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11.5.3 1.5.3 定积分的概念定积分的概念2观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系3观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系4观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系5观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系6观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系78观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系9观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系10观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系11观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系12观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系13观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系14观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系15观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系16求由连续曲线求由连续曲线y= =f(x)对应的对应的曲边梯形曲边梯形面积的方法面积的方法 (2)取近似求和取近似求和:任取任取x xi xi- -1, xi，第，第i个小曲边梯形的面积用个小曲边梯形的面积用高为高为f(x xi)而宽为而宽为D Dx的小矩形面积的小矩形面积f(x xi)D Dx近似之。近似之。 (3)取极限取极限:，所求曲边所求曲边梯形的梯形的面积面积S为为 取取n个小矩形面积的和作为曲边梯个小矩形面积的和作为曲边梯形面积形面积S的近似值：的近似值：xiy=f(x)x yObaxi+1xixD1lim( )niniSfxx=D1( )niiSfxx=D (1)分割分割:在区间在区间0,1上等间隔地插入上等间隔地插入n-1个点个点,将它等分成将它等分成n个小区间个小区间: 每个小区间宽度每个小区间宽度xban-= 11211,iina xx xxxxb-17一、定积分的定义一、定积分的定义 11( )( )nniiiibafxfnxx=-D =小矩形面积和S=如果当n时，S 的无限接近某个常数，这个常数为函数f(x)在区间a, b上的定积分，记作 ba (x)dx，即f (x)dx =f (x i)Dxi。 从求曲边梯形面积从求曲边梯形面积S的过程中可以看出的过程中可以看出,通过通过“四步四步曲曲”:分割分割-近似代替近似代替-求和求和-取极限得到解决取极限得到解决.1( )lim( )ninibaf x dxfnx=-=ba即18定积分的定义：定积分的相关名称：定积分的相关名称： 叫做积分号，叫做积分号， f(x) 叫做被积函数，叫做被积函数， f(x)dx 叫做被积表达式，叫做被积表达式， x 叫做积分变量，叫做积分变量， a 叫做积分下限，叫做积分下限， b 叫做积分上限，叫做积分上限， a, b 叫做积分区间。叫做积分区间。1( )lim( )ninibaf x dxfnx=-=ba即Oabxy)(xfy =19 = = =baIdxxf)(iinixfD D = =)(lim10 x x 被积函数被积函数被积表达式被积表达式积分变量积分变量积分下限积分下限积分上限积分上限20 S=baf (x)dx； 按定积分的定义，有 (1) 由连续曲线y=f(x) (f(x)0) ，直线x=a、x=b及x轴所围成的曲边梯形的面积为 (2) 设物体运动的速度v=v(t)，则此物体在时间区间a, b内运动的距离s为 s=bav(t)dt。 定积分的定义：Oab( )vv t=tv1( )lim( )ninibaf x dxfnx=-=ba即21112001( )3Sf x dxx dx=根据定积分的定义右边图形的面积为1x yOf(x)=x213S =1SD2SD2( )2v tt= -+O Ov t t12gggggg3SDjSDnSD1n2n3njn1nn-4SD112005( )(2)3Sv t dttdt=-=根据定积分的定义左边图形的面积为22baf(x)dx =f (t)dt =f(u)du。 说明：说明： (1) 定积分是一个数值定积分是一个数值, 它只与被积函数及积分区间有关，它只与被积函数及积分区间有关， 而与积分变量的记法无关，即而与积分变量的记法无关，即（2）定定义义中中区区间间的的分分法法和和x xi的的取取法法是是任任意意的的. b ba af f( (x x) )dxdx = = b ba af f ( (x x) )dxdx - -(3)(3)23(2)定积分的几何意义：Ox yab y=f (x)baf (x)dx =f (x)dxf (x)dx。 x=a、x=b与 x轴所围成的曲边梯形的面积。 当 f(x)0 时，积分dxxfba)(在几何上表示由 y=f (x)、 特别地，当 a=b 时，有baf (x)dx=0。 24 当f(x)0时，由y=f (x)、x=a、x=b 与 x 轴所围成的曲边梯形位于 x 轴的下方，x yOdxxfSba)(-=-，dxxfba)(ab y=f (x) y=-f (x)dxxfSba)(-=baf (x)dx =f (x)dxf (x)dx。 =-S上述曲边梯形面积的负值。 定积分的几何意义：积分baf (x)dx 在几何上表示 baf (x)dx =f (x)dxf (x)dx。 =-S25ab y=f (x)Ox y( )yg x=探究探究:根据定积分的几何意义根据定积分的几何意义,如何用定积分表示图中阴影部分的如何用定积分表示图中阴影部分的面积面积?ab y=f (x)Ox y1()baSfx dx=( )yg x=12( )( )bbaaS S Sf xdxg xdx= -=-2( )baSg x dx=26三三: : 定积分的基本性质定积分的基本性质 性质性质1. 1. dx)x(g)x(fba = =babadx)x(gdx)x(f性质性质2. 2. badx)x(kf = =badx)x(fk27三三: : 定积分的基本性质定积分的基本性质 定积分关于积分区间具有定积分关于积分区间具有可加性可加性 = =bccabadx)x(fdx)x(fdx)x(f 性质性质3. 3. = =2121 ccbccabadx)x(fdx)x(fdx)x(fdx)x(fOx yab y=f (x)28性质性质 3 不论不论a，b，c的相对位置如何都有的相对位置如何都有ab y=f(x)baf (x)dx =f (x)dxf (x)dx。 f (x)dx =f (x)dxf (x)dx。 f (x)dx =f (x)dxf (x)dx。 cOx ybaf (x)dx =f (x)dxf (x)dx。 29 例例1：利用定积分的定义：利用定积分的定义,计算计算 的值的值. 130 x d x30 作业：作业：组（）组组（）组 练习：练习：-组，组，组，组， 31
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