35随机变量函数的分布

3.5.1 3.5.1 离散型随机变量的函数的分布离散型随机变量的函数的分布3.5.2 3.5.2 连续型随机变量的函数的分布连续型随机变量的函数的分布3.5 3.5 随机变量函数的分布随机变量函数的分布).(,)(,)(XfYXYxfyxXYxXxf 记作记作的函数的函数变量变量为随机为随机则称随机变量则称随机变量的值的值的值而取的值而取取值取值随着随着若随机变量若随机变量的集合上的函数的集合上的函数的一切可能值的一切可能值是定义在随机变量是定义在随机变量设设问题问题?)(的分布的分布分布求得随机变量分布求得随机变量的的量量如何根据已知的随机变如何根据已知的随机变XfYX 一、一、 离散型随机变量函数的分布离散型随机变量函数的分布 Y 的可能值为的可能值为 ;2,1,0,)1(2222 即即 0, 1, 4.解解0002 XPXPYP,41 .2的分布律的分布律求求的分布律为的分布律为设设XYX Xp2101 41414141例例1)1()1(112 XXPXPYP11 XPXP,214141 2442 XPXPYP,41 故故 Y 的分布律为的分布律为Yp410412141由此归纳出离散型随机变量函数的分布的求法由此归纳出离散型随机变量函数的分布的求法.离散型随机变量的函数的分布离散型随机变量的函数的分布的分布律为的分布律为若若也是离散型随机变量也是离散型随机变量其函数其函数是离散型随机变量是离散型随机变量如果如果XXgYX.)(, Xkpkxxx21kppp21的分布律为的分布律为则则)(XgY kp)(XgY kppp21)()()(21kxgxgxg.,)(合并合并应将相应的应将相应的中有值相同的中有值相同的若若kkpxgY 的分布律为的分布律为Yp4 1 2121Xkp211 616263例例2 设设.52的分布律的分布律求求 XY解解 第一步第一步 先求先求Y=2X+8 的分布函数的分布函数).(yFY)(yYPyFY 82yXP 解解二、连续型随机变量函数的分布二、连续型随机变量函数的分布.82., 0, 40,8)(的概率密度的概率密度求随机变量求随机变量其他其他的概率密度为的概率密度为设随机变量设随机变量 XYxxxfXX例例3)()(yFyfyY xxfyXd)(28 28 yXP,)28)(28( yyfX第二步第二步 由由Y的分布函数求的分布函数求Y的概率密度的概率密度.d)(28 xxfyX ., 0, 4280,21)28(81)(其他其他所以所以yyyfY ., 0,168,328其他其他yy( )( )min( (), (),max( (), ().xh yy g xgggg其中是 =的反函数,( ),( ),( )0( )0),(), ( )( ) ,( )0,.XXYXfxxyg xg xg xYg Xfh yh yyfy 定理1设连续型随机变量 的概率密度为其中又设函数处处可导 且恒有或恒有则也是连续型随机变量 其概率密度为其他解法解法204,28,11( )(8),( ),(8,16).22xyxxh yyh yy当时单调增加 其反函数为且且1:由定理 得81(),816,( )220,.XYyfyfy其他181(),816,( )8220,.Yyyfy所以其他 ., 0,168,328其他其他yy例例4解解2( ),( ).XYXfxYXfy设随机变量 的概率密度为求的概率密度( )( ).XYXYFxFy设 和 的分布函数分别为和20,0,( )0;YYXyFy注意到故时20,( )()()YyFyP YyP Xy当时()PyXy( ),yXyfx dx求导可得求导可得1()() ,0( )2( )0,0XXYYfyfyydFyyfydyy例例5解解(0,1),2ln.XUYX 设随机变量求的概率密度2(0,1),ln0,2ln0,0,xyxyx 在上故22ln(0,1)( ),yyxxh ye 于是在上有反函数由前述定理得由前述定理得/2/2()(),0( )0,yyXYd efeyfydy其它/2/2()(),0( )0,yyXYd efeyfydy其它1,01( )0,Xxfx其它已知已知X在在(0,1)上服从均匀分布，上服从均匀分布，代入代入 的表达式中的表达式中)( yfY其它,)(/00212yeyfyY得得三、小结三、小结1. 离散型随机变量的函数的分布离散型随机变量的函数的分布:)(的分布律为的分布律为且且若若XXgY Xkpkxxx21kppp21的分布律为的分布律为则则)(XgY kp)(XgY kppp21)()()(21kxgxgxg2. 连续型随机变量的函数的分布连续型随机变量的函数的分布)()(yXgPyYPyFY ),(,d)()( xxxfyxgX.)(的的密密度度函函数数求求导导得得到到再再对对YyfY方法方法1方法方法2 ., 0, )()()(其其他他 yyhyhfyfXY注意条件注意条件.请同学们思考请同学们思考?)(,)(型的又怎样型的又怎样是连续是连续若若也是离散型随机变量吗也是离散型随机变量吗则则是离散型随机变量是离散型随机变量若若是连续函数是连续函数设设XXgYXxg .,.,量量不一定是连续型随机变不一定是连续型随机变那么那么续型随机变量续型随机变量是连是连若若是离散型随机变量是离散型随机变量因此因此列无限多个列无限多个的取值也是有限个或可的取值也是有限个或可因此因此或可列无限多个或可列无限多个它的取值是有限个它的取值是有限个是离散型随机变量是离散型随机变量若若YXYYX答答概率密度为概率密度为上服从均匀分布上服从均匀分布在在设设,)2 , 0(X例如例如 ., 0, 20,21)(其他其他xxf . 21, 1, 10,)(xxxxgy又设连续函数又设连续函数:)()(可以计算出来可以计算出来的分布函数的分布函数则则yFXgYY ; 0)(,0 yYPyFyY时时当当; 1)(,1 yYPyFyY时时当当)()(,10yXgPyYPyFyY 时时当当xxfxxfyyxgd)(d)()( ,1 , 0的取值为的取值为由于由于Y所以所以.2d210yxy .)(,)(,)(,1)(也不是离散型随机变量也不是离散型随机变量故故不是阶梯函数不是阶梯函数又因为又因为随机变量随机变量不是连续型不是连续型故故处间断处间断在在因为因为XgYyFXgYyyFYY ,. 1, 110,2, 0, 0)( yyyyYFYY的分布函数为的分布函数为故故