对有限元方法的认识

我对有限元方法的认识1有限元法概念有限元方法（The Finite Element Method, FEM）是计算机问世以后迅速发展起来的一种分析方法。每一种自然现象的背后都有相应的物理规律，对物理规律的描述可以借助相关的定理或定律表现为各种形式的方程（代数、微分、或积分）。这些方程通常称为控制方程（Governing equation）。针对实际的工程问题推导这些方程并不十分困难，然而，要获得问题的解析的数学解却很困难。人们多采用数值方法给出近似的满足工程精度要求的解答。有限元方法就是一种应用十分广泛的数值分析方法。有限元方法是处理连续介质问题的一种普遍方法，离散化是有限元方法的基础。这种思想自古有之：古代人们在计算圆的周长或面积时就采用了离散化的逼近方法：即采用内接多边形和外切多边形从两个不同的方向近似描述圆的周长或面积，当多边形的边数逐步增加时近似值将从这两个方向逼近真解。近年来随着计算机技术的普及和计算速度的不断提高，有限元分析在工程设计和分析中得到了越来越广泛的重视，已经成为解决复杂的工程分析计算问题的有效途径，现在从汽车到航天飞机几乎所有的设计制造都已离不开有限元分析计算，其在机械制造、材料加工、航空航天、汽车、土木建筑、电子电器、国防军工、船舶、铁道、石化、能源、科学研究等各个领域的广泛使用已使设计水平发生了质的飞跃。国际上早在 60 年代初就开始投入大量的人力和物力开发有限元分析程序。“有限单元”是由Clough R W于1960年首次提出的。但真正的有限元分析软件是诞生于 70 年代初期，随着计算机运算速度的提高，内、外存容量的扩大和图形设备的发展，以及软件技术的进步，发展成为有限元分析与设计软件，但初期其前后处理的能力还是比较弱的，特别是后处理能力更弱。到 70 年代中期有限元界的先导就在有限元软件中引入了图形技术及交互式操作方式，使有限元的前后处理进入一个崭新的历史阶段。此时，用户就可以从繁琐的数据中解放出来。到了 80 年代，随着 PC 机的发展，有限元程序开始从大中型计算机向小型、微型机上移植，并努力保持有限元软件在各种硬件平台上具有完全统的用户界面。进入九十年代后，随着计算机软硬件的飞速发展，线性、非线性有限元分析方法的日趋完善，有限元分析已从小规模线性问题转向大规模线性、非统性分析，从单个物理场分析转向多种物理场之间耦合的大规模线性、非线性分析。目前，国外大型通用有限元软件基本上是一个功能强大灵活的设计分析及优化软件包。它可浮动运行于从 PC 机、NT 工作站、 UNIX 工作站直至巨型机的各类计算机及操作系统中，数据文件在其所有的产品系列和工作平台上均兼容。有限元法，是一种求解数学、物理问题的数值方法。其思想是将原结构划分为许多单元，用这些离散单元的集合体代替原结构，用近似函数表示单元内的真实场变量，从而给出离散模型的数值解。在众多数学家的共同努力下，这种方法摆脱了各种各样的工程背景而成为一种具有普遍意义的数学方法。从选择未知量的角度看，有限元方法分为三类：位移法，力法和混合法。因位移法条理清晰，易于实现计算自动化，故应用较广。2有限元法的基本步骤有限元方法，其基本思路和解题步骤可归纳为：(1)建立积分方程，建立与微分方程初边值问题等价的积分表达式。 (2)区域单元剖分，根据求解区域的形状及实际问题的物理特点，将区域剖分为若干相互连接、不重叠的单元。 (3)确定单元基函数，根据单元中节点数目及对近似解精度的要求，选择满足一定插值条件的插值函数作为单元基函数。(4)单元分析，获得含有待定系数(即单元中各节点的参数值)的代数方程组单元有限元方程。(5)总体合成，在得出单元有限元方程之后，将区域中所有单元有限元方程按一定法则进行累加，形成总体有限元方程。(6)边界条件，边界条件分为本质边界条件、自然边界条件、混合边界条件。自然边界条件:一般在积分表达式中可自动得到满足。本质边界条件和混合边界条件:需按一定法则对总体有限元方程进行修正满足。 (7)解有限元方程，根据边界条件修正的总体有限元方程组，是含所有待定未知量的封闭 方程组，采用适当的数值计算方法求解，可求得各节点的函数值。简单来说，有限元的基本步骤为：结构离散，单元分析，总体分析，数值求解。3有限元模型建立、网格划分及求解31有限元模型建立有限元模型的建立可分为直接法和间接法（也称实体建模）。直接法是直接根据机械结构的几何外形建立节点和元素，此法仅仅适用于简单的或有特殊要求的结构系统。简单结构如上图间接法是通过点、线、面、体积，先建立几何模型，再进行实体网格划分，以完成有限元模型的建立过程。大部分的有限元分析模型都用实体模型建模。ANSYS以数学的方式表达结构的几何形状，用于在里面填充节点和单元。此法首先要建立几何实体，故又称实体建模。从最低阶到最高阶，ANSYS实体建模图元的层次关系为：l 关键点（Keypoints）；l 线（Lines）；l 面（Areas）；l 体（Volumes）；如果低阶的图元连在高阶图元上，则低阶图元不能删除。实体建模的建立方法有：1. 由下往上法（bottom-up Method）由建立最低单元的点到最高单元的体积，即建立点，再由点连成线，然后由线组合成面积，最后由面积组合建立体积；2. 由上往下法（top-down method）及布尔运算命令一起使用。此方法直接建立较高单元对象，其所对应的较低单元对象一起产生，对象单元高低顺序依次为体积、面积、线段及点。然后利用布尔运算为对象相互加、减、组合等以得到实体。多数情况下，实体建模是这两种方法混合使用。32有限元网格划分几何实体模型并不参与有限元分析。所有施加在几何实体边界上的载荷或约束必须最终传递到有限元模型上（节点或单元上）进行求解。用有限元进行结构分析时，首先应该对结构的几何模型进行网格划分。由几何模型创建有限元模型的过程叫作网格划分（meshing)。当计算方法和边界条件确定以后，几何模型网格划分好坏，直接影响计算结果的准确性。通常有这样的说法：边界条件决定计算结果正确与否；网格划分决定计算结果的精确程度。因此，几何模型网格划分是有限元结构分析的重要环节。网格划分可以从以下几个方面考虑。（1）单元类型对于梁结构，在两个节点之间可根据需要划分多个单元。但要注意：如果想得到中间节点的挠度，需将梁结构划分偶数等分。对于拉杆、拉索，在两个节点之间，一定不要再划分单元，即两节点之间只用一个单元，如果划分几个单元反而不能描述拉杆、拉索的真实变形。对于面或体结构网格划分时，尽量采用高精度单元，不采用常应变单元。如果为了模拟复杂边界，对于平面尽量采用6节点三角形单元或8节点四边形单元，不采用3节点三角形单元或4节点四边形单元；对于四面体尽量采用10节点单元，不采用4节点单元；对于五面体尽量采用9节点单元或15节点单元，不采用6节点单元；对于六面体尽量20节点单元，不采用8节点单元。当然这些情况应该具体问题灵活处理，并不是绝对固定的。（2）面或体单元形态1）网格划分时，单元面内角度的变化用扭曲度描述，它代表了单元面内的扭转和面外翘曲程度。不同单元的扭曲度不同，其值由经验确定。2）网格划分时,单元各边之间的比例不能太大，对于线性单元（例如：4节点四边形单元、8节点六面体单元等）要求小于3；对于二次单元（例如：8节点四边形单元、20节点六面体单元等）要求小于10等等。（3）面或体单元大小标准单元的边长通常以几何模型的最小尺寸确定，即如果几何模型的厚度是结构的最小尺寸，那么标准单元的边长至少应与这个厚度相当。高应力区和应力集中区的单元应该细分，单元大小取决于计算精度要求。（4）面或体单元过渡1）从小单元到大单元过渡时，应使同一节点所连接的单元不致相差太大，避免突然过渡现象。通常用计算结果调整，保证同一节点所连接的单元精度值至少在0.1以下。单元精度值根据单元内节点应力与节点平均应力的误差计算。2）难于过度处最好使用过渡单元，过渡单元的使用要比用同一单元勉强过渡的计算结果要好。例如：对于复杂体结构间的过渡，最好使用“金子塔”单元过渡。（5）面或体转接部位的单元几何模型圆角过渡处的单元划分，根据弧长对应的圆心角和半径确定，对于半径为3mm左右、圆心角大于90度的转接弧长，通常至少要划分34个单元。（6）高应力区的单元对高应力区，要进行网格细分应力稳定性计算。即采用多次局部网格细分并进行计算，当前、后两次计算结果满足所需的精度要求时（通常要求小于0.03）确定网格。总之，几何模型网格划分时，要在单元类型、单元形态、单元大小、单元过渡和局部应力稳定等方面下功夫，才能满足工程上的精度要求，达到预期的结果。网格划分有三步:第一步：定义单元属性。单元有下列属性：单元类型TYPE、实常数REAL、材料属性MAT。单元类型选项决定如下的单元特性:1) 自由度 (DOF)设置；例如，一个热单元类型有一个自由度：TEMP，而一个结构单元类型可能有6个自由度： UX, UY, UZ, ROTX, ROTY, ROTZ；2) 单元形状块,四面体, 四边形,三角形等；3) 维数2-D (仅有X-Y 平面), 3-D；4) 假定的位移形函数线性及二次。注意：单元类型选择错误，结果肯定是错误的。实常数用于描述那些由单元几何模型不能完全确定的几何形状。例如:1) 梁单元是由连接两个节点的线来定义的，这只定义了梁的长度。要指明梁的横截面属性，如面积和惯性矩，就要用到实常数；2) 壳单元是由四面体或四边形来定义的，这只定义了壳的表面积，要指明壳的厚度，必须用实常数；3) 许多 3-D 实体单元不需要实常数，因为单元几何模型已经由节点完全定义。材料属性是定义材料的性质或参数。如EX，NUXY、应力-应变关系等。第二步：定义网格控制。设计网格划分的参数，主要是定义边界元素的大小和数目。这一步非常重要，将影响分析时的正确性和经济性。网格细也许会得到很好的结果，但会占用大量的分析时间 ，有时候，网格过细会造成不同网格划分时连接困难。因此需要在正确性和经济性之间找到平衡。解决的办法是确定网格数对计算结果的影响趋势，然后选择合适的元素大小。另外就是定义网格的形状如三角形、四边形和形式如自由网格还是映射网格等。第三步：产生网格。当实体模型建好并划分网格后，需要对模型加载与施加边界条件。加载方式有两种:直接在几何实体模型加载与在节点和单元上加载。直接在实体模型加载有以下优点：1. 操作比较方便；2. 几何模型独立于有限元网格，重新划分网格或局部网格修改时不影响载荷。无论怎样加载，ANSYS求解器自动将载荷转化到有限元模型上。33有限元模型求解在求解初始化前，应进行分析数据检查，包括下面内容:1) 统一的单位；2) 单元类型和选项；3) 材料性质参数:考虑惯性时应输入材料密度;热应力分析时应输入材料的热膨胀系数；4) 实常数 (单元特性)；5) 单元实常数和材料类型的设置；6) 模型中不应存在的缝隙；7) 节点坐标系；8) 集中、体积载荷；9) 面力方向；10) 温度场的分布和范围；11) 热膨胀分析的参考温度 (与 ALPX 材料特性协调)。在求解过程中，可能会出现错误:有约束不够、结果不收敛、单元过于扭曲等。针对出现的error对话框，查到问题所在。求解完毕，进入后处理对话框。并不是没有出现error的结果都是合理的。1. 经验判断：Ø 重力方向总是竖直向下的；Ø 离心力总是沿径向向外的；Ø 没有一种材料能抵抗 1,000,000 psi 的应力；Ø 弯曲载荷造成的应力使一侧受压，另一侧受拉；2. 结构受力是否平衡：Ø 水平方向上的力与竖直方向的力都要平衡；Ø 作用力与反作用力相等等。4有限元软件的基本介绍有限元分析（FEA，Finite Element Analysis）方法为解决复杂的工程分析计算问题提供了有效的途径要用有限元方法的理论来解决实际问题离不开计算机（硬件）和程序（软件），大体要完成以下四方面的工作：1) 数据储存2) 数据管理3) 数值计算4) 前处理及后处理国际上早20世纪在50年代末、60年代初就投入大量的人力和物力开发具有强大功能的有限分析程序。其中最为著名的是由美国国家宇航局（NASA）在1965年委托美国计科学公司和贝尔航空系统公司开发的NASTRAN有限元分析系统。该系统发展至今有几十个版本，是目前世界上规模最大、功能最强的有限元分析系统。专用或通用有限元分析软件，主要有德国的ASKA、英国的PAFEC、法国的SYSTUS、美国的ABQUS、ADINA、ANSYS、BERSAFE、BOSOR、COSMOS、ELAS、MARC和STARDYNE等公司的产品。5有限元法的发展现状及发展趋势5.1有限元法的应用有限元法的应用已由弹性力学平面问题扩展到空间问题、板壳问题，由静力平衡问题扩展到稳定问题、动力问题和波动问题，分析对象从弹性材料扩展到塑性、粘弹性、粘塑性和复合材料等，从固体力学扩展到流体力学、传热学、电磁学等领域。由于计算机的飞速发展，使得有限元法在工程中得到了广泛应用。有限元法是一种求解复杂工程结构的非常有效的数值方法，是将所研究的工程系统转化成一个结构近似的有限元系统圈，该系统由节点及单元组合而成，以取代原有的工程系统。有限元系统可以转化成一个数学模式，并根据数学模式，进而得到该有限元系统的解答，并通过节点、单元表现出来。完整有限元模型除了节点、单元外，还包含工程系统本身所具有的边界条件、约束条件、外力负载等。有限元法是目前工程技术领域中实用性最强，应用最为广泛的数值模拟方法。它的基本思想是将问题的求解域划分为一系列单元，单元之间仅靠节点连接。单元内部点的待求物理量可由单元节点物理量通过选定的函数关系插值求得。由于单元形状简单，易于由平衡关系或能量关系建立节点量之间的方程式，然后将各个单元方程“装配”在一起而形成总体代数方程组，加入边界条件后即可对方程组求解。5.2有限元法的发展趋势从发展上来说，国际上数值模拟软件发展呈现出以下一些趋势特征 ：1) 从单纯的结构力学计算发展到求解许多物理场问题。数值模拟分析方法最早是从结构化矩阵分析发展而来，逐步推广到板、壳和实体等连续体固体力学分析，实践证明这是一种非常有效的数值分析方法。近年来数值模拟方法已发展到流体力学、温度场、电传导、磁场、渗流和声场等问题的求解计算，最近又发展到求解几个交叉学科的问题。例如内爆炸时，空气冲击波使墙、板、柱产生变形，而墙、板、柱的变形又反过来影响到空气冲击波的传播这就需要用固体力学和流体动力学的数值分析结果交叉迭代求解，即所谓“流固耦合”的问题。2) 由求解线性工程问题进展到分析非线性问题。线性理论已经远远不能满足设计的要求，许多工程问题如材料的破坏与失效、裂纹扩展等仅靠线性理论根本不能解决，必须进行非线性分析求解。众所周知，非线性问题的求解是很复杂的，它不仅涉及到很多专门的数学问题，还必须掌握一定的理论知识和求解技巧，学习起来也较为困难。为此国外一些公司花费了大量的人力和物力开发非线性求解分析软件它们具有高效的非线性求解器、丰富而实用的非线性材料库。3) 与CAD软件的无缝集成。当今有限元分析软件的一个发展趋势是与通用CAD软件的集成使用，即在用CAD软件完成部件和零件的造型设计后，能直接将模型传送到有限元分析软件中进行有限元网格划分并进行分析计算，如果分析的结果不满足设计要求则重新进行设计和分析，直到满意为止，从而极大地提高了设计水平和效率。4) 强大的网格处理能力。由于结构离散后的网格质量直接影响到求解时间及求解结果的正确性与否，近年来各软件开发商都加大了其在网格处理方面的投入，使网格生成的质量和效率都有了很大的提高。现在大多数软件都能采用映射、拖拉、扫略等功能生成六面体单元，但现在的有限元软件在自适应网格的建立时对于复杂模型还不能生成六面体单元，只能生成四面体单元。对于四面体单元，如果不使用中间节点，在很多问题中将会产生不正确的结果，如果使用中间节点将会引起求解时间、收敛速度等方面的一系列问题，因此人们迫切的希望自动六面体网格功能的出现。5) 程序面向用户的开放性。随着商业化的提高，各软件开发商为了扩大自己的市场份额，满足用户的需求，在软件的功能、易用性等方面花费了大量的投资，但由于用户的要求千差万别，不管他们怎样努力也不可能满足所有用户的要求，因此必须给用户一个开放的环境，允许用户根据自己的实际情况对软件进行扩充，包括用户自定义单元特性、用户自定义材料本构(结构本构、热本构、流体本构)、用户自定义流场边界条件、用户自定义结构断裂判据和裂纹扩展规律等等。6) 面向对象的工程数据及管理系统。可以将更多的计算模型、设计方案、标准规范和知识信息纳入有限元分析软件的数据库中，为使用者提供更多的选择。7) 智能化和专家系统。以智能化、本地化、易开发性为代表的易用实用性也是有限元法发展的重要特征。有限元分析软件是一种多学科的知识密集型的技术，任何一种软件都由数百到数千个程序组成，有几百、儿千个算法，其数据库存放着大量的设计力一案、标准构件、行业标准与规范，以及判别设计。和计算结果正确与否的知识性规则。任何一个使用者都不可能完全掌握这些知识。目前，产品的设计开发与有限元分析不能有一个人独立完成，必然存在人为因素的影响。解决方法是将所有算法智能化，帮助用户选择算法，分析流程，判断计算结果，从而消除人为因素。如有可能，可以做成支持用户正确使用的专家系统，它们将成为有限元分析的重要组成部分。