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第二讲填空题解题4技法1数学填空题的特点填空题缺少可选择的信息，故解答题的求解思路可以原封不动地移植到填空题上但填空题既不用说明理由，又无需书写过程，因而解选择题的有关策略、方法有时也适合于填空题填空题大多能在课本中找到原型和背景，故可以化归为熟知的题目或基本题型填空题不需过程，不设中间分值，更易失分，因而在解答过程中应力求准确无误填空题虽题小，但跨度大，覆盖面广，形式灵活，可以有目的、和谐地结合一些问题，突出训练学生准确、严谨、全面、灵活地运用知识的能力和基本运算能力，突出以图助算、列表分析、精算与估算相结合等计算能力要想又快又准地答好填空题，除直接推理计算外，还要讲究一些解题策略，尽量避开常规解法2数学填空题的类型根据填空时所填写的内容形式，可以将填空题分成两种类型：一是定量型，要求考生填写数值、数集或数量关系，如：方程的解、不等式的解集、函数的定义域、值域、最大值或最小值、线段长度和角度大小等由于填空题和选择题相比，缺少可选择的信息，所以高考题中多数是以定量型问题出现二是定性型，要求填写的是具有某种性质的对象或者填写给定的数学对象的某种性质，如：给定二次曲线的焦点坐标、离心率等近几年出现了定性型的具有多重选择性的填空题3解数学填空题的原则解答填空题时，由于不反映过程，只要求结果，故对正确性的要求比解答题更高、更严格考试说明中对解答填空题提出的基本要求是“正确、合理、迅速”为此在解填空题时要做到：快运算要快，力戒小题大做；稳变形要稳，不可操之过急；全答案要全，力避残缺不齐；活解题要活，不要生搬硬套；细审题要细，不能粗心大意技法一直 接 法此类填空题的特点是必须根据题目中给出的条件，通过数学计算找出正确答案解决此类问题需要直接从题设条件出发，利用有关性质或结论等，通过巧妙变化，简化计算过程解题过程要灵活地运用相关的运算规律和技巧，合理转化、巧妙处理已知条件例1若ABC的三个内角满足sin2Asin2Bsin Bsin Csin2C，则A_.思维流程解析由正弦定理，sin2Asin2Bsin Bsin Csin2C可化为a2b2bcc2，即b2c2a2bc，故cos A，又因为A(0，)，所以A.答案规律总结直接法的运用技巧直接法是解决计算型填空题最常用的方法，在计算过程中我们要根据题目的要求灵活处理，并注意一些解题规律和解题技巧的灵活应用，通过合理转化将计算过程简化，从而得到结果1设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意xR都有f(x)f(x4)，当x(2,0)时，f(x)2x，则f(2 013)_.解析：由f(x)是定义在R上的奇函数可知，f(1)f(1)21.由f(x)f(x4)可知，函数f(x)是周期为4的周期函数，所以f(2 013)f(50341)f(1).答案：技法二特 殊 值 法当填空题已知条件中含有某些不确定的量，但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以从题中变化的不定量中选取符合条件的恰当的特殊值(特殊函数、特殊角、特殊数列、特殊位置、特殊点、特殊方程和特殊模型等)进行处理，从而得出探求的结论为保证答案的正确性，在运用此方法时，一般应多取几个特例例2如图，在ABC中，点M是BC的中点，过点M的直线与直线AB、AC分别交于不同的两点P、Q，若，则_.思维流程解析由题意可知，的值与点P、Q的位置无关，而当直线BC与直线PQ重合时，有1，所以2.答案2规律总结应用特殊值法的注意事项求值或比较大小关系等问题均可运用特殊值法求解，但要注意此种方法仅限于所求值只有一种的填空题，对于开放性的问题或者多种答案的填空题，则不能使用该种方法求解2如图所示，在平行四边形ABCD中，APBD，垂足为P，且AP3，则_.解析：法一：()()2.又APBD，0.又|cosBAP|2，2|22918.法二：把平行四边形ABCD看成正方形，则点P为对角线的交点，AC6，则18.答案：18技法三图 解 法对于一些含有几何背景的填空题，若能根据题目中的条件，作出符合题意的图形，并通过对图形的直观分析、判断，即可快速得出正确结果这类问题的几何意义一般比较明显，如一次函数的斜率和截距、向量的夹角、解析几何中两点间的距离等，求解的关键是明确几何含义，准确规范地作出相应的图形，虽然作图要花费一些时间，但只要认真将图形作完，解答过程就会简便很多例3不等式kx10的解集非空，则k的取值范围为_思维流程 解析由kx10，得kx1，设f(x)，g(x)kx1，显然函数f(x)和g(x)的定义域都为2,2令y，两边平方得x2y24，故函数f(x)的图像是以原点O为圆心，2为半径的圆在x轴上及其上方的部分而函数g(x)的图像是直线l：ykx1在2,2内的部分，该直线过点C(0，1)，斜率为k.如图，作出函数f(x)，g(x)的图像，不等式的解集非空，即直线l和半圆有公共点，可知k的几何意义就是半圆上的点与点C(0，1)连线的斜率由图可知A(2,0)，B(2,0)，故kAC，kBC.要使直线和半圆有公共点，则k或k.所以k的取值范围为.答案规律总结利用图解法解决问题的步骤图解法就是将不等式变形转化为两个函数图像的相对位置关系，直接根据图形求解不等式的方法，主要应用于求解不等式中含有两类不同性质的函数解析式的不等式问题利用图解法解决此类问题的基本步骤如下：第一步：归类变形根据不等式的结构特征进行归类，将不等式变形为f(x)()g(x)或f(x)()g(x)的形式第二步：构造函数根据变形后的不等式构造相应的函数yf(x)与yg(x)第三步：作图转化根据函数的性质分别作出两个函数的图像第四步：写出结论第五步：回顾反思准确画出函数图像是解题的关键，作函数图像时，要注意函数的定义域、单调性、奇偶性和周期性等性质的应用，此类问题多与解析几何中的直线、圆、椭圆等相联系，灵活利用几何意义确定不等式的解集3若直线yxm与曲线y有且仅有一个公共点，则实数m的取值范围为_解析：由y，得x2y24(y0)，它是双曲线x2y24在x轴下方的部分曲线(包括与x轴的交点)，如图所示，它的渐近线方程为yx(图中虚线)，直线yxm与之平行，要使直线yxm与曲线y有一个交点，把直线yxm由下向上平移，容易得m(，2(0,2答案：(，2(0,2技法四构 造 法用构造法解填空题的关键是由条件和结论的特殊性构造出数学模型，从而简化推导与运算过程构造法是建立在观察联想、分析综合的基础之上的，首先应观察题目，观察已知(例如代数式)形式上的特点，然后积极调动思维，联想、类比已学过的知识及各种数学结构、数学模型，深刻地了解问题及问题的背景(几何背景、代数背景)，从而构造几何、函数、向量等具体的数学模型，达到快速解题的目的例4(20xx济南模拟)已知三个互不重合的平面、，m，n，且直线m、n不重合，由下列三个条件：m，n；m，n；m，n.能推得mn的条件是_思维流程解析构建长方体模型，如图，观察选项特点，可优先判断条件：取平面为平面ADDA，平面为平面ABCD，则直线m为直线AD.因m，故可取平面为平面ABCD，因为n且n，故可取直线n为直线AB.则直线AD与直线AB为异面直线，故m与n不平行对于：、取中平面，取平面为平面BCCB，可取直线n为直线BC，故可推得mn；对于：，取中平面，取为平面ABCD，取值线n为直线BC故可推得结论答案或规律总结构造法的应用构造法实质上是化归与转化思想在解题中的应用，需要根据已知条件和所要解决的问题确定构造的方向一般通过构造新的函数、不等式或数列等新的模型将问题转化为自己熟悉的问题在立体几何中，补形构造是最为常用的解题技巧通过补形能将一般几何体的有关问题在特殊的几何体中求解，如将三棱锥补成特殊的长方体等4.如图，已知球O的面上有四点A、B、C、D，DA平面ABC，ABBC，DAABBC，则球O的体积等于_解析：如图，以DA，AB，BC为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O的半径为R，则正方体的体对角线长即为球O的直径，所以CD2R，所以R，故球O的体积V.答案：1填空题的主要作用是考查考生的基础知识、基本技能以及思维能力和分析问题、解决问题的能力填空题只要求直接填写结果，不必写出计算或推理过程，其结果必须是数值准确、形式规范、表达式(数)最简2填空题的主要特征是题目小、跨度大，知识覆盖面广，形式灵活，突出考查考生准确、严谨、全面、灵活运用知识的能力近年来填空题作为命题组改革实验的一个窗口，出现了一些创新题，如阅读理解型、发散开放型、多项选择型、实际应用型等，这些题型的出现，使解填空题的要求更高、更严了3填空题不同于选择题，由于没有非正确的选项干扰，因而不必担心“上当受骗”而误入歧途但填空题最容易犯的错误，要么答案不当，要么答案不全填空题技法专练1(20xx海口模拟)在ABC中，若|1，|，|，则|_.解析：依题意得|2|2，()2()240，|2.答案：22已知函数f(x)(1tan x)cos2x的定义域为，则函数f(x)的值域为_解析：f(x)(1tan x)cos2xsin，因为x，所以sin，所以f(x)的值域为.答案：3(20xx济南模拟)复数的虚部为_解析：1i，复数的虚部为1.答案：14已知点P(x，y)在直线x2y3上移动，当2x4y取得最小值时，过点P引圆22的切线，则此切线段的长度为_解析：由基本不等式得2x4y224，当且仅当x2y时取得最小值，即P.由于点P与圆心C之间的距离|PC|，故切线长.答案：5如果一个棱柱的底面是正多边形，并且侧棱与底面垂直，这样的棱柱叫做正棱柱已知一个正六棱柱的各个顶点都在半径为3的球面上，则该正六棱柱的体积的最大值为_解析：设棱柱高为2x(0x0，b0)的焦点F到一条渐近线的距离为|OF|，点O为坐标原点，则此双曲线的离心率为_解析：由题意知一焦点F(c,0)到直线yx的距离为c，即bc，整理得b2c2a22，解得e2.答案：27在三棱锥ABCD中，侧棱AB、AC、AD两两垂直，ABC、ACD、ADB的面积分别为、，则三棱锥ABCD的外接球的体积为_解析：设AB、AC、AD的长分别为x、y、z，则xy，yz，xz，解得x，y1，z，把这个三棱锥补成一个长方体，这个三棱锥和补成的长方体具有共同的外接球，这个球的半径等于，故这个球的体积是3.答案：8若锐角，满足cos2cos2cos21，那么tan tan tan 的最小值为_解析：如图，构造长方体ABCDA1B1C1D1.设ABa，ADb，AA1c，C1AB，C1AD，C1AA1，则cos2cos2cos21.从而有tan tan tan 2.当且仅当abc时，tan tan tan 有最小值2.答案：29(20xx朝阳区统考)设直线xmy10与圆(x1)2(y2)24相交于A，B两点，且弦AB的长为2，则实数m的值是_解析：由条件可知，圆心(1,2)到直线xmy10的距离d1，即1，解之得m.答案：10若直线xmy1与圆C：x2y2mxnyp0交于A，B两点，且A，B两点关于直线yx对称，则实数p的取值范围为_解析：依题意，直线xmy1与直线yx垂直，则m1，联立得弦AB的中点坐标为.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立得2x2(1n)xpn10，则x1x221，即n1.从而有2x22xp20，令48(p2)0，得p1，则1，即cos ，解得OBOC，分别经过三条棱OA，OB，OC作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为S1，S2，S3，则S1，S2，S3的大小关系为_解析：令OA6，OB4，OC2，分别取BC，CA，AB边的中点D，E，F，则OAD，OBE，OCF分别是满足条件的截面三角形，且它们均为直角三角形，所以S16，S24，S32，满足S3S2S1.答案：S3S20)，令f(x)10，则f(x)在(，)上是单调递增的，在(0，)上是单调递减的，因为nN*，所以当n5或6时f(x)有最小值又因为，所以的最小值为.答案：15定义在R上的函数f(x)是奇函数，且f(x)f(2x)，在区间1,2上是单调递减函数关于函数f(x)有下列结论：图像关于直线x1对称；最小正周期是2；在区间2，1上是减函数；在区间1,0上是增函数其中正确结论的序号是_(把所有正确结论的序号都填上)解析：由f(x)f(2x)可知函数f(x)的图像关于直线x1对称，故结论正确；因为函数f(x)为奇函数，其图像关于坐标原点对称，图像又关于直线x1对称，故函数f(x)必是一个周期函数，其最小正周期为4(10)4，故结论不正确；因为奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性是相同的，且f(x)在区间1,2上是单调递减函数，所以其在区间2，1上也是单调递减函数，故结论正确；因为函数f(x)的图像关于直线x1对称，在区间1,2上是单调递减函数，而函数在关于对称轴对称的两个区间上的单调性是相反的，故函数f(x)在区间0,1上是单调递增函数，又由奇函数的性质可得，函数f(x)在区间1,0上是单调递增函数，故结论正确答案：16(20xx深圳模拟)如图，在直角梯形ABCD中，ABAD，ADDC1，AB3，动点P在以点C为圆心，且与直线BD相切的圆内运动，设 (，R)，则的取值范围是_解析：以A为坐标原点，以AB，AD所在直线为x轴，y轴建立直角坐标系，设P(x，y)，则(x，y)(0,1)(3,0)(3，)，故有3x，y，因此zy，又由题意圆C的圆心坐标为(1,1)，且直线BD的方程为x3y30，则圆心到直线的距离即为半径R，因此圆的方程为(x1)2(y1)2，当直线zy与圆相切时，可得z1或z，又因点P在圆的内部，故zy的取值范围是.答案：
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