2020数学理高考二轮专题复习与测试：第二部分 专题六 满分示范课 Word版含解析

满分示范课满分示范课函数与导数函数与导数 函数与导数问题一般以函数为载体，以导数为工具，重点考查函函数与导数问题一般以函数为载体，以导数为工具，重点考查函数的一些性质，如含参函数的单调性、极值或最值的探求与讨论，复数的一些性质，如含参函数的单调性、极值或最值的探求与讨论，复杂函数零点的讨论，函数不等式中参数范围的讨论，恒成立和能成立杂函数零点的讨论，函数不等式中参数范围的讨论，恒成立和能成立问题的讨论等，是近几年高考试题的命题热点对于这类综合问题，问题的讨论等，是近几年高考试题的命题热点对于这类综合问题，一般是先求导，再变形、分离或分解出基本函数，再根据题意处理一般是先求导，再变形、分离或分解出基本函数，再根据题意处理 【典例】【典例】 (满分满分 12 分分)(2019 全国卷全国卷)已知函数已知函数 f(x)ln xx1x1. (1)讨论讨论 f(x)的单调性，并证明的单调性，并证明 f(x)有且仅有有且仅有两个零点；两个零点； (2)设设 x0是是 f(x)的一个零点，证明曲线的一个零点，证明曲线 yln x 在点在点 A(x0，ln x0)处处的切线也是曲线的切线也是曲线 yex的切线的切线 规范解答规范解答 (1)f(x)的定义域为的定义域为(0，1)(1，) 因为因为 f(x)1x2（x1）20， 所以所以 f(x)在在(0，1)，(1，)单调递增单调递增 因为因为 f(e)1e1e10， 所以所以 f(x)在在(1，)有唯一有唯一零点零点 x1(ex1e2)， 即即 f(x1)0. 又又 01x11，f 1x1ln x1x11x11f(x1)0， 故故 f(x)在在(0，1)有唯一零点有唯一零点1x1. 综上，综上，f(x)有且仅有两个零点有且仅有两个零点 (2)因为因为1x0eln x0， 所以点所以点 B ln x0，1x0在曲在曲线线 yex上上 由题设知由题设知 f(x0)0，即，即 ln x0 x01x01， 故直线故直线 AB 的斜率的斜率 k1x0ln x0ln x0 x01x0 x01x01x01x01x01x0. 曲线曲线 yex在点在点 B ln x0，1x0处切线的斜率是处切线的斜率是1x0， 曲线曲线 yln x 在点在点 A(x0，ln x0)处切线的斜率也是处切线的斜率也是1x0. 所以曲线所以曲线 yln x 在点在点 A(x0， ln x0)处的切线也是曲线处的切线也是曲线 yex的切线的切线 高考状元满分心得高考状元满分心得 1得步骤分：抓住得分点的步骤，得步骤分：抓住得分点的步骤， “步步为赢步步为赢” ，求得满分如第，求得满分如第(1)问中，求导正确，判断单调性利用零点存在定理，定零点个数第问中，求导正确，判断单调性利用零点存在定理，定零点个数第(2)问中，由问中，由 f(x0)0 定切点定切点 B，求切线的斜率，求切线的斜率 2得关键分：解题过程不可忽视关键点，有则给分，无则没分，得关键分：解题过程不可忽视关键点，有则给分，无则没分，如第如第(1)问中，求出问中，求出 f(x)的定义域，的定义域，f(x)在在(0，)上单调性的判断；上单调性的判断；第第(2)问中，找关系问中，找关系 ln x0 x01x01，判定两曲线在点，判定两曲线在点 B 处切线的斜率相处切线的斜率相等等 3得计算分：解题过程中计算准确是得满分的根本保证得计算分：解题过程中计算准确是得满分的根本保证 如第如第(1)问中， 求导问中， 求导 f(x)准确， 否则全盘皆输， 判定准确， 否则全盘皆输， 判定 f(x1)f 1x10；第；第(2)问中，正确计算问中，正确计算 kAB等，否则不得分等，否则不得分 解题程序解题程序 第一步：求第一步：求 f(x)的定义域，计算的定义域，计算 f(x) 第二步：由第二步：由 f(x)在在(1，)上的单调性与零点存在定理，判断上的单调性与零点存在定理，判断 f(x)在在(1，)上有唯一零点上有唯一零点 x0. 第三步：证明第三步：证明 f 1x00，从而，从而 f(x)在定义域内有两个零点在定义域内有两个零点 第四步：由第第四步：由第(1)问，求直线问，求直线 AB 的斜率的斜率 k1x0. 第五步：求第五步：求 yex在点在点 A、B 处的切线斜率处的切线斜率 k1x0，得证，得证 第六步：检验反思，规范解题步骤第六步：检验反思，规范解题步骤 跟踪训练跟踪训练 1已知函数已知函数 f(x)ex1，g(x) xx，其中，其中 e 是自然对数的底是自然对数的底数，数，e2.718 28. (1)证明：函数证明：函数 h(x)f(x)g(x)在区间在区间(1，2)上有零点；上有零点； (2)求方程求方程 f(x)g(x)的根的个数，并说明理由；的根的个数，并说明理由； (1)证明：证明：由题意可得由题意可得 h(x)f(x)g(x)ex1 xx， 所以所以 h(1)e30，h(2)e23 20， 所以所以 h(1) h(2)0， 所以函数所以函数 h(x)在区间在区间(1，2)上有零点上有零点 (2)解：解：由由(1)可知，可知，h(x)f(x)g(x)ex1 xx. 由由 g(x) xx 知知 x0，)， 且且 h(0)0，则，则 x0 为为 h(x)的一个零点的一个零点 又又 h(x)在在(1，2)内有零点，内有零点， 因此因此 h(x)在在0，)上至少有两个零点上至少有两个零点 h(x)ex12x121，记，记 (x)ex12x121. 则则 (x)ex14x32， 当当 x(0， ， )时，时， (x)0， 则， 则 (x)在在(0， ， )上递增 易知上递增 易知 (x)在在(0，)内只有一个零点，内只有一个零点， 所以所以 h(x)在在0，)上有且只有两个零点，上有且只有两个零点， 所以方程所以方程 f(x)g(x)的根的个数为的根的个数为 2. 2(2019 安徽十校联盟安徽十校联盟)已知函数已知函数 f(x)ln xax1(aR) (1)讨论函数讨论函数 f(x)的单调性；的单调性； (2)若函数若函数 f(x)的图象与的图象与 x 轴相切，求证：对于任意互不相等的正轴相切，求证：对于任意互不相等的正实数实数 x1，x2，都有，都有f（x2）f（x1）x2x10，f(x)在在(0，)上单调递增；上单调递增； 当当 a0，f(x)单调递增；单调递增； 若若 x 1a， ，f(x)0，f(x)单调递减单调递减 综上：当综上：当 a0 时，时，f(x)在在(0，)上单调递增；上单调递增； 当当 a0 时，时， f(x)在在 0，1a上单调递增， 在上单调递增， 在 1a， 上单调递减上单调递减 (2)证明：证明：由由(1)知，当知，当 a0 时，时，f(x)在在(0，)上单调递增，不满上单调递增，不满足条件足条件 当当 a0 时，时，f(x)的极大值为的极大值为 f 1aln(a)， 由已知得由已知得ln(a)0，故，故 a1， 此时此时 f(x)ln xx1. 不妨设不妨设 0 x1x2，则，则f（x2）f（x1）x2x11x11x2 等价于等价于 lnx2x1x2x1x1x2x2x1， 即证：即证：lnx2x1x2x1x1x21)， 故故 g(x)在在(1，)单调递减，单调递减， 所以所以 g(x)g(1)0 x2x1. 所以对于任意互不相等的正实数所以对于任意互不相等的正实数 x1，x2，都有，都有f（x2）f（x1）x2x11x11x2成立成立