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培优点二函数零点 1 零点的判断与证明 例 1 已知定义在 1,;上的函数 f x =x_lnx_2 , 求证：f x 存在唯一的零点，且零点属于 3,4 . 【答案】见解析 【解析】f x=1 1 二口，7 X 1, ； , f X 0 , f x 在 1,+二单调递增, ；f 3 =11 n3 ：:0 , f 4 =2-1 n2 0 , f 3 f 4 ： 0 , x。可 3,4 ，使得 f x。产 0 因为 f x 单调，所以 f x 的零点唯一. 2零点的个数问题 例 2：已知函数 f x 满足 f x=f 3x，当 1,3 , f xlnx，若在区间 1,9 内, A 1 n3 1 B.佝 3 1 C ln 3 3 e V 9 ,3e ) .9 2e 【答案】 B 【解析】 Tf x = f 3x 二 f x = f ， 当 x3,9 时，f x In 3 In 3 T,T In x x In 3 3 Ex ： ： ： ，而 g x 僅 x 有三个不同零点：二 y = f x 与y=ax有三 3e D 函数 g x = f x ?-ax 有三个不同零点，则实数 a的取值范围是（ ） 2 3.零点的性质 ix 2 x 三 0,1 例 3:已知定义在R上的函数 f x 满足：f x = |2 -x x 1-1,0 g x =2x-5，则方程 f x 二 g x 在区间|_5,1 上的所有实根之和为（ ） A. -5 B. -6 C. -7 D. _8 【答案】C 【解析】先做图观察实根的特点，在 1-1,1 中，通过作图可发现 f x 在-1,1 关于 0,2 中 心对称， 由 f x 2 = f x 可得 f x 是周期为 2 的周期函数，则在下一个周期 一 3,_1 中，f x 关 于-2,2 中心对称，以此类推。 从而做出 f x 的图像（此处要注意区间端点值在何处取到） ，再看 g x 图像， g x 二丝兰=2 二 ，可视为将 y 二丄的图像向左平移 2 个单位后再向上平移 2 个单位, * x+2 x+2 x 所以对称中心移至 -2,2，刚好与 f x 对称中心重合，如图所示：可得共有 3 个交点 X1 : x ： x , 其中冷=-3, X1与X3关于-2,2 中心对称，所以有 X1 X3 = V。所以x1 x2 x3 = -7 . 4复合函数的零点 _2 例 4：已知函数 f（x）=x2-4x+3，若方程 （x）+bf（x）+c=0 恰有七个不相同的实根, 则实数b的取值范围是（ ） 3 A. -2,0 B. -2,-1 C. 0,1 D. 0,2 4 【答案】B 【解析】考虑通过图像变换作出 f（x ）的图像（如图），因为下（xf2+bf （x）+c = O 最多只能 解出 2 个 f x ，若要出七个根，则 f1 x =1，f2 x 卢|0,1 ，所以 f1 x f2 x 卢,1,2， 解得：b. 2, -1 . 对点增分集训 一、选择题 1.设 f x=lnxx2，则函数 f x 的零点所在的区间为（ ） A. 0,1 B. 1,2 C. 2,3 D. 3,4 【答案】B 【解析】/ f 1 i=ln1 1 -2 - -1 ：0 , f 2 =ln2 0 ,A f 1 f 2 ：0 , 函数 f x =1 n x x -2 的图象是连续的，且为增函数， f x 的零点所在的区间是 1,2 . 2已知a是函数 f x =2x -log1 x 的零点，若0：x ：a，贝U f x的值满足（ ） 2 A. f xo =0 B. f xo C. f xo ：0 D. f xo的符号不确定 【答案】C 【解析】f x 在（0,；）上是增函数，若 0 ： x0 : a，则 f xo ： f a . 2 3.函数f（x）=2x a的一个零点在区间 1,2 内，则实数a的取值范围是（ ） x A. 1,3 B. 1,2 C. 0,3 D. 0,2 【答案】C 5 【解析】因为 f x 在(0, -)上是增函数，则由题意得 f 1 f 2 = (0 a)(3 a) ： 0，解得 0 :：: a ： 3 , 故选 C. 4 .若 a : b : c，则函数 f x = (x _a)(x _b) (x _b)(x _c) (x _c)(x _a)的两个零点分别位 于区间( ) A. (a,b)和(b,c)内 B. (-：,a)和(a,b)内 C. (b,c)和(c,：)内 【答案】A D. ( -： ：, a)和(c, -)内 【解析】T a ：b f a =(a-b)(a-c) .0, f b = (b-c)(b-a) ： 0 , f c =(c -a)(c -b) 0 , 由函数零点存在性定理可知，在区间 (a,b), (b,c)内分别存在零点，又函数 f x 是二次函 数， 最多有两个零点.因此函数 f x 的两个零点分别位于区间 (a,b)，(b,c)内，故选 A. 5设函数 f x 是定义在R上的奇函数，当x 0时，f x =exx-3，则 f x 的零点个 数为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】因为函数 f x 是定义域为R的奇函数，所以 f 0 =0，即 0 是函数 f x 的一个 零点，当x 0时，令 f x =ex x - 3 =0，则 ex = -x 3 ,分别画出函数 y1 = ex和y2 = -x 3 的图象，如图所示，两函数图象有一个交点，所以函数 f x 有一个零点， I7 2 r+3 1 j Tu O - 1 2 :护 -2 根据对称性知，当 x：0 时函数 f x 也有一个零点. 综上所述，f x 的零点个数为 3.5 6 【答案】B 因此函数 f x 共有 2 个零点. 方法二：函数 f x 的图象如图所示，由图象知函数 f x 共有 2 个零点. 4 I 7.已知函数 fx1 x 乞 0 ， 则使方程 x 0 x f x = m 有解的实数m的取值范围是（ ) x A. 1,2 B. (-：,-2 C （-：,1）U（：） D.(：,1U2,：) 【答案】D 【解析】 当x_0时，x f x =m，即xJ=m，解得m_1 ；当x 0时，xf x =m，即 =m 解得m _2，即实数m的取值范围是（-：,1U2,；）.故选 D. &若函数 f x =3ax-2a 在区间内存在一个零点，则 a的取值范围是（ ） A. ” | B.匚:,_1 U *： ! 5 5 f 1 C. -1,丄 D.（：,-1） I 5 丿 【答案】B 【解析】当a =0 时，f x =1 与x轴无交点，不合题意，所以 a = 0 ;函数 f x =3ax，12a 在区间（-1,1）内是单调函数，所以 f（-1） f 1 ：0,即（5a-1）（a 1） 0,解得a ：-1 或 1 6.函数 f (x)=F +x _2 日 +1 nx x0的零点个数为（ x .0 A. 3 B. 2 C. 7 D. 0 【解方法一：由 f x .0 得 x/0 x x -2 =0 或 kg 解得x - -2或x = e, 7 a .故选 B.8 10 xE0 9.已知函数 f x x ,则使函数 g x = f x：；x-m 有零点的实数m的取值范围 是( ) 【答案】D 【解析】函数 g x = f x x -m 的零点就是方程 x x 0 h x =f x x 一 的大致图象(图略)观察它与直线y=m的交点，得知当 “ +x XA0 m _0或m 1时，有交点，即函数 g x=f x x-m有零点.故选 D. 10.已知 f x 是奇函数且是 R上的单调函数，若函数 y=f(2x21) f(，-x)只有一个零 点，则实数 的值是( ) 【答案】C 【解析】令 y =f(2x2 1) f( -x) =0 ,则 f(2x2 1) - -f(，-x)=f(x-)，因为 f x 是 R 上的单调函数，所以 2x2 ,只有一个实根，即 2x2 -x 腹.=0 只有一个实根，则 11.已知当 x0,1 时，函数 y=(mx-1)2的图象与 y = x m 的图象有且只有一个交点，则 正实数m的取值范围是( ) A. (0,1IJ2 .3,+ ：) B. 0,1lJ3,：) C. (0,.2|J2 3,：) D. (0,.2IJ3,+ ：) 【答案】B 【解析】在同一直角坐标系中， 分别作出函数 f (x) =(mx T)2 =m2 x-1 与 g(x)=.x m k mJ 的大致图象分两种情形： 1 A. 10,1 C. (_：,1U(2,；) B. (一：,1) D.(：,0U(1,：) f x：；，x=m 的根，画出 A. B.- C. D. 9 (1 )当0：m乞1时， 1，如图，当 0,11 时，f x 与 g x 的图象有一个交点，符 m 合题意.10 要使 f X 与 g x 的图象在 1.0,1 上只有一个交点, 只需 g 1 岂 f 1，即 1 m 込(m -1)2 , 综上所述，m“0,1U3,；).故选 B. 12.已知函数 y=f x 和 y=g x 在 12,2 啲图像如下，给出下列四个命题: 【答案】B 1 (2 )当 m 1 时，0 ：丄：:1，如图, 解得m _3或m _0 (舍去) (1) 方程 f |g x =0 有且只有 6 个根 (2) 方程 g | f x=0 有且只有 3 个根 (3) 方程 f | f x=0 有且只有 5 个根 方程 g |g x =0 有且只有 4 个根 则正确命题的个数是( A. 1 C. 3 B. 2 D. 4 11 f2 X 广0,1，进而 f1 x 有 1 个对应的x , f2 x 有 3 个，总【解析】每个方程都可通过图像先拆掉第一层, 找到内层函数能取得的值，从而统计出 总数. (1)中可得 g1 i-2,-1 , g2 x =0 , g3 X三1,2 ,进而 g1 x 有 2 个对应的x , g2 x 有 2 个，g3 x 有 2 个，总计 6 个，(1)正确; (2)中可得 f 2,-1 , 12 计 4 个， (2) 错误； (3) 中可得 fl x 卢 i .2, 一 1 , f2 X =0 , f3 x 卢1,2，进而 fl x 有 1 个对应的 x , f2 x 有 3 个，f3 x 有 1个，总计 5 个，(3)正确； (4) 中可得：gi x 卢2, -1 , g2 x 卢|0,1 ,进而 gi x 有 2 个对应的 x , g2 x 有 2 个， 共计 4 个，(4)正确 则综上所述，正确的命题共有 3 个. 、填空题 13函数 f (x)=2-|logo.5x|的零点个数为 _ 【答案】2 由上图知两函数图象有 2 个交点，故函数 f x 有 2 个零点. 在的区间是 _ 【答案】1,2 二xo所在的区间是 1,2 . (x2 - 2 x 叱 o 15. 函数 f(x)=F 2 x-u _ 的零点个数是 . |gx-6+1 nx xo 【答案】2 【解析】当x丸时，令 x2 -2 ，解得x =72 (正根舍去)，所以在(-二,。上有一个零点; 【解作出函数 % =| logo.5x|和 y2 的图YL= 11% 14. 设函数 =x3与y2 = 1 的图象的交点为 (xo,yo)，若 xo (n,n 1) , n匚，则 x所 【解析】令 f x =x3 ，贝 y f xo =0，易知 f X 为增函数，且 f 1 0）. x16 (1 )作出函数 f x 的图象； 1 1 (2) 当 0 ：a ：b 且 f a 二 f b 时，求 的值； (3) 若方程 f x =m 有两个不相等的正根，求 m的取值范围. 1 1 由 0 ： a ： b 且 f a = f b，得 0 ： a ： 1 ： b 且 1=1 -, a b (3)由函数 f x 的图象可知，当 0：m：;1 时，方程 f 有两个不相等的正根. 【答案】(1) 见解析；(2) 2; (3) 0 ： 【解析】(1) 如图所示. 1 1 = x 1 -1 x 三1,: 故 f x 在 0,1 上是减函数, 而在(1,-：)上是增函(2)T f(x) x 1 x
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