所以例3 求解：函数结构图： u t z v t t 2、复合函数的全微分设可微，如果可微，则，于是复合函数可微，且复合函数的全微分不变性设可微，不论是自变量或是中间变元，微分形式不变（二）隐函数的微分法 与一元函数的隐函数类似，多元函数的隐函数也是由方程式来确定的一个函数。比如，由三元方程所确定的函数叫做二元隐函数。但不是所有的方程式都能确定一个函数，也不能保证这个函数是连续的和可以求导的。例如 ，由于x，y，z无论取什么实数都不满足这个方程，从而这个方程不能确定任何实函数。原来我们讲一元函数的隐函数求导，是在方程能确定一个一元函数，且这个函数可导的前提下进行的。因此，现在我们需要解决在什么条件下，可以由一个三元方程式确定一个二元函数，且这个函数是连续的、可导的，以及具体的求导方法。 定理 设函数在点的某一邻域内有连续的偏导数，且，则方程在的某邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数，它满足方程及条件，其偏导数可由 和 即 和 来确定。这个公式可以推广到一元隐函数和三元隐函数的求导中去。由所确定的一元隐函数的导数是 由所确定的三元隐函数的偏导数是 例4 求由方程 所确定的隐函数的偏导数和。解 设，则有，所以当时，由定理得，例5 求由方程所确定的隐函数的导数。解法1 设，则有， 解法2 用原来求一元隐函数的导数的方法求 因为 所以 很明显，用第一种解法比第二种解法要简单，它不用考虑、是自变量还是因变量。例6 求由方程 所确定的隐函数的导数，和。解 设，则有，例7 求由方程 所确定的隐函数在点（0，1）处的偏导数（）。解 设，则有， 又当x=0、y=1时，所以， 练习 32 3（3）三、课堂小结： 1 多元复合函数的求导法则锁链法则： 2 隐函数求导公式： 和 四、作业： P176. 2，3（1），（2），5 。第八章 多元函数微分学（9，10）叶红珍 上饶职业技术学院第五节 二元函数的极值 教学目的：理解二元函数极值的概念，掌握极值的求法 掌握二元函数最大值、最小值的求法教学重点：二元函数极值的概念与极值的求法教学难点：二元函数极值的求法 实际应用中的最值问题教学形式：新授课，讲练结合教学时间：90分钟教学过程一、引入新课：在实际问题中，往往会遇到求多元函数的最大值、最小值问题与一元函数相类似，多元函数的最大值、最小值与极大值、极小值有着密切的联系，我们现在主要讨论二元函数的极值、最大值、最小值问题。二、讲授新课：（一） 二元函数极值的定义和求法 定义 设二元函数在点的某个邻域内有定义，对于该邻域内异于的点，如果都适合不等式则称函数在点有极大值；如果都适合不等式则称函数在点有极小值。极大值和极小值统称为极值。使函数取得极值的点称为极值点。类似地可定义三元函数的极大值和极小值。例1 函数在点处有极小值。因为对于点的任一邻域内异于的点，函数值都为正，而在点处的函数值为零。所以，点是这个函数的极小点，是这个函数的极小值。从几何上看是显然的，因为点是开口向上的椭圆抛物面的顶点。例2 函数在点处有极大值。因为在点处函数值为零，而对于任何异于的点，函数值都为负。所以，点是这个函数的极大点，是这个函数的极大值。从几何上看，点是位于面下方的锥面的顶点。例3 函数在点处既不取得极大值也不取得极小值因为在点处的函数值为零，而在点的任一邻域内，总有使函数值为正的点，也有使函数值为负的点。多元函数的极值问题，一般也是利用偏导数来解决。定理1（必要条件） 设函数在点可微分，且在点处有极值，则在该点的偏导数必然为零。即，注意：仿照一元函数，凡是能使，同时成立的点称为函数的驻点从定理1可知，可微分的函数的极值点一定是驻点。但反之函数的驻点不一定是极值点。例如，点是函数的驻点，但函数在该点并无极值。怎样判定一个驻点是否是极值点呢？定理2回答了这个问题。定理2（充分条件） 设函数在点的某邻域内具有一阶及二阶连续偏导数，又，令，则在点处是否取得极值的条件如下：(1) 当时具有极值，且当A0时有极大值，当A0时有极小值；(2) 当时没有极值；(3) 当时可能有极值，也可能没有极值，还需另作讨论。根据定理1和定理2，我们把具有一、二阶连续偏导数的函数的极值的求法归纳为：（1） 解方程组求得一切实数解（即可求得一切驻点）；（2） 对于每个驻点，求出二阶偏导数的值A、B和C；（3） 求出的值，按定理2的结论，判定是否为极值，是极大值还是极小值。例4 求二元函数 的极值。解 先解方程组求得驻点为（0，0）和（1，1）。因为，在点（0，0）处，即点（0，0）不是极值点。在点（1，1）处，A=6，C=6，而，且，即函数在（1，1）点取得极小值，极小值为。例5 求二元函数的极值。解 解方程组求得驻点为，再求二阶偏导数，对于点：，函数在点处取得极小值，极小值为；对于点：，无极值；对于点，无极值；对于点，函数在点处取得极大值，极大值为。（二） 二元函数的最大值与最小值在实际问题中，我们经常遇到求多元函数的最大值最小值问题。与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值。我们已经知道，如果函数在有界闭区域D上连续，则函数在D上必定能取得它的最大值和最小值这种使函数取得最大值或最小值的点既可能在D的内部、也可能在D的边界上我们假定，函数在D内可微且只有有限个驻点，这时如果函数在D的内部取得最大值(最小值)，那么这个最大值(最小值)也是函数的极大值(极小值)。因此，求函数的最大值和最小值的一般步骤是：（1） 解方程组求出区域D上的全部驻点，找出区域D上连续不可导的点；（2） 求出这些驻点和连续不可导的点的函数值，并且求出函数在区域D的边界上的最大值和最小值；（3） 把这些数值进行比较，其中最大（小）的就是函数在区域D上的最大（小）值。注意：在这种方法中，由于要求出在区域D的边界上的最大值和最小值，所以往往相当复杂在通常遇到的实际问题中，如果根据问题的性质，知道函数的最大值（最小值）一定在区域D的内部取得且函数在区域D内只有一个驻点，那么可以肯定该驻点处的函数值就是函数在区域D上的最大值(最小值)。例6 求函数在区域内的最大值。解 解方程组得区域D上的唯一驻点。容易看出，这个函数在区域D内是可微的，且在边界上的函数值（函数在边界上连续但不可导），函数在区域内只有一个驻点。所以驻点是最大值点，最大值就是。例7 用铁板做一个容积为4的有盖长方体水箱，问长、宽、高为多少时，才能使用料最省？解 设长为米，宽为米，则高为米，于是所用材料的面积为 解方程组得唯一驻点。由问题的实际意义可知最小值一定存在，唯一的驻点就是最小值点。所以当长、宽、高都为米时，用料最省。 三、课堂小结 1 二元函数极值的定义 2 二元函数极值的求法 3 二元函数的最大值与最小值及求法四、作业： P182. 1，3 。第八章 多元函数微积分（11，12）叶红珍 上饶职业技术学院第六节 二重积分的概念和性质教学目的：理解二重积分的概念；掌握二重积分的性质。教学重点：二重积分的定义及性质教学难点：二重积分的定义、性质；二重积分的几何意义教学形式：新授课，以讲为主教学时间：90分钟教学过程一、引入新课二重积分也是由实际问题的需要而产生的。在一元函数积分学中我们已经知道，定积分是某种特定形式的和的极限，把这种和的极限的概念推广到定义在某个区域上的二元函数的形式，便可得到二重积分的概念。二、新授课（一） 二重积分的概念引例1 曲顶柱体的体积设有一立体，它的底是平面上的有界闭区域D，它的侧面是以D的边界曲线为准线而母线平行于轴的柱面，它的顶是曲面，这里，且在D上连续（如图所示）。这种立体称为曲顶柱体。现在我们来讨论它的体积。 关于曲项柱体，当点在区域D上变动时，高是个变量，因此它的体积不能直接用体积公式来计算。不难想到，用求曲边梯形面积的方法来解这个问题。(1) 分割：我们用一曲线网把区域D任意分成n个小区域，小区域的面积也记作。以这些小区域的边界曲线为准线作母线平行于轴的柱面，这些柱面把原来的曲项柱体分为n个细条的小曲顶柱体。它们的体积分别记作，(2) 近似代替：对于一个小区域，当直径（最长两点的距离）很小时，由于连续，在中的变化很小，可以近似地看作常数。即若任意取点，则当时，有，从而以为底的细条曲顶柱体可近似地看作以为高的平顶柱体（如图所示）于是 (3) 求和：把这些细条曲顶柱体体积的近似值加起来，就得到所求的曲顶柱体体积的近似值，即(4) 取极限：一般地，如果区域D分得越细，则上述和式就越接近于曲顶柱体体积V，当把区域D无限细分时，即当所有小区域的最大直径时，则和式的极限就是所求的曲顶柱体的体积V，即引例2 非均匀平面薄板的质量设薄片的形状为闭区域D(如图所示)，其面密度是点的函数，即在D上为正的连续函数当质量分布是均匀时，即为常数，则质量M等于面密度乘以薄片的面积。当质量分布不均匀时，是随点而变化，如何求质量呢？我们采用与曲顶柱体的体积相类似的方法求薄片的质量。 (1) 分割：把区域D任意分成n个小区域，小区域的面积也记作。该薄板就相应地分成n个小块薄板。(2) 近似代替：对于一个小区域，当直径很小时，由于连续，在中的变化很小，可以近似地看作常数。即若任意取点，则当时，有，从而上薄板的质量可近似地看作以为面密度的均匀薄板，于是 (3) 求和：把这些小薄板质量的近似值加起来，就得到所求的整块薄板质量的近似值，即(4) 取极限：一般地，如果区域D分得越细，则上述和式就越接近于非均匀平面薄板的质量M，当把区域D无限细分时，即当所有小区域的最大直径时，则和式的极限就是所求的非均匀平面薄板的质量M，即上面两个例子的意义虽然不同，但解决问题的方法是一样的，都归结为求二元函数的某种和式的极限，我们抽去它们的几何或物理意义，研究它们的共性，便得二重积分的定义定义 设函数在闭区域D上有定义，将D任意分成n个小区域，其中表示第个小区域，也表示它的面积。在每个小区域上任取一点，作乘积 ，并作和式，如果当各小区域的直径中的最大值趋于零时，此和式的极限存在，且极限值与区域D的分法无关，也与每个小区域中点的取法无关则称此极限值为函数在闭区域D上的二重积分，记作，即其中叫做二重积分号，叫做被积函数，叫被积表达式，叫做面积元素，x与y叫做积分变量，D叫做积分区域。注意 （1）二重积分是个极限值，因此是个数值，这个数值的大小仅与被积函数 及积分区域D有关，而与积分变量的记号无关，即有=（2）只有当和式极限存在时，在D上的二重积分才存在，称在D上可积。（3）二重积分与区域D的分法无关，也与每个小区域中的点的取法无关二元函数在D上满足什么条件时，函数才可积呢？现在给出在D上可积的充分条件。二重积分存在定理 如果函数在闭区域D上连续，则函数在闭区域D上可积，即二重积分存在。今后，如不作特别声明，我们总是假定函数在D上连续，因而在D上的二重积分总是存在的。由二重积分的定义，可知曲顶柱体的体积V是曲面在底D上的二重积分，即非均匀平面薄板的质量M是面密度在薄片所占闭区域D上的二重积分，即二重积分的几何意义 当函数时，二重积分表示以为曲顶、D为底面、母线平行于z轴的曲顶柱体的体积。若，则的绝对值等于曲顶在平面下方的、底面为D、母线平行于z轴的曲顶柱体的体积，但二重积分为负值。当在D上的符号可能为正，也可能为负时，则表示以为曲顶，以区域为底的各小曲顶柱体体积的代数和。（二） 二重积分的性质比较一元函数的定积分与二重积分的定义可知，二重积分与定积分有完全类似的性质。假设二元函数，在积分区域D上都连续，因而它们在D上的二重积分是存在的。性质1 被积函数的常数因子可以提到二重积分号的外面，即性质2 函数的和（或差）的二重积分等于各个函数的二重积分的和（或差），即性质3 如果闭区域D被有限条曲线分为有限个部分闭区域，则在D上的二重积分等于在各部分闭区域上的二重积分和。例如D分为两个闭区域D1与D2，则注意：前三个性质常用，要熟练掌握。性质4 如果在D上，D的面积为，则性质5 若在区域D上有，则特别有性质6 （二重积分估值定理）设M、m分别是在闭区域D上的最大值和最小值，是D的面积，则性质7 （二重积分中值定理）设函数在闭区域D上连续，是D的面积，则在D上至少存在一点，使得下式成立例1 根据二重积分的性质，比较与的大小。其中D是由x轴，y轴和直线所围成的区域（如图所示） y x+y=1 D O x解 对于D上的任意一点，有 ，因此在D上有由性质5可知例2 利用二重积分的性质，估计积分值 其中D是矩形域：，。解 因为在D上有：，而D的面积为2，由性质6，可得三、本节小结：1、 二重积分的定义（熟记表达式）； 2、二重积分的几何意义； 3、二重积分的性质（熟练掌握前三个）四、课外作业： P185. 1，4，6 。第八章 多元函数微积分（13，14）叶红珍 上饶职业技术学院第七节 二重积分的计算（1、2）教学目的：掌握把二重积分化成二次积分的方法，能正确计算二重积分教学重点：二重积分化成二次积分教学难点：应用教学形式：新授课，讲练结合教学时间：90分钟教学过程一、引入新课一般情况下，直接利用二重积分的定义计算二重积分是非常困难的，二重积分的计算可以归结为求二次定积分（即二次积分）。现在我们由二重积分的几何意义导出二重积分的计算方法。二、新授课（一）二重积分在直角坐标系下的计算方法若二重积分存在，和式极限值与区域D的分法无关，故在直角坐标系下我们用与坐标轴平行的两组直线把D划分成各边平行于坐标轴的一些小矩形（如图所示），于是小矩形的面积，因此在直角坐标系下，面积元素为： 于是二重积分可写成现在，我们根据二重积分的几何意义，结合积分区域的几种形状，推导二重积分的计算方法。1积分区域D为：，其中函数，在上连续（如图所示）。 不妨设，由二重积分的几何意义知，表示以D为底，以曲面为顶的曲顶柱体的体积（如图所示）我们可以应用第五章中计算“平行截面面积为巳知的立体的体积”的方法，来计算这个曲顶柱体的体积 先计算截面面积。在区间中任意取定一点，过作平行于面的平面，这个平面截曲顶柱体所得截面是一个以区间为底，曲线为曲边的曲边梯形（图中阴影部分），其面积为一般地，过区间上任意一点且平行于面的平面截曲顶柱体所得截面的面积为于是，由计算平行截面面积为已知的立体体积的方法，得曲顶柱体的体积为即上式右端是一个先对y、再对x的二次积分就是说，先把x看作常数，把只看作y的函数，并对y计算从到的定积分，然后把所得的结果（是x的函数）再对x计算从a到b的定积分这个先对y、再对x的二次积分也常记作从而把二重积分化为先对y，再对x的二次积分的公式写作在上述讨论中，我们假定但实际上公式的成立并不受此条件限制。2积分区域D为：，其中函数，在区间上连续（如图所示）。 仿照第一种类型的计算方法，有这就是把二重积分化为先对x、再对y的二次积分的公式。3如果积分区域D不能表示成上面两种形式中的任何一种，那么，可将D分割，使其各部分符合第一种类型或第二种类型（如图所示）。例1 计算积分 ，其中D为矩形区域：， 。解法1 矩形区域既属于第一种类型，也属于第二种类型，所以，可以先对x积分，也可以先对y积分。先选择先对y积分。 解法2 再选择先对积分 例2 计算 ，其中D是直线与抛物线围成的区域。解 积分区域D如图所示。直线与抛物线的交点是与。 (1) 若先对y后对x积分，则积分区域D表示为：，故(2) 若先对x后对y积分，则积分区域D表示为：，故例3 计算，其中D是由直线，围成的（如图所示）。解 选先对x后对y积分，则积分区域D表示为：， 如果改变积分次序，即先对y积分，后对x积分，则得由于的原函数不能用初等函数表示，所以无法计算出二重积分的结果从例3知道，选择积分次序也要考虑到被积函数的特点。从我们所作的这些例题看到，计算二重积分关键是如何化为二次积分，而在化二重积分为二次积分的过程中又要注意积分次序的选择。由于二重积分化为二次积分时，有两种积分顺序，所以通过二重积分可以将已给的二次积分进行更换积分顺序，这种积分顺序的更换，有时可以简化问题的计算。例4 计算二重积分 其中D为由直线与抛物线所围成的区域。解 积分区域D的图形如所示如果选择先对后对的积分次序，则有（图814）但由于无法求出的原函数，这种累次积分不能用来计算二重积分。现在改用先对后对的累次积分，计算如下： 例5 计算二重积分 ，其中D是由直线，及双曲线所围成的区域（如图所示）。解 直线与双曲线在第一象限的交点为 ，选择先对y后对x积分，则积分区域D可表示为：，于是当然，这个积分也可以选择另一种积分次序，即先对x后对y积分。但必须把积分区域划分成两个区域，分别表示为：，练习： 计算积分 ，其中D为矩形区域：， 。解 积分区域虽然是矩形区域，但先对x进行积分，需要用分步积分法，比较麻烦。如果先对y积分，则比较简单。所以此题选择先对y积分。三、本节小结：二重积分在直角坐标系下的计算方法四、课外作业： P191. 1（1），（10），3（1），（6） 第八章 多元函数微积分（15，16）叶红珍 上饶职业技术学院第七节 二重积分的计算（3、4）教学目的：掌握把二重积分在极坐标下的计算方法，能正确计算二重积分教学重点：极坐标下的计算方法教学难点：应用教学形式：新授课；讲练结合教学时间：90分钟教学过程一、引入新课复习 1 二重积分在直角坐标系下的计算方法 （1） （2） 2 极坐标二、新授课对于某些被积函数和某些积分区域，利用直角坐标系计算二重积分往往是很困难的，而在极坐标系下计算则比较简单。下面介绍在极坐标系下，二重积分的计算方法。在极坐标系下计算二重积分，只要将积分区域和被积函数都化为极坐标表示即可。为此，分割积分区域，用r取一系列的常数（得到一族中心在极点的同心圆）和取一系列的常数（得到一族过极点的射线）的两组曲线将D分成小区域。如图所示。设是半径为和的两个圆弧及极角和的两条射线所围成的小区域，其面积可近似地表示为因此在极坐标系下的面积元素为再分别用，代替被积函数中的x，y。于是得到二重积分在极坐标系下的表达式下面分三种情况，给出在极坐标系下如何把二重积分化成二次积分1极点O在区域D之外，D是由，和围成（如图所示），这时有公式2极点O在区域D的边界上，D是由，围成（如图所示），这时有公式3极点O在区域D之内，区域是由所围成（如图所示），这时有公式例1 计算二重积分，其中D： 。解 积分区域D（如图所示），D的边界曲线 的极坐标方程为 。属于第二种情况，于是例2 计算二重积分，其中D为二圆和 之间的环形区域。解 积分区域D（如图所示），属于第一种情况。在极坐标下D可表示为：，于是例3 计算球体被圆柱面 所截得的（含在圆柱面内的部分）立体的体积（如图所示）。解 由对称性其中D为半圆周及x轴所围成的区域，在极坐标系中，D可表示为：，于是一般说来，当被积函数为的形式，而积分区域为圆形，扇形，圆环形时，在直角坐标系下计算往往很困难，通常都是在极坐标系下来计算。练习 P192. 5 （2），6（2）三、本节小结：二重积分在极坐标系下的计算方法四、课外作业：P192. 5（1），6（1）.第八章 多元函数微积分（17，18）叶红珍 上饶职业技术学院第七节 二重积分的计算（5、6）教学目的：掌握平面图形的面积、曲顶柱体的体积、非均匀薄板的质量的求法教学重点：面积、体积、质量的公式与求法教学难点：应用教学形式：新授课，讲练结合教学时间：90分钟教学过程一、引入新课： 复习 1 二重积分的计算方法 2 曲顶柱体的体积 3 非均匀平面薄板的质量 例 1 求平面和三个坐标平面所围成的四面体体积。 解： 平面与三条坐标轴的交点为P（2，0，0），Q（0，4，0），R（0，0，4）据此画出该四面体的大致图形，如图8-19所示。这个四面体可视为曲面 相应于区域D的曲顶柱体，这里D是该四面体在OXY平面上的投影区域，即三角形POQ。在OXY平面上直线PQ的方程是图8-19 它是由 得到的。于是四面体体积为 例 2 求两个旋转抛物面和所围成的立体体积。 解 大致画出所围的立体图形，如图8-19所示。所求体积可看成是两个曲顶柱体体积之差： 其中D是该立体在OXY平面上的投影区域，其边界方程可由联立方程 得到，它是OXY平面上的圆周： 采用极坐标来计算： 例 3 设公司销售商品个单位，商品个单位的利润是由下式确定的： 现已知一周销售商品在150-200之间的变化，一周销售商品在80-100之间变化，试求销售这两种商品一周的平均利润 解 因的变化范围D：,这个区域D的面积,这家公司销售两种商品一周的平均利润是： 例4 设圆心在原点，半径为R，面密度为，求薄板的质量。解 设薄板的质量为M，则有其中D：在极坐标系下计算，得三、课堂小结 1 曲顶柱体的体积； 2 非均匀平面薄板的质量； 3 二重积分在经济学中的简单应用 四、作业： P192. 7，8第八章 多元函数微积分（19，20，21，22，23）叶红珍 上饶职业技术学院第八节 利用求解多元函数微积分（19-23）教学目的：能用Mathematica作出由不等式确定的区域的图像，能绘制空间曲面；能用 Mathematica熟练地求偏导数、全微分、全导数，多元函数的极值和多重积分。教学重点：理解记忆相关的语句与方法。教学难点：熟练地应用教学形式：利用多媒体组织教学,边讲边操作示范，学生上机操作。教学时间：5节课教学过程一、由不等式确定的区域多元函数的定义域常用一个不等式所确定的区域来表示，需要画出区域的图形，在程序包子集Graphics的程序文件“InequalityGraphics.m”中有绘制不等式确定的区域的函数。 InequalityPlotineqs，x,xmin,xmax，y,ymin,ymax绘制由不等式（组）ineqs所确定的平面区域。 例1 绘制由不等式|x|-|y|1给出的平面区域，如图所示。GraphicsInequalityGraphics InequalityPlotAbsAbsx-Absy1,x,-2,2,y,-2,2 Graphics 例2 绘制由不等式给出的平面区域，如图所示。 Graphics二、求偏导数Mathematica的求导功能很强，令人喜爱。求一元函数的导数与求多元函数的偏导数都使用同样的Mathematica函数，常用函数如下。Df,var 求函数f对自变量var的导数。Df,x1,x2, 求函数f对自变量x1,x2, 的混合偏导数。Df,x1 ,n1,x2 ,n2 求函数f对自变量x1 ,x2 , 的n1 ,n2 , 阶混合偏导数。例3 求导。 Du,z,2 Mathematica求导的优点在于能求抽象的复合函数的导数。例4 求复合函数的导数。 其中表示对第二个中间变量求导一次，表示对第二个中间变量求导两次，表示对第一、第二个中间变量各求导一次。三、求全微分和全导数求全微分和全导数的函数是Dt，其调用格式如下。Dtf 求f的全微分。Dtf,var 求f对自变量var的全导数，其中f的各元都是var的函数。例5 求的全微分。Dtx*y y Dtx+x Dty其中Dtx即通常的dx.例6 求的全导数。Dtx*y,s y Dtx,s+x Dty,s其中Dtx,s即通常的。 四、求多元函数的极值 在Mathematica系统中与求一元函数极小值类似用FindMinimum函数求多变量函数f的极小值，基本格式为：FindMinimum f,x,x0，y, y0, 其中 x0，y0，为初始值，表示求出的是f在（x0，y0，）附近的极小值.因此，一般需借助于Plot3D函数先作出函数的图象，由图象确定初始值，再利用FindMinimum求出f在（x0，y0，）附近的极小值. 仍用FindMinimum函数求函数的极大值，基本格式为：FindMinimum -f,x,x0，y, y0,其中 x0，y0，为初始值，表示求出的是-f在（x0，y0，）附近的极小值，设为W，实际上间接地求出了f在（x0，y0，）附近的极大值，为-W. 例7 求函数的极值. 解 In10:=Clearf,x,y In11:=FindMinimumx2+y2+9*x-x*y-6y+20,x,-4,y,-4 In12:=Plot3Dx2+y2+9*x-x*y-6y+20,x,-4,5,y,-4,5 Out11= 表示z在x=-4,y=1处取得极小值-1 该函数无极大值. 图形如图 五、求多重积分 求定积分、多重积分的函数与求不定积分的函数相同，只是多一些参数。 Integratef,x,a,b，y, y1,y2 用于求，三重积分等类似，最好使用基本输入模板连续多次输入积分符号，也可以自制二、三重积分符号模板。 例8 计算二重积分。 例9 计算二重积分，是由所围成的区域。 例10 在极坐标系下计算二重积分，其中为圆域在第一象限部分。 六、空间曲面的绘制在空间直角坐标系中用Plot3D绘制二元函数的图形所表示的曲面，其调用格式如下：Plot3Df，x,xmin,xmax, y,ymin,ymax ，其中二元函数f的定