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第三讲拉分题巧妙解，每分都要争高考是选拔性的考试，必然要具备选拔的功能，试卷中必然要有综合考查数学知识、数学思想的能力型试题，即拉分题(亦即压轴题)对大部分考生来说，在解决好前两类问题的前提下，如何从拿不下的题目(压轴题)中分段得分，是考生高考数学能否取得圆满成功的重要标志，是考生能否达到“名牌大学任我挑”的关键，对此可采用如下四招达到高分的目的：第一招缺 步 解 答如遇到一个不会做的问题，将它们分解为一系列的步骤，或者是一个个小问题，先解决问题的一部分，能解决多少就解决多少，能写几步就写几步特别是那些解题层次明显的题目，每一步演算到得分点时都可以得分，最后结论虽然未得出，但分数却已过半如：例1(20xx·四川高考)(13分)已知椭圆C：1(a>b>0)的两个焦点分别为F1(1,0)，F2(1,0)，且椭圆C经过点P.(1)求椭圆C的离心率；(2)设过点A(0,2)的直线l与椭圆C交于M，N两点，点Q是线段MN上的点，且，求点Q的轨迹方程尝试解答(试一试，看看能得多少分)解题规范与评分细则(1)由椭圆定义知，2a|PF1|PF2| 2，所以a.2分又由已知，c1，所以椭圆C的离心率e.4分(2)由(1)知，椭圆C的方程为y21.设点Q的坐标为(x，y)当直线l与x轴垂直时，直线l与椭圆C交于(0,1)，(0，1)两点，此时点Q的坐标为.6分当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为ykx2.因为M，N在直线l上，可设点M，N的坐标分别为(x1，kx12)，(x2，kx22)，则|AM|2(1k2)x，|AN|2(1k2)x.又|AQ|2x2(y2)2(1k2)x2.由，得，即 .8分将ykx2代入y21中，得(2k21)x28kx60.由(8k)24×(2k21)×6>0，得k2>.由可知，x1x2，x2x2，代入中并化简，得x2.10分因为点Q在直线ykx2上，所以k，代入中并化简，得10(y2)23x218. 11分由及k2>，可知0<x2<，即x.又满足10(y2)23x218，故x.由题意，Q(x，y)在椭圆C内，所以1y1，又由10(y2)2183x2有(y2)2且1y1，则y.所以点Q的轨迹方程为10(y2)23x218，其中x，y.13分(1)本题第(1)问为已知椭圆标准方程求椭圆的离心率问题，属于容易题(2)本题的难点在于第(2)问中确定轨迹方程及方程中各变量的取值范围，本题有一定的难度，要想拿到全分很难，这就应该学会缺步解答首先，解决直线与圆锥曲线的位置关系问题时，若需要设直线方程，应考虑直线的斜率是否存在，因此当直线l的斜率不存在时，求出点Q的坐标为.这是每位考生都应该能做到的其次，联立直线方程与椭圆方程并设出M，N，Q的坐标，通过，得到，然后由x1x2及x1x2联想一元二次方程根与系数的关系，将问题解决到x2是完全可以做到的，到此已经可以得到10分另外，考虑到点Q在直线l上，将点Q坐标代入所设直线方程就能得到10(y2)23x218，到此便可以得到11分到此不能继续往下解时，我们也已经得到绝大部分分数了第二招跳 步 解 答解题过程中卡在某一过渡环节上是常见的，这时，我们可以先承认中间结论，往后推，看能否得到结论若题目有两问，第(1)问想不出来，可把第(1)问作“已知”，先做第(2)问，跳一步再解答，如：例2(20xx·湖北高考)(14分)设n是正整数，r为正有理数(1)求函数f(x)(1x)r1(r1)x1(x>1)的最小值；(2)证明：<nr<；(3)设xR，记x为不小于x的最小整数，例如22，4，1.令S，求S的值(参考数据：80344.7,81350.5,124618.3,126631.7)尝试解答(试一试，看看能得多少分)解题规范与评分细则(1)因为f(x)(r1)(1x)r(r1)(r1)·(1x)r1，令f(x)0，解得x0.2分当1<x<0时，f(x)<0，所以f(x)在(1,0)内是减函数；当x>0时，f(x)>0，所以f(x)在(0，)内是增函数故函数f(x)在x0处取得最小值f(0)0.4分(2)证明：由(1)知，当x(1，)时，有f(x)f(0)0，即(1x)r11(r1)x，当且仅当x0时等号成立，故当x>1且x0时，有(1x)r1>1(r1)x.6分在中，令x(这时x>1且x0)，则有r1>1.上式两边同乘nr1，得(n1)r1>nr1nr(r1)，即nr<.8分当n>1时，在中令x(这时x>1且x0)，类似可得nr>.且当n1时，也成立综合得<nr<.10分(3)在中，令r，n分别取值81,82,83，125，得(8180)<<(8281)，(8281)<<(8382)，(8382)<<(8483)，(125124)<<(126125)，将以上各式相加，并整理得(12580)<S<(12681)12分代入数据计算，可得(12580)210.2，(12681)210.9.由S的定义，得S211.14分本题第(2)问难度较大，但我们可以跳过第(2)问，直接求解第(3)问，这就是所谓的跳步解答而本题在求解第(3)问时利用了第(2)问的结论，虽然没有证出第(2)问，但第(3)问同样可以得到相应的分数第三招辅 助 解 答一道题目的完整解答，既有主要的实质性的步骤，也有次要的辅助性的步骤实质性的步骤未找到之前，找辅助性的步骤是明智之举如：准确作图，把题目中的条件翻译成数学表达式，根据题目的意思列出要用的公式等罗列这些小步骤都是有分的，这些全是解题思路的重要体现，切不可以不写，对计算能力要求高的，实行解到哪里算哪里的策略书写也是辅助解答，“书写要工整，卷面能得分”是说第一印象好会在阅卷老师的心理上产生光环效应如：例3(12分)如图，动圆C1：x2y2t2,1<t<3与椭圆C2：y21相交于A，B，C，D四点，点A1，A2分别为C2的左，右顶点(1)当t为何值时，矩形ABCD的面积取得最大值？并求出其最大面积；(2)求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程尝试解答(试一试，看看能得多少分) 解题规范与评分细则(1)设A(x0，y0)，则矩形ABCD的面积S4|x0|y0|.1分由y1，得y1，3分从而xyx2.当x，y时，Smax6.5分从而t时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为6.(2)设点M(x，y)，由A(x0，y0)，B(x0，y0)，A1(3,0)，A2(3,0)，知直线AA1的方程为y(x3)，6分直线A2B的方程为y(x3)7分由×得y2(x29)9分又点A(x0，y0)在椭圆C上，故y1.将代入得y21(x<3，y<0)11分因此点M的轨迹方程为y21(x<3，y<0)12分第(2)问要求交点M的轨迹方程，不易求解，考生可以利用图形的对称性设出A、B两点的坐标，再由两点式可写出两直线方程这类根据图形或题意写出一些点的坐标、方程、公式或正确做出图形等的方法，为辅助解答法，像这种情况，阅卷老师一般会酌情给分第四招逆 向 解 答对一个问题正面思考发生思维受阻时，用逆向思维的方法去探求新的解题途径，往往能得到突破性的进展，顺向推有困难就逆推，直接证有困难就反证如：例4(12分)设实数数列an的前n项和Sn满足Sn1an1Sn(nN*)(1)若a1，S2，2a2成等比数列，求S2和a3；(2)求证：对k3有0ak1ak.尝试解答(试一试，看看能得多少分)解题规范与评分细则(1)由题意得S2S2，由S2是等比中项知S20，因此S22.2分由S2a3S3a3S2，解得a3.4分(2)证明：由题设条件有Snan1an1Sn，故Sn1，an11且an1，Sn，从而对k3，有ak.因aak112>0且a0，由得ak0.7分要证ak，由只要证，即证3a4(aak11)，即(ak12)20，此式明显成立，因此ak(k3)9分最后证ak1ak，若不然ak1>ak，又因ak0，故>1，即(ak1)2<0，矛盾因此ak1ak(k3)11分所以，对k3有0ak1ak.12分本题对分析问题的能力要求极高，对数学证明的灵活性要求也非常高本题的一个误区就是试图求出数列的通项公式，在以考查不等式的证明为主的数列试题中，有很多试题是不需要求出其通项公式的(大部分题目也求不出通项公式)，而是根据给出的已知条件直接变换后进行推理论证，在解决与数列有关的不等式问题时，要树立这个思想意识本题在证明ak及ak1ak时，直接证明比较困难，但利用反证法，从问题的反面入手就容易多了
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