精修版高中数学人教A版选修44教学案： 第二讲 第1节 第3课时 参数方程和普通方程的互化 Word版含答案

精修版资料整理精修版资料整理精修版资料整理精修版资料整理精修版资料整理精修版资料整理 第 3 课时 参数方程和普通方程的互化 核心必知 参数方程和普通方程的互化 (1)将曲线的参数方程化为普通方程，有利于识别曲线类型，曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程 (2)在参数方程与普通方程的互化中，必须使 x，y 的取值范围保持一致 问题思考 1将参数方程化为普通方程的实质是什么？ 提示：将参数方程化为普通方程的实质是消参法的应用 2将普通方程化为参数方程时，所得到的参数方程是唯一的吗？ 提示：同一个普通方程，选取的参数不同，所得到的参数方程也不同，所以在写参数方程时，必须注明参数是哪一个 根据所给条件，把曲线的普通方程化为参数方程 (1)（x1）23（y2）251，x 3cos 1.( 为参数) (2)x2yx10，xt1.(t 为参数) 精讲详析 本题考查化普通方程为参数方程的方法，解答本题只需将已知的变量 x 代入方程，求出 y 即可 (1)将 x 3cos 1 代入（x1）23（y2）251 得： y2 5sin . x 3cos 1，y 5sin 2.( 为参数) 这就是所求的参数方程 (2)将 xt1 代入 x2yx10 得： yx2x1(t1)2t11 t23t1 xt1，yt23t1.(t 为参数) 这就是所求的参数方程 (1)求曲线的参数方程，首先要注意参数的选取，一般来说，选择参数时应注意以下两点：一是曲线上每一点的坐标(x，y)都能由参数取某一值唯一地确定出来；二是参数与 x，y的相互关系比较明显，容易引出方程 (2)选取参数后，要特别注意参数的取值范围，它将决定参数方程是否与普通方程等价 1把方程 xy1 化为以 t 为参数的参数方程是( ) A.xt12，yt12 B.xsin t，y1sin t C.xcos t，y1cos t D.xtan t，y1tan t 解析：选 D 由 xy1 得 x(，0)(0，)，而 A 中 x0，)，B 中 x1，1，C 中 x1，1，只有 D 选项中 x、y 的取值范围与方程 xy1 中 x、y 的取值范围相对应 分别在下列两种情况下，把参数方程x12（etet）cos ，y12（etet）sin 化为普通方程： (1) 为参数，t 为常数； (2)t 为参数，为常数 精讲详析 本题考查化参数方程为普通方程的方法，解答本题需要分清谁为参数，谁为常数，然后想办法消掉参数 (1)当 t0 时，y0，xcos ，即|x|1，且 y0； 当 t0 时，cos x12（etet），sin y12（etet）， 而 sin 2cos 21， 即x214（etet）2y214（etet）21. (2)当 k，kZ 时，y0，x12(etet)， 即|x|1，且 y0； 当 k2，kZ 时，x0，y12(etet)， 即 x0； 当 k2，kZ 时， 得etet2xcos ，etet2ysin ，即2et2xcos 2ysin ，2et2xcos 2ysin . 得 2et2et(2xcos 2ysin )(2xcos 2ysin )， 即x2cos 2y2sin 21. (1)将参数方程化为普通方程时，消去参数的常用方法有： 代入法 先由一个方程求出参数的表达式(用直角坐标变量表示)， 再代入另一个方程 利用代数或三角函数中的恒等式消去参数例如对于参数方程xat1tcos ，yat1tsin ，如果 t 是常数，是参数，那么可以利用公式 sin2cos21 消参；如果 是常数，t 是参数，那么可以利用t1t2t1t24 消参 (2)一般来说，如果消去曲线的参数方程中的参数，就可以得到曲线的普通方程，但要注意， 这种消参的过程要求不减少也不增加曲线上的点， 即要求参数方程和消去参数后的普通方程是等价的 2已知某曲线 C 的参数方程为x12t，yat2(其中 t 是参数，aR)，点 M(3，1)在该曲线上 (1)求常数 a； (2)求曲线 C 的普通方程 解：(1)由题意可知有12t3at21，故t1，a1，a1. (2)由已知及(1)可得，曲线 C 的方程为x12t，yt2. 由第一个方程得 tx12代入第二个方程得 y(x12)2，即(x1)24y 为所求. 已知曲线 C1：x4cos t，y3sin t(t 为参数)，C2：x8cos ，y3sin ( 为参数) (1)化 C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； (2)若 C1上的点 P 对应的参数为 t2，Q 为 C2上的动点，求 PQ 中点 M 到直线 x2y70 距离的最小值 精讲详析 本题考查化参数方程为普通方程的方法以及点到直线的距离的求法解答本题需要先把题目条件中的参数方程转化为普通方程，然后根据普通方程解决问题 (1)C1：(x4)2(y3)21，C2：x264y291. C1为圆心是(4，3)，半径是 1 的圆 C2为中心是坐标原点，焦点在 x 轴上，长半轴长是 8，短半轴长是 3 的椭圆 (2)当 t2时，P(4，4)，Q(8cos ，3sin )，故 M(24cos ，232sin )M到 C3的距离 d55|4cos 3sin 13| 55|5sin ()13|(为锐角且 tan 43) 从而当 sin ()1 时，d 取得最小值8 55. (1)将参数方程转化为我们所熟悉的普通方程是解决问题的关键 (2)将所求的问题用恰当的参数表示，是解决此类问题的转折点 3已知方程 y26ysin 2x9cos28cos 90，(02) (1)试证：不论 如何变化，方程都表示顶点在同一椭圆上的抛物线； (2) 为何值时，该抛物线在直线 x14 上截得的弦最长，并求出此弦长 解： (1)证明： 将方程 y26ysin 2x9cos 28cos 90 可配方为(y3sin )22(x4cos ) 图象为抛物线 设其顶点为(x，y)，则有x4cos ，y3sin ， 消去 得顶点轨迹是椭圆x216y291. (2)联立x14，y26ysin 2x9cos 28cos 90， 消去 x，得 y26ysin 9sin 28cos 280. 弦长|AB|y1y2|4 72cos ， 当 cos 1，即 时，弦长最大为 12. 曲线的参数方程化为普通方程是解决参数方程问题的根本方法， 也是高考命题的重点内容，它体现了转化与化归的数学思想湖北高考中，以射线(极坐标方程)与曲线(参数方程)相交为背景设置问题，是高考命题的一个新亮点 考题印证 (湖北高考)在直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系已知射线 4与曲线xt1，y（t1）2，(t 为参数)相交于 A，B 两点，则线段 AB 的中点的直角坐标为_ 命题立意 本题主要考查参数方程与普通方程的互化，射线的极坐标方程及联立方程解方程组的解题思想 解析 记 A(x1，y1)，B(x2，y2)，将 4，转化为直角坐标方程为 yx(x0)，曲线为 y(x2)2，联立上述两个方程得 x25x40，所以 x1x25，故线段 AB 的中点坐标为(52，52) 答案：(52，52) 一、选择题 1将参数方程x2sin2，ysin2(为参数)化为普通方程为( ) Ayx2 Byx2 Cyx2(2x3) Dyx2(0y1) 解析：选 C 化为普通方程：yx2，但是 x2，3，y0，1 2下列在曲线xsin 2，ycos sin ( 为参数)上的点是( ) A.12， 2 B.34，12 C(2， 3) D(1， 3) 解析：选 B 化为普通方程：y21x(1x1)， 当 x34时，y12. 3曲线的参数方程为x3t22，yt21(t 是参数)，则曲线是( ) A线段 B双曲线的一支 C圆 D射线 解析：选 D 消去参数得：x3y50，且 x2，故是射线 4与参数方程为x t，y2 1t(t 为参数)等价的普通方程为 ( ) Ax2y241 Bx2y241(0 x1) Cx2y241(0y2) Dx2y241(0 x1，0y2) 解析： 选 D x2t，y241t1x2， x2y241， 而由t01t0得 0t1， 从而 0 x1，0y2. 二、填空题 5曲线的参数方程是x11t，y1t2(t 为参数，t0)，则它的普通方程为_ 解析：1x1t，t11x，而 y1t2， 即 y1(11x)2x（x2）（x1）2(x1) 答案：yx（x2）（x1）2(x1) 6参数方程xetet，y2（etet）(t 为参数)的普通方程为_ 解析：xetet，y2etet，xy22et，xy22et，(xy2)(xy2)4. 答案：x24y2161(x2) 7若点(x，y)在圆x32cos ，y42sin ( 为参数)上，则 x2y2的最小值是_ 解析：法一：由题可知，x2y2(32cos )2(42sin )22912cos 16sin 2920cos ()(tan 43)，当 cos ()1 时最小，因此可得最小值为 9. 法二：将原式转化为普通方程(x3)2(y4)24，它表示圆令 tx2y2，则 t 可看做圆上的点到点(0，0)的距离的平方，圆外一点与圆上点的最近距离为该点与圆心的距离减去半径，tmin()（03）2（04）2229， 所以 x2y2的最小值为 9. 答案：9 8点(x，y)是曲线 C：x2cos ，ysin ( 为参数，02)上任意一点，则yx的取值范围是_ 解析：曲线 C：x2cos ，ysin 是以(2，0)为圆心，1 为半径的圆，即(x2)2y21. 设yxk， ykx. 当直线 ykx 与圆相切时，k 取得最小值与最大值 |2k|k211，k213. yx的范围为33，33. 答案：33，33 三、解答题 9化下列参数方程为普通方程 (1)x1t1t，y2t1t(tR 且 t1)； (2)xtan 1tan ，y1cos 1sin k，k2，kZ . 解：(1)变形为x121t，y221t. x1，y2， xy1(x1) (2)x1sin cos ， ysin cos sin cos . 式平方结合得 y2x22x， 又 xtan 1tan 知|x|2， 所以方程为(x1)2y21(|x|2) 10求直线 xy2 被圆x3cos ，y3sin ( 为参数)截得的弦长 解：将圆x3cos ，y3sin 化为普通方程为 x2y29.圆心 O 到直线的距离 d22 2， 弦长 L2 R2d22 922 7. 所以直线 xy2 被圆x3cos ，y3sin 截得的弦长为 2 7. 11已知曲线 C 的参数方程是xcos ，y1sin ( 为参数)，直线 l 的方程是 4x3y80. (1)将曲线 C 的参数方程化为普通方程； (2)设直线 l 与 x 轴的交点是 M，N 是曲线 C 上一动点，求|MN|的最大值 解：(1)曲线 C 的普通方程为 x2(y1)21. (2)在方程 4x3y80 中， 令 y0，得 x2， 即 M 点的坐标为(2，0)又曲线 C 为圆，圆 C 的圆心坐标为(0，1)，半径 r1，则|MC| 5. 所以|MN|MC|r 51. 即|MN|的最大值为 51. 最新精品资料