空间向量例题更新

空间向量在立体几何解题中的应用一、空间向量的基础知识1. 向量的直角坐标运算rr设 a =( a1， a2， a3 ) ， b =( b1， b2，b3) ，则rrrrra b =( a1+b1， a2+b2， a3+b3) ； a b =( a1- b1， a2- b2， a3- b3) ； arb =a1b1+a2b2+a3b3，rr1=b1，2=2， 3=b3(R) 或 a1a2a3，rr11+22+33=0abaab ab1b2b3aba b a b a b2. 夹角和距离公式aa12a22a32 ;a ? babcosa,ba1b1 a2 b2a3b3rra1b1 a2 b2a3b3夹角公式 cos=a12a22a32b12b22b32uuurx1 )2y1)2z1) 2 距离公式设 A( x1，y1， z1) ， B( x2，y2， z2) ，则 | AB |=( x2( y2( z2向量与坐标关系，设()(，y2， z2)，则AB(x2x1 , y2y1 , z2z1 )A x1， y1， z1， B x2M为中点时得中点坐标：x= x1x2 ，y= y1y2 ，z= z1z2 即（ x1x2 ， y1y2 ， z1z2）222222由中点公式，可得以A( x1， y1， z1) ， B( x2， y2， z2 ) ， C( x3， y3， z3) 为顶点的三角形重心的公式：x= x1 x2 x3 ，y= y1 y2y3 ，z= z1 z2z3 即（ x1x2 x3 ， y1y2y3 ， z1z2z3）3333333 平面法向量的概念和求法向量与平面垂直：如果表示向量n 的有向线段所在的直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作 n 平面的法向量：如果 n ，那么向量n 叫做平面的法向量一个平面的法向量有无数条，它们的方向相同或相反一般根据平面法向量的定义推导出平面的法向量，进而就可以利用平面的法向量解决相关立体几何问题推导平面法向量的方法如下：在选定的空间直角坐标系中，设平面的法向量 n =( x，y，z) 或n =( x， y，1) 或 n =( x， 1， z) ，或 n =(1 ，y， z) ，在平面内任选定两个不共线的向量a ， b 由n ，得 n ? a =0 且 n ? b =0，由此得到关于x，y 的方程组，解此方程组即可得到n 例 1在棱长为1 的正方体ABCD A1B1C1D1 中，求平面A1C1D的法向量 n 和单位法向量n 0解：建立空间直角坐标系，如图1，则D(0 ，0，0)，A(1 ，0，1) ，C(0，1，1)，11uuuuruuuur111n =( x， y， z)得 n DA， n DCA设 n 面 A CD，11uuuuruuuur又 DA =(1 ，0，1) ， DC=(0 ， 1，1) 11n ? DA10; 得 x z0xz ，令 z=1x1Axn ? DC10y z 0yzy 1 n =( 1， 1， 1) ， n 0=n(1,1,1) (3 ,3, 3)=n111333二、空间向量在立体几何解题中的应用( 一) 空间角1异面直线所成的角zD1C1B1DCyB图 1uuur uuuruuur uuuruuuruuur设点 A，B直线 a，C， DAB ?CD直线 b，构造向量 AB ， CDcos= uuuruuur，| AB |CD |所对应的锐角或直角即为直线( ) 与( ) 所成的角AB，CDa ABb CD例 2在例 1 中，设 AC BD=O，求异面直线 D1O， DC1所成的角的余弦值解：如图建立空间直角坐标系 D-AC1， D(0 ， 0，0) ， 1(0 ，0， 1) ，11C1(0 ， 1， 1) ， (1 ，0， 0),C(0 ， 1， 0), 则 0(,0)uuuur1 ，1uuuurD1O =(， 1)， DC1 =(0 ，1， 1) 22zD1C1A1B1DCAyxBcos=uuuuruuuurD1O，DC1D 1 O?DC 1uuuuruuuur| D1O|DC 1异面直线D1O， DC1所成的角余弦值为13 ，236223 图 162线面所成的角uuur如图，为平面的斜线，n 为平面的法向量，如果AB与 n 之间所成的角为锐角，则斜线AB与ABuuur平面之间所成的角=即利用向量AB 与 n 求出的是角，实际上所求的角是2若为锐角，则=， sin=cos；2B若为钝角，则=()=，sin =cos n22总之有， sin=|cos|=ABn例 3. 在例 1 中，设 E、 F 分别为 CD、 B C 的中点，求 A D与平面 EFBD所成的角11111解：如图建立空间直角坐标系D-AC1， D(0 ，0，0) ，1(0 ，0，1) ，则E(0，1，1)，F( 1zB(1 ， 1， 0) C1(0 ， 1，1) ， B1 (1 ， 1，1),， 1，EC1221D1) ，1FABuuuruuur1n 面， n =(， z) ，得 n ， n 设，yDBDEEFBDxCuuur =(1 ， 1，0) ，uuur=(0， 1 ，1)D又AyDBDE2xBxy 0xy图 2n ? DB0x2，令 y=2;得1 y z 0n ? DE 0z1 yz 122uuuur n =( 2， 2， 1) ，又 DA1 =(1 ， 0，1) ，uuuurr32m sin| DA ?n |n= uuuur 1r2 3 2|DA1| n |即=则所求的 A1D与平面 EFBD所成的角为4l43二面角的求法：二面角 l ，平面 的法向量 m ，平面的法向量 n 则二面角 l 的平面角=所以， cos=m ? nmn若将法向量的起点放在两个半平面上( 不要选择起点在棱上) ，当两个法向量的方向都指向二面角内或外时，则为二面角的平面角的补角；当两个法向量的方向一个指向二面角内，另一个指向外时，则为二面角的平面角故在所求的二面角的平面角时，先求法向量的余弦值后利用图形观察其为锐角或钝角例 4.在例 1 中，求二面角D1AC D的大小的余弦值解：如图建立空间直角坐标系D-AC1， D(0 ， 0，0) ， 1(0 ，0， 1) ，A(1 ， 0， 0),C(0,1,0) n1 面 ACD1， n =( x， y，z) ，得 n1 AC ， n1 AD1 又 AC（ 1,1,0 ）， AD1 （ ,0,1）n1? AC0xy 0yx; 得；令 n1 =(1 ， 1，n1 ? AD 10xz 0z x1) ，由已知可易得平面DAC的法向量是 n 2 =(0 ， 0， 1) ，rr(1,1,1) (0,0,1)3n1? n2cos, = rr，|33| n1| n2由图知所求的角为锐角，则所求的余弦值为3 3练习 1： 如图，在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中， AB=5， AD=8， AA1=4， M 为 B1C1 上一点，且 B1M=2，点 N 在线段 A1D 上，且 N (0, 8 , 16) ，求：5 51) 求直线 A1D 与 AM所成角的余弦值；2) 直线 AD与平面 ANM所成的角的正切；3) 平面 ANM与平面 ABCD所成角（锐角）的余弦值 .( 二) 空间距离线到面的距离点到面的距离面到面的距离线到线的距离1点到面的距离设A是平面外一点，是的一条斜线，交平面于点，而n是平面ABBuuurA 到平面 的距离为 d的法向量，那么向量BA 在 n 方向上的正射影长就是点uuuruuur ruuur r| BA ?n |所以 d=| BA| ? |cosBA, n |r| n |例 5. 例 1 中，设 G、H分别是 A1B1、 CD的中点，求点 B 到截面 AGC1H的距离B解：如图建立空间直角坐标系D-AC1，D(0 ，0，0) ， C(0 ，1，0),B1(1，1，1)，A1(1 ， 0，1) ，则 H(0 ， 1 ，0)， G(1 ， 1 ，1) ，22uuuruuur A(1 ， 0，0) ， 设 n 面 AGGH，则 n AG ， n AHA11uuur1 ，1)，uuur1 ，0) 有：令 n =(x ， y，z) ，则 AG =(0 ，AH =( 1，221z0z1Auuuruuuryy22 令 y 2xn ? AG =0， n ? AH =0，1 yx0x1 y22uuur n =(1 ， 2，-1) ，又 AB =(0 ， 1，0) ，uuurr26所以点 B 到截面 AGCH的距离为AB ? n故所求距离为d= uuurr1| AB | n | 163AdnzD1C1B1DCyB图 163练习 2：在例 1 中，求点A1 到平面 ACD1的距离2异面直线间的距离如图 3，若 CD是异面直线a、 b 的线段， 、 分别为、 上的任意两点令向量n，A Ba bauuurn b，则 n CD uuuruuuruuuruuur AB =AC +CD +DB ，uuuruuuruuuruuur AB ? n = AC n + CD ? n + DB ? n ，uuuruuur AB ? n = CD ? n ，uuuruuuruuuruuurr| AB ?n |两异面直线|AB ? n |=|CD | ? | n | ，|CD |=r| n |公垂CAanbBD图 3uuurra、b 间的距离为： d= | ABr?n | | n |其中 n 与 a、 b 均垂直 ( 即 a， b 的公垂向量 ) ， A、 B 分别为两异面直线上的任意两点例 6在例 1 中，求直线DA1和 AC间的距离uuur=( 1， 1，0) ，uuuur=(1 ， 0，1) 设n =() ，解：ACDA11 和公垂线段上的向量为，DAACxyzr uuur0xy0yx 令xn ? AC1可取 n =(1 ， 1， 1) ，由r uuuur，即n ? DA10xz0zxuuuruuurr=(0 ， 0，1) ，所以点 A到平面 A CD的距离为 d =| AA1 ?n |3又 AA1r，11| n |3即直线 DA1 和 AC间的距离为3 3练习 3如图 4，正四棱锥 SABCD的高 SO=2，底边长 AB= 2 ，求异面直线BD和 SC之间的距离zSCDOyABx 图 43线面距离直线 a 与平面平行时， 直线上任意一点A 到平面的距离就是直线a 与平面之间的距离其求法与点到面的距离求法相同4平面与平面间的距离平面与平面平行时， 其中一个平面上任意一点到平面的距离就是平面与平面间的距离其求法与点到面的距离求法相同1）用法向量求直线到平面间的距离，首先必须确定直线与平面平行，然后将直线到平面的距离问题转化成直线上一点到平面的距离问题2）用法向量求两平行平面间的距离，首先必须确定两个平面是否平行，这时可以在一个平面上任取一点，将两平面间的距离问题转化成点到平面的距离问题例 8在例1 中，设 P、 Q、 R分别是 A1C1、A1D和 B1A 上任一点，zD1C11111P(1) 求证：平面 A PQ平面 B RC；(2)求平面 A PQ与平面 B RC间的距离uuuuruuur11AB解： (1)由前面例题知 AC11 =(1，1，0) ， B1C =( 1，0， 1) ，uuuuruuurQRyA1 D =( 1， 0， 1) ， B1A =(0 ， 1， 1) ，DCuuuruuuuruuuruuuuruuuruuurAB设 A PAC， AQAD， BRB A (、R，且均不x1111111为 0)uruur设 n1 、 n2 分别是平面 A PQ与平面 B RC的法向量，11ruuurruuuurruuuurur由n1?A1P 0即n 1? A1C10n 1 ? A1C10=(1 ， 1， 1) ，ruuurruuuur即ruuuur，可解得： n1n1 ? A1Q 0n 1 ? A1D 0n 1 ? A1D 0ruuurruuurruuuruurn2 ? B1R 0n 2?B1 A0n 2 ? B1 A0由ruuur即ruuur即ruuur，可解得 n2 =( 1， 1， 1) ，n2 ? B1C 0n 2 ? B1C 0n 2 ? B1C 0ur=uururuur所以n1n2，n1n2，所以平面1平面1A PQB RCn1uuruur如果求证的是两个平面垂直，也可以求出两个平面的法向量后，利用 n2 n1? n2 =0 来证明(2) A(1 ，0，0) ，D(0，0，0) ，A(1 ，0，1) ，C(0 ，1，1) ，11uuuuruuuuruuur DA1 =(1 ， 0，1) ， DC1 =(0 ， 0， 1) ， AD =(1 ，0， 0) ，r设平面 A1C1D的一个法向量n =( x，y， 1) ，ruuuur( x , y ,1 )(1, 0,1 )0x1r则n ? DA 10，即， n =(-1 ， -1 ， 1) ruuuur( x , y ,1 )(0,1,1 )0y1n ? DC 10uuurr( 1,0,0) ( 1, 1,1)平面 AB1C与平面 A1C1D间的距离 d= | ADr? n |3( 1)2( 1)2| n |123将平面1与平面11间的距离转化成点A到平面1 1的距离ABCA CDA CD例 9. 已知斜三棱柱 ABCA1B1C1 ，BCA90 o ，ACBC 2， A1在底面 ABC 上的射影恰为AC 的中点 D ，又知 BA1AC1 。（ I ）求证： AC1平面A1 BC ；（ II ）求 CC1 到平面 A1 AB 的距离证明： （ I ）如图，取AB 的中点 E ，则 DE / BC ，因为BCAC ，所以 DEAC ，又 A1D平面 ABC ，以 DE , DC , DA1 为 x, y, z 轴 建 立 空 间 坐 标 系 ， 则A 0, 1,0 ，C 0,1,0，B2,1,0，A10,0,t，C1 0,2, t，uuuuruuuruuurAC10,3,t， BA12,1,t ， CB2,0,0，uuuruuur由 AC1?CB0，知 A1CCB ，又 BA1AC1 ，从而 AC1平面 A1BC ；uuuuruuur20 ，得 t3 。（ II ）由 AC1 ? BA13 truuuruuur设平面 A1 AB 的法向量为 nx, y, z ， AA10,1, 3， AB2,2,0 ，所以ruuurrn ? AA1y3z03,3,1ruuur2x2 y，设 z1 ，则 nn ? AB0uuuurr所以点 C1 到平面 A1AB 的距离 dAC1 ? n221 。rn7( 三 ) 证明面面平行或面面垂直；线面平行或线面垂直等uruur若两平面、的法向量分别为 n1、 n2 ，则uruururuur(1) 当 n1? n2 =0 时，平面平面；(2) 当 n1=n2 ，即它们共线时，平面平面r若平面的一法向量为 n ，直线 AB在平面外，则ruuur=0 时， 平面(2)ruuur(1) 当 n? AB；当 n =AB，即它们共线时，平面 ABAB AB平面内的两条相交直线，则AB平面AA1例 9如图，正三棱柱ABC A1B1C1 的底面边长为3，CC1BB1D侧棱长为 3 3 ， D是 CB延长线上一点，且BD=BC2求直线 BC1 与平面 AB1D之间的距离；解：由题设知，AD，AC， AA1 两两垂直，建立空间直角坐标系A1 DCA1，则A(0 ，0，0)，B( 3 3 ， 3 ， 0) ，C(0 ，3，0) ，D(33 ，0，0)，22B1(3 3，3，33 ) ，C1(0 ， 3， 3 3 ) 可求得平面AB1D的一个法向量为r3 ，-1) n =(0 ，2222直线 BC1与平面AB1D之间的距离为ruuur|(0, 3, 1)333,0) | n ? AB |(,2332d=r| (0,3,1) | n |4uuur3 ) ，(2)平面 ABD的一个法向量为AA1 =(0 ， 0， 32uuuruuur33| AA1n |233，cos=| n |24二面角1的大小为 arccos33 BAD B4(3)取 AB中点 M(3uuuur33 ， 9 ， 0) 是平面 ABB1的一个法向量，点C到3 ， 3，0)，则 MC =(-4444平面1 的距离为ABBuuuruuuur| (33 3,0)(33927| BCMC |, ,0)|h=22444=1，uuuur|MC | (33,9,0) |27444又SABB = 9 3，三棱锥 C1 ABB1的体积为 33 144例 10如图 8，已知 ABCD是矩形， PD平面 ABCD， PD=DC=a，PAD= 2a， M、 N分别是 AD、 PB的中点N求证：平面 MNC平面 PBC证明： 建立空间直角坐标系DACP，则DCMP(0 ， 0， a) ， B(2 a， a， 0) ， C(0 ， a， 0) ，AB图 8(2 ，0，0)， (2， a， a ) MaNa2222uuuruuur2 a， 0， 0) ，PB =( 2 a，a， - a) ， BC =(-uuur2 a， auuuur2 a， a， 0) ，NC =(， - a ) ， MC =(-2222设 n1=( x， y， 1) 为平面 PBC的法向量，则uuuruuurn1 PB =0， n1 BC =0，2axyaa 0x0， n1=(0 ， 1， 1) ，解之得 :y12ax0同理可求平面MNC的一个法向量： n2 =(-2 ，-1 ，1) ，而 n n =0-1+1=0 ， n n ，故平面 PBC平面 MNC1212uuruuruuruur若 ，则 n n ；反之也成立若 ，则 n n ；反之也成立利用法向量来解决上述五种立体几何题目，最大的优点就是不用象在进行几何推理时那样去确定垂足的位置，完全依靠计算就可以解决问题但是也有局限性，高中阶段用代数推理解立体几何题目，关键就是得建立空间直角坐标系，把向量通过坐标形式表示出来，所以能用这种方法解题的立体几何模型一般都是如：正( 长 ) 方体、直棱柱、正棱锥等事实证明，法向量在求角、距离以及证明平行垂直中都有非常广泛的应用，它在中学数学中的出现，是对传统的立体几何知识一个很好的补充及加深例 7长方体 ABCD A B CD 中 AB=2， AD=4，AA=6， Ez是11111D1BC的中点， F 是 CC1的中点，求A1B1C1(1) 异面直线 D1F 与 B1E 所成角大小的余弦值；(2) 二面角 D1 AE D大小的余弦值；(3) 异面直线 B E与 DF 的距离FDA11yBCEx分析：建立空间直角坐标系ABDA1，则uuuuruuur(1) D1F =(2 ，0，-3) ， B1E =(0 ， 2，-6) ，uuuurcos=uuuur uuurD1F B1E189 130uuuuruuur13 40，| D1F| B1E |1309 130异面直线D1F 与 B1E所成的角为arccosuuur(2)显然平面 AED的一个法向量为AA =(0 ， 0，6) ，1uuuruuuuruuuur0设平面 AED1的一个法向量为n AEn=( x， y，1) ，且 n AE ， n AD ，则uuuuur，1n AD10uuuruuuurAE =(2 ， 2， 0) ， AD1=(0 ，4，6)，3(x, y,1) (2,2,0)02x2 y0x3 ，- 3，1)2 ， n=(x, y,1) (0,4,6)，4 y60，0y3222uuuruuur62222AA1 n=arccoscos =uuur611/ 211，得11| AA1 |n |二面角 D AE D的大小为 arccos22111uuuruuuuruuuuurm B1E0(3)令向量 m=( x，y， 1) ，且 m B1 E，m D1F ，则uuuuur，m D1F0(x, y,1) (0,2,6)02y603， =(3，x， 3，1)(x, y,1) (2,0,3)02x302my 32异面直线B1E 与 D1F 之间的距离为：uuur|(0,2,3)(3,3,1) |d= | EF m |2918 3| m |(,3,1)|7/ 272练习 1： 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1 中， AB=5， AD=8， AA1=4， M为 B1C1 上一点，且 B1M=2，点 N 在线段 A1D 上，且 N (0,8,16) ，求：uuuur uuuur551)cos A1D, AM；2)直线 AD与平面ANM所成的角的正切；3)平面 ANM与平面ABCD所成角（锐角）的余弦值 .解析： (1)以 A为原点， AB、 AD、AA1 所在直线为 x 轴， y 轴， z 轴.则 D(0,8,0) ， A1 (0 ， 0， 4) ， M(5,2,4)A1 D(0,8, 4 )AM(5,2,4) A1DAM0 cosA1 D, AM0(2) 由(1) 知 A1D AM，又由已知 A1DAN，A1 D 平面 AMN，垂足为 N.因此 AD与平面 ANM所成的角即是DAN . tanDANtan AA1D2(3) AA11平面 AMN，平面 ABCD， A N AA1 和NA1分别成为平面ABCD和平面 AMN的法向量。设平面 AMN与平面 ABCD所成的角（锐角）为，则coscosuuur uuurcosAA1 N5AA1 , NA1cos AA1DP5ACB如图，四棱锥P- ABCD中， PA平面 ABCD，PA AB BC 2，E 为 PA的中点，过 E 作平行于底面的平面，分别与另外三条侧棱相交于点、 、H.已知底面为直角梯形， ， ，EFGHF GABCDAD BC ABAD BCD=135.（ 1） 求异面直线 AF与 BG所成的角的大小；（ 2） 求平面 APB与平面 CPD所成的锐二面角的大小 .解由题意可知： AP、 AD、 AB两两垂直，可建立空间直角坐标系A- xyz由平面几何知识知：AD 4,D (0, 4, 0),B(2,0,0),C (2,2,0), P(0, 0, 2),E (0, 0, 1),F( 1,0,1),G(1,1,1)(1)AF (1,0,1),BG( 1,1,1) AF BG0， AF与 BG所成角为.2(2) 可证明 AD平面 APB，平面 APB的法向量为n (0,1,0)设平面 CPD的法向量为m (1 ，y， z)uuurmgCD0y1由uuurz2mgPD0故 m (1,1,2)m n6 cos | m| | n| 66平面 APB与平面 CPD所成的锐二面角的大小为arccos6 .练习 2：在例 1 中，求点1 到平面1的距离AACD解析：平面 ACD1的单位法向量 n0=(3，3 ，3 ) ，333uuur又 AA1 =(0 ， 0， 1) ，设点 A 到平面 ACD的距离为 d，则