中学数学教学中创造性思维的培养

中学数学教学中创造性思维的培养摘要：创造性思维是一种高效思维，创造性思维的培养是一项多变元的系统工程，数学创造性思维的培养，关键在于激发学生创造性思维的发生机制，必须从创造性思维的独立性，连动性，多向性，批判性和跨越性等特征入手，因此有待于我们把握时代发展中思维发展的脉搏，去探索，去研究。关键词：思维，创造，独立创造性思维是各种思维优化组合的高效思维。它可导出新颖独特、前所未有的思维成果，它是造就创造型人才的飞跃标志。中学数学教学中培养学生的创造性思维，必须从创造性思维的独立性、连动性、多向性、批判性和跨越性等特征入手，把着眼点放在学生解决数学问题和探索数学规律时，不同凡响、不同常规的思维方法和途径上，以及在已知领域中有所创新，在未知领域中有所发现和突破上。1引导学生自我探究，培养思维的独立性思维的独立性，就是在思维活动中发挥个人智能，厉行独立思考，保持自始如一的思维主动性和经久不衰的思维进攻性，善于发现和解决前人尚未发现和解决的问题，以自觉、执著地研讨获得新知识、新见解、新成果。数学教学中对学生思维独立性的培养，一方面我们可采用现代化教学方法，如“发现法”、“导学探险究法”等，给学生“授之以渔”，即教给学生自觉钻研的方法和发现问题、探究问题的方法，使学生在认识和探究的实践中逐渐培养自己的自觉钻研能力和独立思考能力。另一方面出示一些典型问题，并交给予学生一些感性材料，提出探险索要求。在学生熟悉这些材料的基础上适当给以点拨，使规律性的东西时隐时现，非本质东西时有时无，构织思维的疑团，激起学生产生独立揭疑的倾向，然后让学生对这些材料进行分析、研究、探求、归纳和整理，得到解决问题的规律和方法。例如对球体体积公式V=3R3/4的教学，不少教师采用引导探险究法组织教学过程，这有益于学生思维的独立性培养。但值得注意的是，当公式推导完成之际，不少学生并不满足于课本上由圆柱套组合的辅助体，表露出试图寻求新的辅助体的动机，这为我们进一步发展学生思维的独立性品质提供了契机。作为教师要爱护学生萌发的求新精神，设法满足学生流露出来的探索欲望，借助学生的热情，抓住这个教职工学良机，立即改变既定的教学计划（比如将公式应用随之后移），转向探寻新的辅助体的指导。首先给学生“感性材料”或“授之以渔”，即引导他们从课本辅助体的组合结构，与半球体的等底、等高以及被平行于底面的平面截面面积相等等特征入， 由“旋转型辅助体”跳到“多面型辅助体”，展开类比想象，试着独立构想，这对具有课本辅助体构造经验的学生来说，就并非难事了。他们都很快意识到由棱柱体中挖去棱锥体构造辅助体，有的想得更具体、简明一些，在直（三或四）棱柱中挖去直（三或四）棱锥构造辅助体。为保证其“截面”面积相等，部分学生在“挖法”上几经尝试、几经调整、几经修正，终于获得了成功。随之学生中出现了如图1的两种代表性辅助体（有关位置、数量关系如图所示）。即长方体中PD中挖去直四棱锥PABCD后剩下的几何体或直三棱柱ABCA1B1C1中挖去直四棱锥ABMNC（其中M、N分别是BB1和CC1的中点）后剩下的几何体（其有效性，读者可由图中所示的位置、数量关系验证）。这一构造探索过程，既丰富了教学内容，又拓展了学生想象；既是学生思维的独立性品质的高层次培养，又是学生思维的独立性能力的有效体现。教学中充分发挥学生思维的独立性，放手让学生去想象，去探索，会产生课本中无法包罗的新思想、新方法、新结论。2诱发学生参与变式，培养思维 的运动性思维的运动性，就是根据客观条件及其变化而改变思维方向，“由此及彼”和“由表及里”的联想。思考问题时，常以正向思维、逆向思维、纵向思维和横向思维相互交错运用的形式出现。数学教学中对学生思维运动性的培养，必须在“双基”得到夯实，知识形成网络，方法构成系统的基础上展开。一方面引导学生通过知识与知识之间、方法与方法之间进行对比、类比和联想，从旧知识、旧方法、旧观点中找出或发现新知识、新方法、新观点，培养横向运动性思维；另一方面，引导学生对问题引伸、推广，从偶然中寻求必然，发现并探索出新颖的、带有普遍性的规律，培养纵向运动性思维；再一方面引导学生从问题的反面去分析、去探索、去认识，求得对事物正反两方面的全面观察和深刻理解，培养逆向运动性思维。例如对初中几何第二册第179页例1：求证顺次连接四边形四边的中点所得的四边形是平行四边形的教学，教材旨在综合复习三角形中位线性质定理、特殊四边形的性质和判定定理，如果我们诱发下列变式组织教学，将有效地培养学生思维的运动性。变式1：连接任意四边形对边中点的线段具有怎样的性质？（学生：画图猜想转化化归（原问题）结论（平分），如图2） 图2变式2：将四边形分别改为矩形、菱形、正方形、等腰梯形，结论又怎样变化？（学生：画图观察演变探求规律。如图3）图3这里教师可作如下诱发： （1从数学美（即简洁美、和谐美、奇异美）学的角度来鉴赏图甲和图乙。（矩形菱形，和谐美）（2）从辨证法的角度来确定图甲与图丁是偶然还是必然？（均为菱形，必然）（3）你认为决定顺次连接其四边形中点所得四边形的要素是什么？（两对角线的关系）变式3：当一般四边形ABCD的两条对角线AC、BC分别满足什么条件，顺次连接各边中点所得四边形EFGH是菱形？矩形？正方形？会是梯形吗？（学生由图3展开想象）变式4：顺次连接凸n(n5,nN)边形各边中点所得多边形的状态怎样？（随原凸n边形的有关性质而定）当学生进入高中阶段后还可提出：变式5：顺次连接空间四边形ABCD四边中点的四边形还是平行四边形？（是！）这种应用运动变化的观点，不断变换问题情景，纵横变通，正逆呼应，一线串珠，纵深发展的变式教学方式，能使学生在发现、认识、掌握数学知识间的变与不变的联系中，发展思维的运动性品质，受到辨证唯物主义观点教育。3启迪学生发散想象，培养思维的多向性思维的多向性，就是指思维的发散性和思维的求异性，即善于从不同的方位、不同的度和不同的层次去考虑问题，或从同一条件下得出多种不同的结论。创造性思维形成于发散思维之后的受敛思维之中，可见发散性思维是创造性思维的核心。数学需要逻辑、判断、推想等收敛思维，同样需要多发变式、流畅变通、想象丰富等发散思维。数学教学中对学生思维多向性的培养，一般作法是以问题解决为核心，启迪学生多层次观察，多方位联想，多角度探索，多途径获解。具体而言，以一题多解、一题多变=一题多用等作为培养思维多向性的重要手段。下面我们以高中代数下册（必修）第12例7为例予以说明：已知ba0,m0，求证(am)(bm)ab例7的教学分为三个阶段进行。第一阶段：指导学生多法证明。在学生明确课本上的分析法及其原理的基础上，为训练学生的反向或逆向思维，启发学生将课本上的证明步骤倒序化或各步中的不等号反序化，得到了综合法和反证法。考虑到学生全面掌握不等式证明的基本方法，让学生用比较法（即作差法或作商法）证明。考虑到“放缩”是不等式证明的重要技巧，指导学生用放缩法证明。为增强学生在不等式证明中的换元意识，指导学生借助比值代换(令a/b=k,或a=bk,0k1)或增量代换(令b=a+0)后再用放缩法证明。在学生明确上述常规证明方法之后，为进一步拓宽学生的知识视野，强化数学思维方法，活跃不等式的证明思路。我们又选择了下面三个非常规证法组织教学。法1（构造函数法）：由“（am）（bm）”与“（ax）（bx）”的类比，构造单调递增函f（x）（ax）（bx）1（ab）（xb），（xR）。于是，对于0x1x2有（ax1）（bx1）（ax2）（bx2）。令x10，x2m，得（am）（bm）ab。法2（面积法）：因原不等式等价于不等式b（am）a（bm），由“ab”“mb”“am”联想矩形面积公式，构造图4的矩形。由图4有：（am）ms1s2s2s3m（bm）那么s1s3或s4s1s4s3即abmbabam或b(am)a(bm)故原不等式成立。法3（解析法）：将“b/a”、“（bm）（am）”与解析几何中的斜率公式“k=（y2y1）（x2x1）”类比，于是构造图5，这里kOAkBA，即ba（bm）（am），所以（am）（bm）abo学生从这三个品位高雅的证法中认识到，活用基础知识，善于类比联想，注重转化化归，是创造性证明不等式的关键。第二阶段：指导学生变式或推广。教师指导学生明确数学变式，主要是指数学对象形式或结构的变化，并与学生一道剖析不等式的结构形式特征，分析其结构形式改变的多向性和影响因素。接着是学生纷纷动笔“摆弄”着不等式，一阵独立尝试之后，又是互相交流变化方案、变化策略、变化成果，得到了形形色色的变化结果。对此，教师指导学生从变式的原则和美学的观点进行审视，得到了如下公认有趣的变式不等式。若ba0，m0则b（bm）a（am） （2）若ab0，m0则（am）（bm）ab （3）若bam0，则（am）（bm）ab （4）命题推广是一项创造性工作，恰当选择推广角度是推广成败的关键。对此教师从两个不同的角度启发学生展开推广，一是立足于原不等式的证法来考虑推广，学生不难把视线投向非常规证法1，得到第一个推广：若ba0，mn0则（am）/（bm）（an）/（bn） （5）二是立足于不等式的结构来考虑推广。教师将不等式更具体化为a/b(a+m)/(b+m) 1=m/m。后，再请学生找一般规律。学生不难想到“a1b1（a1a2）（b1b2）a2b2”，“a1b1（a1a2a3）（b1b2b3）a3b3”得到第二个推广：若a1b1 a2b2anbn,ai,biR,（i=1,2n） 则a1 b1（a1a2an）（b1b2bn）anbn 在这里，留心的学生会领悟出从命题的证明方法、结构特征入手考虑命题的推广是两条常用途径。第三阶段：指导学生展开应用。给出下面的题组，要求学生考虑应用不等式（1）（6）来证明。(1)已知a0求证1/2(a2-1)+1/2(a3-1)+ +1/2（an+1-1）1/a2+1/a3+1/an+1 （2）已知ba0，miti0(I =1,2, n) 求证 (a+m1+mn)/(b+m1+mn)(a+t1+tn)/(b+t1+tn)（3）已知012n/2 求证 tg1（sin1sin2sinn ）（cos1cos2cosn ）tgn其形式结构的复杂，给学生的思维带来了障碍。于是教师加强其结构剖析，并与不等式（1）（6）类比，学生很快想到了由不等式（1）、（5）、（6）分别对应证明（1）、（2）、（3）题。徐利治教授指出：“创造能力=知识量×发散思维能力”。可见思维的发散性，即思维的多向性在培养学生的创造性中是举足轻重的，要引起日常教学的重视。在初、高中数学课本中，象“例7”这样的可发挥性问题是不少的，有待于我们从发散、求异的角度去开发、引导学生探索。4指导学生科学否定，培养思维的批判性思维的批判性，就是善于根据客观规律，从实际出发，细心权衡一切意见，从而明辨是非。从辨误驳谬出发，寻找更合理更正确的科学思维方法，从而维护数学的严谨性。中学生已经逐渐表现出不满足于教师或教科书或参考书中某些问题的描叙和解释。他们对身边发生的一些问题持怀疑、审视的态度，表现出“先思后信、先查后议”的特征，对此教师要因势利导，促使这些特征为培养学生思维的批判性带来活力。教学中教师热情鼓励学生大胆怀疑、敢于争辩，组织对有争议的问题进行鉴别、讨论，对隐蔽的错误进行辨误、驳缪，是培养中学生批判性的有效途径。例如在练习中发现单项选择题：已知函数f(x)=ax2-c，满足-4f(1) -1,-1 f(2) 5那么f(3) 满足（）（A）-7f(3) 26 (B)-4f(3) 15(C)-1f(3) 20 (D)-28/3f(3) 25/3 正确答案的选择的分歧较大，说（A）正确的人数不少，于是教师先作调查，发现说正确的学生的思路是：由已知条件，得并非等价，为了证实这点，有的学生从充要条件的角度予以阐述，有的学生利用数形结合由图6和图7直观说明（平行四边形区域含于矩形区域），从中学生清楚地认识到“同向不等式相加（乘）”法则，只能用于不等式证明，不能用于解不等式，否则会扩大其解集。为得到问题的正确答案，教师启发学生在图6中作出9a-c=f(3)的图象。于是学生很快由规划论原理得到，即为正确答案。但又有学生认为，f(3)满足(c)当然也满足(A)一时说不出足够的道理，于是教师又指导学生认识“x”与x! x的含义，前者是不小于而不大于的数，后者是指满足不等式x所有x值的集合。学生恍然大悟，此题的选择支只有用集合表示才严谨。接着教师又指导学生认识高中代数下册中强调不等式的解集用集合表示的科学性。为培养学生思维的批判性品质，还可以设置“数学陷阱”让学生去闯，步列“数学谜阵”让学生来破。同时在这揭误批缪的实践活动中，让学生逐步掌握科学的否定方法。5. 鼓励学生标新立异，培养思维的跨越性思维的跨越性，就是思维不按“概念判断推理结论”的顺序进行，省略某些步骤，加大思维的“前进跨度”，或者跨越思维对象的“相关度”的差异，加大思维的“联想跨度”，或者跨越条件的“可观度”的限制，迅速完成“已知”与“未知”之间的转化，加大思维的“轮换跨度”。概括地说，就是思维过程中迅速屏弃那些非本质的、次要的东西，而直接抓住问题的本质，向思维的目标大跨度迈进。对数学教学中学生思维跨越性的培养，一方面大力发掘学生的开拓精神和创新意识，另一方面精心设计有一定难度的问题，提供恰当的材料，“推波助澜”，激起学生生动活泼、豪迈奔放的思维，促使学生在思维活动中，不断标新立异，不断产生飞跃。例如数学活动课中给学生一个命题：若a、b、x、yR且a2+b2=1,x2+y2=1,则!ax+by! 1 要求学生用尽可能多的方法予以证明。学生的证法有：分析法、综合法、反正法和比较法等常规方法。为了帮助学生拓宽思路，获得更多的证法，教师向学生展示引发性“材料”：这不等式的条件和结论与什么样的数学定理、公式等的结构相似？学生的想象是丰富的，他们的回答是：“a2+b2=1”和“x2+y2=1”象勾股定理或圆的方程，或其中a、b、x、y象某个角的正弦值和余弦值。!ax+by! 与托勒密定理、点到直线的距离公式的部分结构相似，于是学生在这种跨越性联想中，又产生了下面三种创造性证法：学生不难联想三角形面积的行列式型公式，得到命题的又一个新的证法。在平面直角坐标系中，这行列式的绝对值即为向量为邻边的平行四边形的面积。由条件等式可知，为单位向量，因此，这平行四边形的面积不会超过1，不等式得证。行列式是命题推广的有效工具。为了把学生的跨越性思维引向更新、更高的层次，教师可指导学生采用升格变换，将二阶行列式升为三阶，四阶，n阶行列式,得到了命题的一般形式：此时学生的思维又一次升华，类比联想的“功力”，又催促着学生展开了对推广结论证明的构想。当 时，问题转到三维空间，其几何意义为：以单位向量为棱的平行六面体的体积不超过1。一般地，到了n维空间，其几何意义便是以为棱的n维平等多面体的体积不超过1。可见，思维的跨越性是创造性思维中最有“活力”的成分，也是数学教学中开发学生智能必不可少的重要因素。创造性思维的产生是多因素、多变量、多层次的交互作用促成的。就其产生过程的结构而言，可以分成四个环节，即创造诱因（诱发思维主体产生创新意识的因素）、信息储备（思维主体形成问题情境时的相关信息）、序化方式（思想主体有效地使用相关信息时所采取的思维方式）和创造结果。前三个环节组成了创造性思维的发生机制。总体来说，数学创造性思维的培养，关键在于激发学生创造性思维的发生机制。具体而言，在数学教学中，既精心组织发散性较强的问题，创设问题情境，促进智力探索，形成创造气氛，又注重学生的心理和思维特征，讲究诱发艺术，激发探索兴趣，培养钻研精神，从而序化创造诱因，既指导学生拓宽知识范围，加深理解深度，广吸知识营养，又促进学生夯实基础知识，掌握基本技能，活用通性通法、从而强化信息储备；既指导学生在思维活动中灵活运用形象思维、发散思维和直觉思维，并注意各种思维方式的辨证性，又要求学生在独立探索和钻研问题的过程中富有悟性，善于领会数学思维的规律和方法，从而活化序化方式。创造性思维的培养，是一项多变元的系统工程，有待于我们把握时代发展中思维发展的脉搏，去探索，去开拓。参考文献（1）。苏3·H·卡尔梅科娃。中小学生的创造性思维。上海翻译出版公司（2）、任章辉。数学思维论。广西教育出版社